Theorem ressbas2 17282

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3980	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6920	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5326	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 17279	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2776	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244   ↾_s cress 17273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-1cn 11210  ax-addcl 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-nn 12264  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274

This theorem is referenced by:  rescbas  17876  rescbasOLD  17877  fullresc  17901  resssetc  18145  yoniso  18341  issstrmgm  18678  gsumress  18707  issubmgm2  18728  submgmbas  18734  resmgmhm  18736  issubmnd  18786  ress0g  18787  submnd0  18788  submbas  18839  resmhm  18845  resgrpplusfrn  18980  ressmulgnn  19106  ressmulgnn0  19107  ressmulgnnd  19108  subgbas  19160  issubg2  19171  resghm  19262  symgbas  19403  finodsubmsubg  19599  submod  19601  cntrcmnd  19874  ringidss  20290  unitgrpbas  20398  isdrng2  20759  drngmclOLD  20767  drngid2  20768  isdrngd  20781  isdrngdOLD  20783  sdrgbas  20811  cntzsdrg  20819  subdrgint  20820  primefld  20822  islss3  20974  lsslss  20976  lsslsp  21030  lsslspOLD  21031  reslmhm  21068  2idlbas  21290  rng2idl1cntr  21332  xrs1mnd  21439  xrs10  21440  xrs1cmn  21441  xrge0subm  21442  xrge0cmn  21443  cnmsubglem  21465  nn0srg  21472  rge0srg  21473  zringbas  21481  expghm  21503  fermltlchr  21561  cnmsgnbas  21613  psgnghm  21615  rebase  21641  dsmmbase  21772  dsmmval2  21773  lsslindf  21867  lsslinds  21868  islinds3  21871  resspsrbas  22011  mplbas  22027  ressmplbas  22063  evlssca  22130  mpfconst  22142  mpfind  22148  ply1bas  22211  ply1basOLD  22212  ressply1bas  22245  evls1sca  22342  evls1fpws  22388  evls1vsca  22392  asclply1subcl  22393  evls1maplmhm  22396  m2cpmrngiso  22779  ressusp  24288  imasdsf1olem  24398  xrge0gsumle  24868  xrge0tsms  24869  cmssmscld  25397  cmsss  25398  minveclem3a  25474  efabl  26606  efsubm  26607  qrngbas  27677  ressplusf  32932  ressnm  32933  ressprs  32938  subgmulgcld  33030  xrge0tsmsd  33047  ress1r  33223  subrdom  33268  idomsubr  33290  xrge0slmod  33355  znfermltl  33373  ressasclcl  33575  resssra  33616  drgextlsp  33622  lssdimle  33634  lbslsat  33643  ply1degltdimlem  33649  ply1degltdim  33650  dimkerim  33654  fedgmullem1  33656  fedgmullem2  33657  fedgmul  33658  dimlssid  33659  lvecendof1f1o  33660  fldgenfldext  33692  evls1fldgencl  33694  0ringirng  33703  algextdeglem3  33724  algextdeglem4  33725  algextdeglem8  33729  rtelextdg2lem  33731  rtelextdg2  33732  2sqr3minply  33752  rspecbas  33825  prsssdm  33877  ordtrestNEW  33881  ordtrest2NEW  33883  xrge0iifmhm  33899  esumpfinvallem  34054  sitgaddlemb  34329  prdsbnd2  37781  cnpwstotbnd  37783  repwsmet  37820  rrnequiv  37821  lcdvbase  41575  primrootsunit1  42078  primrootscoprmpow  42080  primrootscoprbij  42083  aks6d1c6lem4  42154  aks6d1c6isolem2  42156  aks6d1c6lem5  42158  aks5lem7  42181  islssfg  43058  lnmlsslnm  43069  pwssplit4  43077  deg1mhm  43188  gsumge0cl  46326  sge0tsms  46335  cnfldsrngbas  48004  amgmlemALT  49033