Theorem ressbas2 16739

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3870	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 219	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6709	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5199	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 16738	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666   ↾_s cress 16667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-1cn 10752  ax-addcl 10754

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-nn 11796  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674

This theorem is referenced by:  rescbas  17288  fullresc  17311  resssetc  17552  yoniso  17747  issstrmgm  18079  gsumress  18108  issubmnd  18154  ress0g  18155  submnd0  18156  submbas  18195  resmhm  18201  resgrpplusfrn  18335  subgbas  18501  issubg2  18512  resghm  18592  symgbas  18717  submod  18912  cntrcmnd  19181  ringidss  19549  unitgrpbas  19638  isdrng2  19731  drngmcl  19734  drngid2  19737  isdrngd  19746  cntzsdrg  19800  subdrgint  19801  primefld  19803  islss3  19950  lsslss  19952  lsslsp  20006  reslmhm  20043  xrs1mnd  20355  xrs10  20356  xrs1cmn  20357  xrge0subm  20358  xrge0cmn  20359  cnmsubglem  20380  nn0srg  20387  rge0srg  20388  zringbas  20395  expghm  20416  cnmsgnbas  20494  psgnghm  20496  rebase  20522  dsmmbase  20651  dsmmval2  20652  lsslindf  20746  lsslinds  20747  islinds3  20750  resspsrbas  20894  mplbas  20908  ressmplbas  20939  evlssca  21003  mpfconst  21015  mpfind  21021  ply1bas  21070  ressply1bas  21104  evls1sca  21193  m2cpmrngiso  21609  ressusp  23116  imasdsf1olem  23225  xrge0gsumle  23684  xrge0tsms  23685  cmssmscld  24201  cmsss  24202  minveclem3a  24278  efabl  25393  efsubm  25394  qrngbas  26454  ressplusf  30909  ressnm  30910  ressprs  30914  ressmulgnn  30965  ressmulgnn0  30966  xrge0tsmsd  30990  ress1r  31159  xrge0slmod  31216  znfermltl  31230  drgextlsp  31349  lssdimle  31359  lbslsat  31367  dimkerim  31376  fedgmullem1  31378  fedgmullem2  31379  fedgmul  31380  rspecbas  31483  prsssdm  31535  ordtrestNEW  31539  ordtrest2NEW  31541  xrge0iifmhm  31557  esumpfinvallem  31708  sitgaddlemb  31981  prdsbnd2  35639  cnpwstotbnd  35641  repwsmet  35678  rrnequiv  35679  lcdvbase  39293  selvval2lem4  39882  islssfg  40539  lnmlsslnm  40550  pwssplit4  40558  deg1mhm  40676  gsumge0cl  43527  sge0tsms  43536  cnfldsrngbas  44939  issubmgm2  44960  submgmbas  44966  resmgmhm  44968  amgmlemALT  46121