Theorem pncan3 11392

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pncan3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11383	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴)
3		subadd 11387	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵))
4	2, 3	mpbii 234	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
5	1, 4	mpd3an3 1470	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
6	5	ancoms 459	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  npcan  11393  nncan  11414  npncan3  11423  negid  11432  pncan3i  11462  pncan3d  11499  subdi  11574  posdif  11634  fzonmapblen  13654  fzen2  13922  bernneq2  14183  hashdom  14332  hashfz  14380  hashreshashfun  14392  swrdfv2  14615  addlenpfx  14644  ccatpfx  14654  2cshwid  14767  cshweqdif2  14772  2cshwcshw  14778  cshwcshid  14780  isercoll2  15622  isumshft  15795  dvdssubr  16265  vdwlem3  16945  vdwlem9  16951  prmgaplem7  17019  mplsubrglem  21978  blcvx  24781  dvef  25965  dvcvx  26005  sincosq2sgn  26481  sincosq3sgn  26482  sincosq4sgn  26483  eflogeq  26584  logdivlti  26602  advlogexp  26637  cvxcl  26966  scvxcvx  26967  cvxsconn  35471  resconn  35474  cos2h  37978  ftc1anclem5  38064  jm2.26a  43445  jm2.27c  43452  goldbachthlem1  48023  nn0sumshdiglemB  49111