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Theorem remul01 39543
Description: Real number version of mul01 10808 proven without ax-mulcom 10590. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
remul01 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem remul01
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7143 . . . . . . 7 ((𝐴 · 0) = 1 → (2 · (𝐴 · 0)) = (2 · 1))
21adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = (2 · 1))
3 2re 11699 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
4 ax-1rid 10596 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
53, 4mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · 1) = 2)
62, 5eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = 2)
73a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 2 ∈ ℝ)
8 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 0red 10633 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 0 ∈ ℝ)
108, 9remulcld 10660 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
117, 10remulcld 10660 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) ∈ ℝ)
12 sn-0ne2 39542 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ 2
1312necomi 3041 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((2 · (𝐴 · 0)) = 2 → 2 ≠ 0)
15 eqtr2 2819 . . . . . . . . . 10 (((2 · (𝐴 · 0)) = 2 ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 0) → 2 = 0)
1614, 15mteqand 3090 . . . . . . . . 9 ((2 · (𝐴 · 0)) = 2 → (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 0)
17 ax-rrecex 10598 . . . . . . . . 9 (((2 · (𝐴 · 0)) ∈ ℝ ∧ (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
1811, 16, 17syl2an 598 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
19 2cnd 11703 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 2 ∈ ℂ)
20 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21 0red 10633 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℝ)
2220, 21remulcld 10660 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
2322recnd 10658 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) ∈ ℂ)
24 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2524recnd 10658 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2619, 23, 25mulassd 10653 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = (2 · ((𝐴 · 0) · 𝑥)))
27 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
2820recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 0cnd 10623 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
3028, 29, 25mulassd 10653 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · (0 · 𝑥)))
31 remul02 39541 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝑥) = 0)
3332oveq2d 7151 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
3430, 33eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · 0))
3534oveq2d 7151 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (2 · ((𝐴 · 0) · 𝑥)) = (2 · (𝐴 · 0)))
3626, 27, 353eqtr3rd 2842 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
3718, 36rexlimddv 3250 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
386, 37mpdan 686 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
39 sn-1ne2 39464 . . . . . . 7 1 ≠ 2
4039a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 1 ≠ 2)
4138, 40eqnetrd 3054 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 2)
426, 41pm2.21ddne 3071 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → ¬ (𝐴 · 0) = 1)
4342ex 416 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1))
44 pm2.01 192 . . . 4 (((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1) → ¬ (𝐴 · 0) = 1)
4544neqned 2994 . . 3 (((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1) → (𝐴 · 0) ≠ 1)
4643, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) ≠ 1)
47 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
48 elre0re 39460 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
4947, 48remulcld 10660 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
50 ax-rrecex 10598 . . . . . 6 (((𝐴 · 0) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
5149, 50sylan 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
52 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5352recnd 10658 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
54 0cnd 10623 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
55 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5655recnd 10658 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5753, 54, 56mulassd 10653 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · (0 · 𝑥)))
58 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
5931oveq2d 7151 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
6059ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
6157, 58, 603eqtr3rd 2842 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) = 1)
6251, 61rexlimddv 3250 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → (𝐴 · 0) = 1)
6362ex 416 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) ≠ 0 → (𝐴 · 0) = 1))
6463necon1d 3009 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) ≠ 1 → (𝐴 · 0) = 0))
6546, 64mpd 15 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  wrex 3107  (class class class)co 7135  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  2c2 11680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-2 11688  df-3 11689  df-resub 39502
This theorem is referenced by:  resubid  39544  sn-it0e0  39550  rei4  39558  remulinvcom  39567  remulid2  39568  mulgt0con2d  39582  mulgt0b2d  39583  sn-0lt1  39585  sn-inelr  39588
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