Theorem remul01 42118

Description: Real number version of mul01 11434 proven without ax-mulcom 11213. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
remul01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem remul01

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 · 0) = 1 → (2 · (𝐴 · 0)) = (2 · 1))
2	1	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = (2 · 1))
3		2re 12332	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		ax-1rid 11219	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · 1) = 2)
6	2, 5	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = 2)
7	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 2 ∈ ℝ)
8		simpl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		0red 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 0 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
11	7, 10	remulcld 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) ∈ ℝ)
12		sn-0ne2 42117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 2
13	12	necomi 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (𝐴 · 0)) = 2 → 2 ≠ 0)
15		eqtr2 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (𝐴 · 0)) = 2 ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 0) → 2 = 0)
16	14, 15	mteqand 3023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (𝐴 · 0)) = 2 → (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 0)
17		ax-rrecex 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · (𝐴 · 0)) ∈ ℝ ∧ (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
18	11, 16, 17	syl2an 594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
19		2cnd 12336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 2 ∈ ℂ)
20		simplll 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21		0red 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℝ)
22	20, 21	remulcld 11285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) ∈ ℂ)
24		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	24	recnd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
26	19, 23, 25	mulassd 11278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = (2 · ((𝐴 · 0) · 𝑥)))
27		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
28	20	recnd 11283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		0cnd 11248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
30	28, 29, 25	mulassd 11278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · (0 · 𝑥)))
31		remul02 42116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
32	31	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝑥) = 0)
33	32	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
34	30, 33	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · 0))
35	34	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (2 · ((𝐴 · 0) · 𝑥)) = (2 · (𝐴 · 0)))
36	26, 27, 35	3eqtr3rd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
37	18, 36	rexlimddv 3151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
38	6, 37	mpdan 685	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
39		sn-1ne2 42004	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 1 ≠ 2)
41	38, 40	eqnetrd 2998	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 2)
42	6, 41	pm2.21ddne 3016	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → ¬ (𝐴 · 0) = 1)
43	42	ex 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1))
44		pm2.01 188	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1) → ¬ (𝐴 · 0) = 1)
45	44	neqned 2937	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1) → (𝐴 · 0) ≠ 1)
46	43, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) ≠ 1)
47		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
48		elre0re 42000	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
49	47, 48	remulcld 11285	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
50		ax-rrecex 11221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 0) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
51	49, 50	sylan 578	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
52		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	52	recnd 11283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
54		0cnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
55		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
57	53, 54, 56	mulassd 11278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · (0 · 𝑥)))
58		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
59	31	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
60	59	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
61	57, 58, 60	3eqtr3rd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) = 1)
62	51, 61	rexlimddv 3151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → (𝐴 · 0) = 1)
63	62	ex 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) ≠ 0 → (𝐴 · 0) = 1))
64	63	necon1d 2952	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) ≠ 1 → (𝐴 · 0) = 0))
65	46, 64	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060  (class class class)co 7416  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   · cmul 11154  2c2 12313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-ltxr 11294  df-2 12321  df-3 12322  df-resub 42077

This theorem is referenced by:  resubid  42119  remulneg2d  42125  sn-it0e0  42126  remulinvcom  42143  remullid  42144  nn0mulcom  42165  zmulcomlem  42166  mulgt0con2d  42170