Theorem pncan3 11489

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pncan3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴)
3		subadd 11484	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵))
4	2, 3	mpbii 236	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
5	1, 4	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
6	5	ancoms 464	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122   + caddc 11127   − cmin 11465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467

This theorem is used by:  npcan  11490  nncan  11511  npncan3  11520  negid  11529  pncan3i  11559  pncan3d  11596  subdi  11671  posdif  11731  fzonmapblen  13764  fzen2  14033  bernneq2  14294  hashdom  14443  hashfz  14492  hashreshashfun  14504  swrdfv2  14731  addlenpfx  14760  ccatpfx  14770  2cshwid  14885  cshweqdif2  14890  2cshwcshw  14896  cshwcshid  14898  isercoll2  15756  isumshft  15928  dvdssubr  16395  vdwlem3  17075  vdwlem9  17081  prmgaplem7  17149  mplsubrglem  22218  blcvx  25024  dvef  26207  dvcvx  26247  sincosq2sgn  26737  sincosq3sgn  26738  sincosq4sgn  26739  eflogeq  26839  logdivlti  26857  advlogexp  26892  cvxcl  27221  scvxcvx  27222  cvxsconn  35822  resconn  35825  cos2h  38365  ftc1anclem5  38446  jm2.26a  43841  jm2.27c  43848  goldbachthlem1  48448  nn0sumshdiglemB  49550