Theorem ressbas2 16949

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3904	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 215	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6788	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5245	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 16947	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942

This theorem is referenced by:  rescbas  17541  rescbasOLD  17542  fullresc  17566  resssetc  17807  yoniso  18003  issstrmgm  18337  gsumress  18366  issubmnd  18412  ress0g  18413  submnd0  18414  submbas  18453  resmhm  18459  resgrpplusfrn  18593  subgbas  18759  issubg2  18770  resghm  18850  symgbas  18978  submod  19174  cntrcmnd  19443  ringidss  19816  unitgrpbas  19908  isdrng2  20001  drngmcl  20004  drngid2  20007  isdrngd  20016  cntzsdrg  20070  subdrgint  20071  primefld  20073  islss3  20221  lsslss  20223  lsslsp  20277  reslmhm  20314  xrs1mnd  20636  xrs10  20637  xrs1cmn  20638  xrge0subm  20639  xrge0cmn  20640  cnmsubglem  20661  nn0srg  20668  rge0srg  20669  zringbas  20676  expghm  20697  cnmsgnbas  20783  psgnghm  20785  rebase  20811  dsmmbase  20942  dsmmval2  20943  lsslindf  21037  lsslinds  21038  islinds3  21041  resspsrbas  21184  mplbas  21198  ressmplbas  21229  evlssca  21299  mpfconst  21311  mpfind  21317  ply1bas  21366  ressply1bas  21400  evls1sca  21489  m2cpmrngiso  21907  ressusp  23416  imasdsf1olem  23526  xrge0gsumle  23996  xrge0tsms  23997  cmssmscld  24514  cmsss  24515  minveclem3a  24591  efabl  25706  efsubm  25707  qrngbas  26767  ressplusf  31235  ressnm  31236  ressprs  31241  ressmulgnn  31292  ressmulgnn0  31293  xrge0tsmsd  31317  ress1r  31486  xrge0slmod  31548  znfermltl  31562  drgextlsp  31681  lssdimle  31691  lbslsat  31699  dimkerim  31708  fedgmullem1  31710  fedgmullem2  31711  fedgmul  31712  rspecbas  31815  prsssdm  31867  ordtrestNEW  31871  ordtrest2NEW  31873  xrge0iifmhm  31889  esumpfinvallem  32042  sitgaddlemb  32315  prdsbnd2  35953  cnpwstotbnd  35955  repwsmet  35992  rrnequiv  35993  lcdvbase  39607  selvval2lem4  40228  islssfg  40895  lnmlsslnm  40906  pwssplit4  40914  deg1mhm  41032  gsumge0cl  43909  sge0tsms  43918  cnfldsrngbas  45323  issubmgm2  45344  submgmbas  45350  resmgmhm  45352  amgmlemALT  46507