Theorem subid 11380

Description: Subtraction of a number from itself. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 𝐴) = 0)

Proof of Theorem subid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addrid 11293	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
2	1	oveq1d 7361	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 0) − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
3		0cn 11104	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		pncan2 11367	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐴) = 0)
5	3, 4	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 0) − 𝐴) = 0)
6	2, 5	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   + caddc 11009   − cmin 11344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346

This theorem is referenced by:  subeq0  11387  npncan2  11388  neg0  11407  subidi  11432  subidd  11460  addid0  11536  fsum0diag2  15690  mulc1cncf  24826  dvconst  25846  dvef  25912  addsq2reu  27379  colinearalg  28889  axcgrid  28895  0cnv  45786  cnambpcma  47331  line2  48790