Theorem ressbas2 17156

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3916	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6845	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5263	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 17154	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2770	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127   ↾_s cress 17148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-1cn 11075  ax-addcl 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-nn 12137  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149

This theorem is referenced by:  rescbas  17744  fullresc  17766  resssetc  18007  yoniso  18199  issstrmgm  18569  gsumress  18598  issubmgm2  18619  submgmbas  18625  resmgmhm  18627  issubmnd  18677  ress0g  18678  submnd0  18679  submbas  18730  resmhm  18736  resgrpplusfrn  18871  ressmulgnn  18997  ressmulgnn0  18998  ressmulgnnd  18999  subgbas  19051  issubg2  19062  resghm  19152  symgbas  19292  finodsubmsubg  19487  submod  19489  cntrcmnd  19762  ringidss  20203  unitgrpbas  20309  isdrng2  20667  drngmclOLD  20675  drngid2  20676  isdrngd  20689  isdrngdOLD  20691  sdrgbas  20718  cntzsdrg  20726  subdrgint  20727  primefld  20729  islss3  20901  lsslss  20903  lsslsp  20957  lsslspOLD  20958  reslmhm  20995  2idlbas  21209  rng2idl1cntr  21251  cnmsubglem  21376  nn0srg  21383  rge0srg  21384  xrs1mnd  21386  xrs10  21387  xrs1cmn  21388  xrge0subm  21389  xrge0cmn  21390  zringbas  21399  expghm  21421  fermltlchr  21475  cnmsgnbas  21524  psgnghm  21526  rebase  21552  dsmmbase  21681  dsmmval2  21682  lsslindf  21776  lsslinds  21777  islinds3  21780  resspsrbas  21920  mplbas  21936  ressmplbas  21974  evlssca  22040  mpfconst  22055  mpfind  22061  ply1bas  22126  ply1basOLD  22127  ressply1bas  22160  evls1sca  22258  evls1fpws  22304  evls1vsca  22308  asclply1subcl  22309  evls1maplmhm  22312  m2cpmrngiso  22693  ressusp  24199  imasdsf1olem  24308  xrge0gsumle  24769  xrge0tsms  24770  cmssmscld  25297  cmsss  25298  minveclem3a  25374  efabl  26506  efsubm  26507  qrngbas  27577  ressplusf  32973  ressnm  32974  ressprs  32976  subgmulgcld  33054  ressmulgnn0d  33055  xrge0tsmsd  33083  ress1r  33243  subrdom  33295  subsdrg  33308  idomsubr  33319  xrge0slmod  33357  znfermltl  33375  ressply1evls1  33574  ressasclcl  33580  resssra  33671  drgextlsp  33678  lssdimle  33692  lbslsat  33701  ply1degltdimlem  33707  ply1degltdim  33708  dimkerim  33712  fedgmullem1  33714  fedgmullem2  33715  fedgmul  33716  dimlssid  33717  lvecendof1f1o  33718  sdrgfldext  33735  fldsdrgfldext  33746  fldsdrgfldext2  33747  fldgenfldext  33753  evls1fldgencl  33755  fldextrspunlsplem  33758  fldextrspunlsp  33759  fldextrspunlem1  33760  fldextrspunfld  33761  fldextrspundgle  33763  fldextrspundgdvdslem  33765  fldextrspundgdvds  33766  0ringirng  33774  extdgfialglem1  33777  extdgfialglem2  33778  algextdeglem3  33804  algextdeglem4  33805  algextdeglem8  33809  rtelextdg2lem  33811  rtelextdg2  33812  constrext2chnlem  33835  2sqr3minply  33865  rspecbas  33950  prsssdm  34002  ordtrestNEW  34006  ordtrest2NEW  34008  xrge0iifmhm  34024  esumpfinvallem  34159  sitgaddlemb  34433  prdsbnd2  37908  cnpwstotbnd  37910  repwsmet  37947  rrnequiv  37948  lcdvbase  41765  primrootsunit1  42263  primrootscoprmpow  42265  primrootscoprbij  42268  aks6d1c6lem4  42339  aks6d1c6isolem2  42341  aks6d1c6lem5  42343  aks5lem7  42366  islssfg  43227  lnmlsslnm  43238  pwssplit4  43246  deg1mhm  43357  gsumge0cl  46531  sge0tsms  46540  cnfldsrngbas  48323  amgmlemALT  49964