Theorem ressbas2 17299

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3924	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 219	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6897	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5292	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 17297	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-1cn 11159  ax-addcl 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-nn 12235  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292

This theorem is referenced by:  rescbas  17887  fullresc  17909  resssetc  18150  yoniso  18342  issstrmgm  18712  gsumress  18741  issubmgm2  18762  submgmbas  18768  resmgmhm  18770  issubmnd  18820  ress0g  18821  submnd0  18822  submbas  18874  resmhm  18880  resgrpplusfrn  19018  ressmulgnn  19143  ressmulgnn0  19144  ressmulgnnd  19145  subgbas  19197  issubg2  19209  resghm  19303  symgbas  19443  finodsubmsubg  19638  submod  19640  cntrcmnd  19913  ringidss  20361  unitgrpbas  20465  isdrng2  20830  drngid2  20838  isdrngd  20850  isdrngdOLD  20852  sdrgbas  20878  cntzsdrg  20886  subdrgint  20887  primefld  20889  islss3  21061  lsslss  21063  lsslsp  21117  reslmhm  21154  2idlbas  21383  rng2idl1cntr  21426  cnmsubglem  21561  nn0srg  21568  rge0srg  21569  xrs1mnd  21571  xrs10  21572  xrs1cmn  21573  xrge0subm  21574  xrge0cmn  21575  zringbas  21584  expghm  21606  fermltlchr  21660  cnmsgnbas  21709  psgnghm  21711  rebase  21737  dsmmbase  21866  dsmmval2  21867  lsslindf  21961  lsslinds  21962  islinds3  21965  resspsrbas  22104  mplbas  22120  ressmplbas  22159  evlssca  22226  mpfconst  22241  mpfind  22247  ply1bas  22336  ressply1bas  22369  evls1sca  22464  evls1fpws  22510  evls1vsca  22514  asclply1subcl  22515  evls1maplmhm  22518  m2cpmrngiso  22896  ressusp  24402  imasdsf1olem  24511  xrge0gsumle  24972  xrge0tsms  24973  cmssmscld  25490  cmsss  25491  minveclem3a  25567  efabl  26696  efsubm  26697  qrngbas  27764  ressplusf  33264  ressnm  33265  ressprs  33267  subgmulgcld  33344  ressmulgnn0d  33345  xrge0tsmsd  33374  ress1r  33533  subrdom  33586  subsdrg  33600  idomsubr  33611  xrge0slmod  33649  znfermltl  33662  ressply1evls1  33836  ressasclcl  33842  resssra  33958  drgextlsp  33965  lssdimle  33979  lbslsat  33987  ply1degltdimlem  33993  ply1degltdim  33994  dimkerim  33998  fedgmullem1  34000  fedgmullem2  34001  fedgmul  34002  dimlssid  34003  lvecendof1f1o  34004  sdrgfldext  34021  fldsdrgfldext  34032  fldsdrgfldext2  34033  fldgenfldext  34039  evls1fldgencl  34041  fldextrspunlsplem  34044  fldextrspunlsp  34045  fldextrspunlem1  34046  fldextrspunfld  34047  fldextrspundgle  34049  fldextrspundgdvdslem  34051  fldextrspundgdvds  34052  0ringirng  34060  extdgfialglem1  34063  extdgfialglem2  34064  algextdeglem3  34090  algextdeglem4  34091  algextdeglem8  34095  rtelextdg2lem  34097  rtelextdg2  34098  constrext2chnlem  34121  2sqr3minply  34151  rspecbas  34236  prsssdm  34288  ordtrestNEW  34292  ordtrest2NEW  34294  xrge0iifmhm  34310  esumpfinvallem  34445  sitgaddlemb  34719  prdsbnd2  38427  cnpwstotbnd  38429  repwsmet  38466  rrnequiv  38467  lcdvbase  42348  primrootsunit1  42845  primrootscoprmpow  42847  primrootscoprbij  42850  aks6d1c6lem4  42921  aks6d1c6isolem2  42923  aks6d1c6lem5  42925  aks5lem7  42948  islssfg  43780  lnmlsslnm  43791  pwssplit4  43799  deg1mhm  43910  gsumge0cl  47068  sge0tsms  47077  cnfldsrngbas  48909  amgmlemALT  50586