MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riinopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riinopn 22208
Description: A finite indexed relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1open.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
riinopn ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem riinopn
StepHypRef Expression
1 riin0 5040 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑋)
21adantl 482 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑋)
3 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐽 ∈ Top)
4 1open.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
54topopn 22206 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
63, 5syl 17 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑋𝐽)
72, 6eqeltrd 2838 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
84eltopss 22207 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵𝑋)
98ex 413 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → (𝐵𝐽𝐵𝑋))
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐽𝐵𝑋))
1110ralimdv 3164 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑋))
12113impia 1117 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑋)
13 riinn0 5041 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑋𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 𝐵)
1412, 13sylan 580 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 𝐵)
15 iinopn 22202 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
16153exp2 1354 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 𝑥𝐴 𝐵𝐽))))
1716com34 91 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → 𝑥𝐴 𝐵𝐽))))
18173imp1 1347 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
1914, 18eqeltrd 2838 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
207, 19pm2.61dane 3030 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  cin 3907  wss 3908  c0 4280   cuni 4863   ciin 4953  Fincfn 8841  Topctop 22193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-fin 8845  df-top 22194
This theorem is referenced by:  rintopn  22209  iuncld  22347
  Copyright terms: Public domain W3C validator