Theorem rintopn 22916

Description: A finite relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
rintopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rintopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 5058	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2	1	ineq2i 4216	. 2 ⊢ (𝑋 ∩ ∩ 𝐴) = (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥)
3		dfss3 3971	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐽)
4		1open.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	riinopn 22915	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
6	5	3com23 1126	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
7	3, 6	syl3an2b 1405	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥) ∈ 𝐽)
8	2, 7	eqeltrid 2844	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  ∪ cuni 4906  ∩ cint 4945  ∩ ciin 4991  Fincfn 8986  Topctop 22900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-1o 8507  df-2o 8508  df-en 8987  df-dom 8988  df-fin 8990  df-top 22901

This theorem is referenced by:  ptcnplem  23630  tmdgsum2  24105  limciun  25930