Theorem remul01 42400

Description: Real number version of mul01 11314 proven without ax-mulcom 11092. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
remul01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem remul01

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 · 0) = 1 → (2 · (𝐴 · 0)) = (2 · 1))
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = (2 · 1))
3		2re 12221	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		ax-1rid 11098	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · 1) = 2)
6	2, 5	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = 2)
7	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 2 ∈ ℝ)
8		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		0red 11137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 0 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
11	7, 10	remulcld 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) ∈ ℝ)
12		sn-0ne2 42399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 2
13	12	necomi 2979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (𝐴 · 0)) = 2 → 2 ≠ 0)
15		eqtr2 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (𝐴 · 0)) = 2 ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 0) → 2 = 0)
16	14, 15	mteqand 3016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (𝐴 · 0)) = 2 → (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 0)
17		ax-rrecex 11100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · (𝐴 · 0)) ∈ ℝ ∧ (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
18	11, 16, 17	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
19		2cnd 12225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 2 ∈ ℂ)
20		simplll 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21		0red 11137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℝ)
22	20, 21	remulcld 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) ∈ ℂ)
24		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	24	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
26	19, 23, 25	mulassd 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = (2 · ((𝐴 · 0) · 𝑥)))
27		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
28	20	recnd 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		0cnd 11127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
30	28, 29, 25	mulassd 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · (0 · 𝑥)))
31		remul02 42398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
32	31	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝑥) = 0)
33	32	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
34	30, 33	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · 0))
35	34	oveq2d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (2 · ((𝐴 · 0) · 𝑥)) = (2 · (𝐴 · 0)))
36	26, 27, 35	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
37	18, 36	rexlimddv 3136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
38	6, 37	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
39		sn-1ne2 42258	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 1 ≠ 2)
41	38, 40	eqnetrd 2992	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 2)
42	6, 41	pm2.21ddne 3009	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → ¬ (𝐴 · 0) = 1)
43	42	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1))
44		pm2.01 188	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1) → ¬ (𝐴 · 0) = 1)
45	44	neqned 2932	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1) → (𝐴 · 0) ≠ 1)
46	43, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) ≠ 1)
47		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
48		elre0re 42247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
49	47, 48	remulcld 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
50		ax-rrecex 11100	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 0) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
51	49, 50	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
52		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	52	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
54		0cnd 11127	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
55		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
57	53, 54, 56	mulassd 11157	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · (0 · 𝑥)))
58		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
59	31	oveq2d 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
60	59	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
61	57, 58, 60	3eqtr3rd 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) = 1)
62	51, 61	rexlimddv 3136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → (𝐴 · 0) = 1)
63	62	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) ≠ 0 → (𝐴 · 0) = 1))
64	63	necon1d 2947	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) ≠ 1 → (𝐴 · 0) = 0))
65	46, 64	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033  2c2 12202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-2 12210  df-3 12211  df-resub 42359

This theorem is referenced by:  sn-remul0ord  42401  resubid  42402  remulneg2d  42408  sn-it0e0  42409  remulinvcom  42426  remullid  42427  nn0mulcom  42459  zmulcomlem  42460  mulgt0con2d  42464  mulgt0b2d  42471