Theorem rintopn 23023

Description: A finite relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
rintopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rintopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 5019	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2	1	ineq2i 4172	. 2 ⊢ (𝑋 ∩ ∩ 𝐴) = (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
3		dfss3 3928	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐽)
4		1open.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	riinopn 23022	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
6	5	3com23 1142	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
7	3, 6	syl3an2b 1427	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
8	2, 7	eqeltrid 2869	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∪ cuni 4867  ∩ cint 4907  ∩ ciin 4952  Fincfn 8931  Topctop 23007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8441  df-2o 8442  df-en 8932  df-dom 8933  df-fin 8935  df-top 23008

This theorem is referenced by:  ptcnplem  23735  tmdgsum2  24210  limciun  26010