Theorem pncan3 11544

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pncan3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11535	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴)
3		subadd 11539	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵))
4	2, 3	mpbii 233	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
5	1, 4	mpd3an3 1462	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
6	5	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   + caddc 11187   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  npcan  11545  nncan  11565  npncan3  11574  negid  11583  pncan3i  11613  pncan3d  11650  subdi  11723  posdif  11783  fzonmapblen  13762  fzen2  14020  bernneq2  14279  hashdom  14428  hashfz  14476  hashreshashfun  14488  swrdfv2  14709  addlenpfx  14739  ccatpfx  14749  2cshwid  14862  cshweqdif2  14867  2cshwcshw  14874  cshwcshid  14876  isercoll2  15717  isumshft  15887  dvdssubr  16353  vdwlem3  17030  vdwlem9  17036  prmgaplem7  17104  mplsubrglem  22047  blcvx  24839  dvef  26038  dvcvx  26079  sincosq2sgn  26559  sincosq3sgn  26560  sincosq4sgn  26561  eflogeq  26662  logdivlti  26680  advlogexp  26715  cvxcl  27046  scvxcvx  27047  cvxsconn  35211  resconn  35214  cos2h  37571  ftc1anclem5  37657  jm2.26a  42957  jm2.27c  42964  goldbachthlem1  47419  nn0sumshdiglemB  48354