Theorem rightpos 27819

Description: A surreal is non-negative iff all its right options are positive. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rightpos.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
rightpos.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
rightpos	⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ ∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅))

Distinct variable groups:   𝑋,𝑥_𝑅   𝐴,𝑥_𝑅   𝐵,𝑥_𝑅

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥_𝑅)

Proof of Theorem rightpos

Dummy variable 𝑥_𝐿 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 5302	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
2		nulssgt 27776	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ <<s ∅)
4		rightpos.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
5		df-0s 27805	. . . 4 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s = (∅ |s ∅))
7		rightpos.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
8	3, 4, 6, 7	slerecd 27798	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ∧ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋)))
9		ral0 4452	. . 3 ⊢ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋
10	9	biantru 529	. 2 ⊢ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ↔ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ∧ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋))
11	8, 10	bitr4di 289	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ ∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4555   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360   No csur 27611   <s cslt 27612   ≤s csle 27716   <<s csslt 27757   |s cscut 27759   0_s c0s 27803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1o 8399  df-2o 8400  df-no 27614  df-slt 27615  df-bday 27616  df-sle 27717  df-sslt 27758  df-scut 27760  df-0s 27805

This theorem is referenced by: (None)