MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rintopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rintopn 23027
Description: A finite relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1open.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
rintopn ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rintopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intiin 5020 . . 3 𝐴 = 𝑥𝐴 𝑥
21ineq2i 4172 . 2 (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝑥𝐴 𝑥)
3 dfss3 3928 . . 3 (𝐴𝐽 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐽)
4 1open.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
54riinopn 23026 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐽) → (𝑋 𝑥𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
653com23 1142 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐽𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 𝑥𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
73, 6syl3an2b 1427 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 𝑥𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
82, 7eqeltrid 2869 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 𝐴) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1101   = wceq 1563  wcel 2145  wral 3079  cin 3906  wss 3907   cuni 4868   cint 4908   ciin 4953  Fincfn 8931  Topctop 23011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8441  df-2o 8442  df-en 8932  df-dom 8933  df-fin 8935  df-top 23012
This theorem is referenced by:  ptcnplem  23739  tmdgsum2  24214  limciun  26014
  Copyright terms: Public domain W3C validator