MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbas2 16138
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbas2 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2
StepHypRef Expression
1 df-ss 3783 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐴)
21biimpi 207 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵) = 𝐴)
3 ressbas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
43fvexi 6418 . . . 4 𝐵 ∈ V
54ssex 4997 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
6 ressbas.r . . . 4 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
76, 3ressbas 16137 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
85, 7syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
92, 8eqtr3d 2842 1 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2156  Vcvv 3391  cin 3768  wss 3769  cfv 6097  (class class class)co 6870  Basecbs 16064  s cress 16065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-nn 11302  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072
This theorem is referenced by:  rescbas  16689  fullresc  16711  resssetc  16942  yoniso  17126  issstrmgm  17453  gsumress  17477  issubmnd  17519  ress0g  17520  submnd0  17521  submbas  17556  resmhm  17560  resgrpplusfrn  17637  subgbas  17796  issubg2  17807  resghm  17874  submod  18181  ringidss  18775  unitgrpbas  18864  isdrng2  18957  drngmcl  18960  drngid2  18963  isdrngd  18972  islss3  19162  lsslss  19164  lsslsp  19218  reslmhm  19255  issubassa  19529  resspsrbas  19620  mplbas  19634  ressmplbas  19661  evlssca  19726  mpfconst  19734  mpfind  19740  ply1bas  19769  ressply1bas  19803  evls1sca  19892  xrs1mnd  19988  xrs10  19989  xrs1cmn  19990  xrge0subm  19991  xrge0cmn  19992  cnmsubglem  20013  nn0srg  20020  rge0srg  20021  zringbas  20028  expghm  20048  cnmsgnbas  20127  psgnghm  20129  rebase  20157  dsmmbase  20285  dsmmval2  20286  lsslindf  20375  lsslinds  20376  islinds3  20379  m2cpmrngiso  20772  ressusp  22278  imasdsf1olem  22387  xrge0gsumle  22845  xrge0tsms  22846  cmsss  23355  minveclem3a  23406  efabl  24507  efsubm  24508  qrngbas  25518  ressplusf  29971  ressnm  29972  ressprs  29976  ressmulgnn  30004  ressmulgnn0  30005  xrge0tsmsd  30106  ress1r  30110  xrge0slmod  30165  prsssdm  30284  ordtrestNEW  30288  ordtrest2NEW  30290  xrge0iifmhm  30306  esumpfinvallem  30457  sitgaddlemb  30731  prdsbnd2  33900  cnpwstotbnd  33902  repwsmet  33939  rrnequiv  33940  lcdvbase  37368  islssfg  38135  lnmlsslnm  38146  pwssplit4  38154  cntzsdrg  38267  deg1mhm  38280  gsumge0cl  41061  sge0tsms  41070  cnfldsrngbas  42331  issubmgm2  42352  submgmbas  42358  resmgmhm  42360  amgmlemALT  43114
  Copyright terms: Public domain W3C validator