Theorem riinopn 22850

Description: A finite indexed relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
riinopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem riinopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riin0 5035	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = 𝑋)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = 𝑋)
3		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐽 ∈ Top)
4		1open.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	topopn 22848	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑋 ∈ 𝐽)
7	2, 6	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
8	4	eltopss 22849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
9	8	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑋))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑋))
11	10	ralimdv 3148	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋))
12	11	3impia 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
13		riinn0 5036	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
14	12, 13	sylan 580	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
15		iinopn 22844	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)
16	15	3exp2 1355	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽))))
17	16	com34 91	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽))))
18	17	3imp1 1348	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)
19	14, 18	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
20	7, 19	pm2.61dane 3017	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  ∪ cuni 4861  ∩ ciin 4945  Fincfn 8881  Topctop 22835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-1o 8395  df-2o 8396  df-en 8882  df-dom 8883  df-fin 8885  df-top 22836

This theorem is referenced by:  rintopn  22851  iuncld  22987