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Theorem remul01 42437
Description: Real number version of mul01 11440 proven without ax-mulcom 11219. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
remul01 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem remul01
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . . 7 ((𝐴 · 0) = 1 → (2 · (𝐴 · 0)) = (2 · 1))
21adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = (2 · 1))
3 2re 12340 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
4 ax-1rid 11225 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
53, 4mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · 1) = 2)
62, 5eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = 2)
73a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 2 ∈ ℝ)
8 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 0red 11264 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 0 ∈ ℝ)
108, 9remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
117, 10remulcld 11291 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) ∈ ℝ)
12 sn-0ne2 42436 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ 2
1312necomi 2995 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((2 · (𝐴 · 0)) = 2 → 2 ≠ 0)
15 eqtr2 2761 . . . . . . . . . 10 (((2 · (𝐴 · 0)) = 2 ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 0) → 2 = 0)
1614, 15mteqand 3033 . . . . . . . . 9 ((2 · (𝐴 · 0)) = 2 → (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 0)
17 ax-rrecex 11227 . . . . . . . . 9 (((2 · (𝐴 · 0)) ∈ ℝ ∧ (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
1811, 16, 17syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
19 2cnd 12344 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 2 ∈ ℂ)
20 simplll 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21 0red 11264 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℝ)
2220, 21remulcld 11291 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
2322recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) ∈ ℂ)
24 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2524recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2619, 23, 25mulassd 11284 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = (2 · ((𝐴 · 0) · 𝑥)))
27 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)
2820recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 0cnd 11254 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
3028, 29, 25mulassd 11284 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · (0 · 𝑥)))
31 remul02 42435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
3231ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝑥) = 0)
3332oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
3430, 33eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · 0))
3534oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (2 · ((𝐴 · 0) · 𝑥)) = (2 · (𝐴 · 0)))
3626, 27, 353eqtr3rd 2786 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝐴 · 0)) · 𝑥) = 1)) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
3718, 36rexlimddv 3161 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) ∧ (2 · (𝐴 · 0)) = 2) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
386, 37mpdan 687 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) = 1)
39 sn-1ne2 42300 . . . . . . 7 1 ≠ 2
4039a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → 1 ≠ 2)
4138, 40eqnetrd 3008 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → (2 · (𝐴 · 0)) ≠ 2)
426, 41pm2.21ddne 3026 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) = 1) → ¬ (𝐴 · 0) = 1)
4342ex 412 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1))
44 pm2.01 188 . . . 4 (((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1) → ¬ (𝐴 · 0) = 1)
4544neqned 2947 . . 3 (((𝐴 · 0) = 1 → ¬ (𝐴 · 0) = 1) → (𝐴 · 0) ≠ 1)
4643, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) ≠ 1)
47 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
48 elre0re 42295 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
4947, 48remulcld 11291 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) ∈ ℝ)
50 ax-rrecex 11227 . . . . . 6 (((𝐴 · 0) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
5149, 50sylan 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
52 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5352recnd 11289 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
54 0cnd 11254 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
55 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5655recnd 11289 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5753, 54, 56mulassd 11284 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = (𝐴 · (0 · 𝑥)))
58 simprr 773 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)
5931oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
6059ad2antrl 728 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (0 · 𝑥)) = (𝐴 · 0))
6157, 58, 603eqtr3rd 2786 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 0) · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 0) = 1)
6251, 61rexlimddv 3161 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 0) ≠ 0) → (𝐴 · 0) = 1)
6362ex 412 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) ≠ 0 → (𝐴 · 0) = 1))
6463necon1d 2962 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 0) ≠ 1 → (𝐴 · 0) = 0))
6546, 64mpd 15 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  2c2 12321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-2 12329  df-3 12330  df-resub 42396
This theorem is referenced by:  resubid  42438  remulneg2d  42444  sn-it0e0  42445  remulinvcom  42462  remullid  42463  nn0mulcom  42484  zmulcomlem  42485  mulgt0con2d  42489
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