Theorem remul01 40039

Description: Real number version of mul01 10976 proven without ax-mulcom 10758. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
remul01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem remul01

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 · 0) = 1 → (2 · (𝐴 · 0)) = (2 · 1))
2	1	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = (2 · 1))
3		2re 11869	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		ax-1rid 10764	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · 1) = 2)
6	2, 5	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = 2)
7	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 2 ∈ ℝ)
8		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		0red 10801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 0 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 10828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
11	7, 10	remulcld 10828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) ∈ ℝ)
12		sn-0ne2 40038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 2
13	12	necomi 2986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (𝐴 · 0)) = 2 → 2 ≠ 0)
15		eqtr2 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (𝐴 · 0)) = 2 ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 0) → 2 = 0)
16	14, 15	mteqand 3035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (𝐴 · 0)) = 2 → (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 0)
17		ax-rrecex 10766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · (𝐴 · 0)) ∈ ℝ ∧ (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
18	11, 16, 17	syl2an 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
19		2cnd 11873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 2 ∈ ℂ)
20		simplll 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21		0red 10801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℝ)
22	20, 21	remulcld 10828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
23	22	recnd 10826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) ∈ ℂ)
24		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	24	recnd 10826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
26	19, 23, 25	mulassd 10821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = (2 · ((𝐴 · 0) · 𝑥)))
27		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
28	20	recnd 10826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		0cnd 10791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
30	28, 29, 25	mulassd 10821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · (0 · 𝑥)))
31		remul02 40037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
32	31	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝑥) = 0)
33	32	oveq2d 7207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
34	30, 33	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · 0))
35	34	oveq2d 7207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (2 · ((𝐴 · 0) · 𝑥)) = (2 · (𝐴 · 0)))
36	26, 27, 35	3eqtr3rd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
37	18, 36	rexlimddv 3200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
38	6, 37	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
39		sn-1ne2 39943	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 1 ≠ 2)
41	38, 40	eqnetrd 2999	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 2)
42	6, 41	pm2.21ddne 3016	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → ¬ (𝐴 · 0) = 1)
43	42	ex 416	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1))
44		pm2.01 192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1) → ¬ (𝐴 · 0) = 1)
45	44	neqned 2939	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1) → (𝐴 · 0) ≠ 1)
46	43, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) ≠ 1)
47		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
48		elre0re 39939	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
49	47, 48	remulcld 10828	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
50		ax-rrecex 10766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 0) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
51	49, 50	sylan 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
52		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	52	recnd 10826	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
54		0cnd 10791	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
55		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
56	55	recnd 10826	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
57	53, 54, 56	mulassd 10821	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · (0 · 𝑥)))
58		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
59	31	oveq2d 7207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
60	59	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
61	57, 58, 60	3eqtr3rd 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) = 1)
62	51, 61	rexlimddv 3200	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → (𝐴 · 0) = 1)
63	62	ex 416	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) ≠ 0 → (𝐴 · 0) = 1))
64	63	necon1d 2954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) ≠ 1 → (𝐴 · 0) = 0))
65	46, 64	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∃wrex 3052  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695   · cmul 10699  2c2 11850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837  df-2 11858  df-3 11859  df-resub 39998

This theorem is referenced by:  resubid  40040  sn-it0e0  40046  rei4  40054  remulinvcom  40063  remulid2  40064  mulgt0con2d  40078  mulgt0b2d  40079  sn-0lt1  40081  sn-inelr  40084