MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riinopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riinopn 22761
Description: A finite indexed relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1open.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
riinopn ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem riinopn
StepHypRef Expression
1 riin0 5078 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑋)
21adantl 481 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑋)
3 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐽 ∈ Top)
4 1open.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
54topopn 22759 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
63, 5syl 17 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑋𝐽)
72, 6eqeltrd 2827 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
84eltopss 22760 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵𝑋)
98ex 412 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → (𝐵𝐽𝐵𝑋))
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐽𝐵𝑋))
1110ralimdv 3163 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑋))
12113impia 1114 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑋)
13 riinn0 5079 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑋𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 𝐵)
1412, 13sylan 579 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 𝐵)
15 iinopn 22755 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
16153exp2 1351 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 𝑥𝐴 𝐵𝐽))))
1716com34 91 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → 𝑥𝐴 𝐵𝐽))))
18173imp1 1344 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
1914, 18eqeltrd 2827 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
207, 19pm2.61dane 3023 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  cin 3942  wss 3943  c0 4317   cuni 4902   ciin 4991  Fincfn 8938  Topctop 22746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-fin 8942  df-top 22747
This theorem is referenced by:  rintopn  22762  iuncld  22900
  Copyright terms: Public domain W3C validator