MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riinopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riinopn 22930
Description: A finite indexed relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1open.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
riinopn ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem riinopn
StepHypRef Expression
1 riin0 5087 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑋)
21adantl 481 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑋)
3 simpl1 1190 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐽 ∈ Top)
4 1open.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
54topopn 22928 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
63, 5syl 17 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑋𝐽)
72, 6eqeltrd 2839 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
84eltopss 22929 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵𝑋)
98ex 412 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → (𝐵𝐽𝐵𝑋))
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐽𝐵𝑋))
1110ralimdv 3167 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑋))
12113impia 1116 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑋)
13 riinn0 5088 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑋𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 𝐵)
1412, 13sylan 580 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) = 𝑥𝐴 𝐵)
15 iinopn 22924 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
16153exp2 1353 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 𝑥𝐴 𝐵𝐽))))
1716com34 91 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → 𝑥𝐴 𝐵𝐽))))
18173imp1 1346 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
1914, 18eqeltrd 2839 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
207, 19pm2.61dane 3027 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽) → (𝑋 𝑥𝐴 𝐵) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  cin 3962  wss 3963  c0 4339   cuni 4912   ciin 4997  Fincfn 8984  Topctop 22915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-top 22916
This theorem is referenced by:  rintopn  22931  iuncld  23069
  Copyright terms: Public domain W3C validator