Theorem ressbas2 17186

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3964	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 215	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6904	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5320	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 17183	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-nn 12217  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178

This theorem is referenced by:  rescbas  17780  rescbasOLD  17781  fullresc  17805  resssetc  18046  yoniso  18242  issstrmgm  18578  gsumress  18607  issubmgm2  18628  submgmbas  18634  resmgmhm  18636  issubmnd  18686  ress0g  18687  submnd0  18688  submbas  18731  resmhm  18737  resgrpplusfrn  18872  subgbas  19046  issubg2  19057  resghm  19146  symgbas  19279  finodsubmsubg  19476  submod  19478  cntrcmnd  19751  ringidss  20165  unitgrpbas  20273  isdrng2  20514  drngmcl  20517  drngid2  20521  isdrngd  20533  isdrngdOLD  20535  sdrgbas  20553  cntzsdrg  20561  subdrgint  20562  primefld  20564  islss3  20714  lsslss  20716  lsslsp  20770  reslmhm  20807  2idlbas  21018  rng2idl1cntr  21064  xrs1mnd  21183  xrs10  21184  xrs1cmn  21185  xrge0subm  21186  xrge0cmn  21187  cnmsubglem  21208  nn0srg  21215  rge0srg  21216  zringbas  21224  expghm  21246  cnmsgnbas  21350  psgnghm  21352  rebase  21378  dsmmbase  21509  dsmmval2  21510  lsslindf  21604  lsslinds  21605  islinds3  21608  resspsrbas  21754  mplbas  21768  ressmplbas  21802  evlssca  21871  mpfconst  21883  mpfind  21889  ply1bas  21938  ressply1bas  21971  evls1sca  22062  m2cpmrngiso  22480  ressusp  23989  imasdsf1olem  24099  xrge0gsumle  24569  xrge0tsms  24570  cmssmscld  25098  cmsss  25099  minveclem3a  25175  efabl  26295  efsubm  26296  qrngbas  27358  ressplusf  32394  ressnm  32395  ressprs  32400  ressmulgnn  32451  ressmulgnn0  32452  xrge0tsmsd  32479  ress1r  32653  xrge0slmod  32733  fermltlchr  32752  znfermltl  32753  evls1fpws  32920  evls1vsca  32924  asclply1subcl  32934  resssra  32962  drgextlsp  32968  lssdimle  32980  lbslsat  32989  ply1degltdimlem  32995  ply1degltdim  32996  dimkerim  33000  fedgmullem1  33002  fedgmullem2  33003  fedgmul  33004  evls1fldgencl  33033  0ringirng  33042  evls1maplmhm  33049  algextdeglem3  33064  algextdeglem4  33065  algextdeglem8  33069  rspecbas  33143  prsssdm  33195  ordtrestNEW  33199  ordtrest2NEW  33201  xrge0iifmhm  33217  esumpfinvallem  33370  sitgaddlemb  33645  prdsbnd2  36966  cnpwstotbnd  36968  repwsmet  37005  rrnequiv  37006  lcdvbase  40767  islssfg  42114  lnmlsslnm  42125  pwssplit4  42133  deg1mhm  42251  gsumge0cl  45385  sge0tsms  45394  cnfldsrngbas  46837  amgmlemALT  47937