Theorem rintopn 22825

Description: A finite relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
rintopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rintopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 5010	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2	1	ineq2i 4166	. 2 ⊢ (𝑋 ∩ ∩ 𝐴) = (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
3		dfss3 3919	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐽)
4		1open.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	riinopn 22824	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
6	5	3com23 1126	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
7	3, 6	syl3an2b 1406	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
8	2, 7	eqeltrid 2837	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4858  ∩ cint 4897  ∩ ciin 4942  Fincfn 8875  Topctop 22809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-1o 8391  df-2o 8392  df-en 8876  df-dom 8877  df-fin 8879  df-top 22810

This theorem is referenced by:  ptcnplem  23537  tmdgsum2  24012  limciun  25823