MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan3 10579
Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
pncan3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3
StepHypRef Expression
1 subcl 10570 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
2 eqid 2798 . . . 4 (𝐵𝐴) = (𝐵𝐴)
3 subadd 10574 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵𝐴) = (𝐵𝐴) ↔ (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵))
42, 3mpbii 225 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
51, 4mpd3an3 1587 . 2 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
65ancoms 451 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  (class class class)co 6877  cc 10221   + caddc 10226  cmin 10555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-uni 4628  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-ltxr 10367  df-sub 10557
This theorem is referenced by:  npcan  10581  nncan  10601  npncan3  10610  negid  10619  pncan3i  10649  pncan3d  10686  subdi  10754  posdif  10812  fzonmapblen  12766  fzen2  13020  bernneq2  13242  hashdom  13415  hashfz  13460  hashreshashfun  13472  swrdfv2  13696  addlenpfx  13731  2cshwid  13896  cshweqdif2  13901  2cshwcshw  13907  cshwcshid  13909  isercoll2  14737  isumshft  14906  dvdssubr  15363  vdwlem3  16017  vdwlem9  16023  prmgaplem7  16091  mplsubrglem  19759  blcvx  22926  dvef  24081  dvcvx  24121  sincosq2sgn  24590  sincosq3sgn  24591  sincosq4sgn  24592  eflogeq  24686  logdivlti  24704  advlogexp  24739  cvxcl  25060  scvxcvx  25061  cvxsconn  31735  resconn  31738  cos2h  33882  ftc1anclem5  33970  jm2.26a  38341  jm2.27c  38348  goldbachthlem1  42228  nn0sumshdiglemB  43202
  Copyright terms: Public domain W3C validator