Theorem pncan3 11482

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pncan3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11473	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴)
3		subadd 11477	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵))
4	2, 3	mpbii 233	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
5	1, 4	mpd3an3 1463	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
6	5	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7399  ℂcc 11119   + caddc 11124   − cmin 11458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11460

This theorem is referenced by:  npcan  11483  nncan  11504  npncan3  11513  negid  11522  pncan3i  11552  pncan3d  11589  subdi  11662  posdif  11722  fzonmapblen  13714  fzen2  13976  bernneq2  14236  hashdom  14385  hashfz  14433  hashreshashfun  14445  swrdfv2  14666  addlenpfx  14696  ccatpfx  14706  2cshwid  14819  cshweqdif2  14824  2cshwcshw  14831  cshwcshid  14833  isercoll2  15672  isumshft  15842  dvdssubr  16309  vdwlem3  16988  vdwlem9  16994  prmgaplem7  17062  mplsubrglem  21949  blcvx  24722  dvef  25921  dvcvx  25962  sincosq2sgn  26444  sincosq3sgn  26445  sincosq4sgn  26446  eflogeq  26547  logdivlti  26565  advlogexp  26600  cvxcl  26931  scvxcvx  26932  cvxsconn  35186  resconn  35189  cos2h  37556  ftc1anclem5  37642  jm2.26a  42949  jm2.27c  42956  goldbachthlem1  47477  nn0sumshdiglemB  48486