Theorem riinopn 22867

Description: A finite indexed relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
riinopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem riinopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riin0 5039	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = 𝑋)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = 𝑋)
3		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐽 ∈ Top)
4		1open.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	topopn 22865	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑋 ∈ 𝐽)
7	2, 6	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
8	4	eltopss 22866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
9	8	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑋))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑋))
11	10	ralimdv 3152	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋))
12	11	3impia 1118	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
13		riinn0 5040	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
14	12, 13	sylan 581	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
15		iinopn 22861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)
16	15	3exp2 1356	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽))))
17	16	com34 91	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽))))
18	17	3imp1 1349	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)
19	14, 18	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
20	7, 19	pm2.61dane 3020	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∪ cuni 4865  ∩ ciin 4949  Fincfn 8895  Topctop 22852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-1o 8407  df-2o 8408  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899  df-top 22853

This theorem is referenced by:  rintopn  22868  iuncld  23004