Theorem riinopn 22795

Description: A finite indexed relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
riinopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem riinopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riin0 5046	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = 𝑋)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = 𝑋)
3		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐽 ∈ Top)
4		1open.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	topopn 22793	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑋 ∈ 𝐽)
7	2, 6	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
8	4	eltopss 22794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
9	8	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑋))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑋))
11	10	ralimdv 3147	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋))
12	11	3impia 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
13		riinn0 5047	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
14	12, 13	sylan 580	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
15		iinopn 22789	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)
16	15	3exp2 1355	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽))))
17	16	com34 91	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽))))
18	17	3imp1 1348	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)
19	14, 18	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
20	7, 19	pm2.61dane 3012	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ∪ cuni 4871  ∩ ciin 4956  Fincfn 8918  Topctop 22780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-1o 8434  df-2o 8435  df-en 8919  df-dom 8920  df-fin 8922  df-top 22781

This theorem is referenced by:  rintopn  22796  iuncld  22932