Theorem rintopn 23140

Description: A finite relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
rintopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rintopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 5022	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2	1	ineq2i 4166	. 2 ⊢ (𝑋 ∩ ∩ 𝐴) = (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
3		dfss3 3923	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐽)
4		1open.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	riinopn 23139	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
6	5	3com23 1144	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
7	3, 6	syl3an2b 1431	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
8	2, 7	eqeltrid 2866	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝐴) ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4870  ∩ cint 4910  ∩ ciin 4955  Fincfn 8956  Topctop 23124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-1o 8459  df-2o 8460  df-en 8957  df-dom 8958  df-fin 8960  df-top 23125

This theorem is used by:  ptcnplem  23853  tmdgsum2  24328  limciun  26128