Theorem ressbas2 17409

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3917	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 219	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6897	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5282	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 17407	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2798	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380   ↾_s cress 17401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-1cn 11251  ax-addcl 11253

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12329  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402

This theorem is used by:  rescbas  17997  fullresc  18019  resssetc  18260  yoniso  18452  issstrmgm  18824  idressidex0  18853  idressidex  18854  idressid  18855  gsumress  18864  issubmgm2  18885  submgmbas  18891  resmgmhm  18893  issubmnd  18946  ress0gOLD  18948  submnd0OLD  18950  submbas  19003  resmhm  19009  resgrpplusfrn  19154  ressmulgnn  19279  ressmulgnn0  19280  ressmulgnnd  19281  subgbas  19333  issubg2  19345  resghm  19439  symgbas  19579  finodsubmsubg  19774  submod  19776  cntrcmnd  20049  ringidss  20499  unitgrpbas  20605  isdrng2  20990  isdrng3lem0  20997  drngid2  21003  isdrngd  21015  isdrngdOLD  21017  sdrgbas  21044  cntzsdrg  21052  subdrgint  21053  primefld  21055  islss3  21227  lsslss  21229  lsslsp  21283  reslmhm  21320  2idlbas  21550  rng2idl1cntr  21594  cnmsubglem  21729  nn0srg  21736  rge0srg  21737  xrs1mnd  21739  xrs10  21740  xrs1cmn  21741  xrge0subm  21742  xrge0cmn  21743  zringbas  21752  expghm  21774  fermltlchr  21828  cnmsgnbas  21877  psgnghm  21879  rebase  21905  dsmmbase  22034  dsmmval2  22035  lsslindf  22129  lsslinds  22130  islinds3  22133  resspsrbas  22274  mplbas  22290  ressmplbas  22329  evlssca  22396  mpfconst  22411  mpfind  22417  ply1bas  22506  ressply1bas  22539  evls1sca  22634  evls1fpws  22680  evls1vsca  22684  asclply1subcl  22685  evls1maplmhm  22688  m2cpmrngiso  23069  ressusp  24576  imasdsf1olem  24685  xrge0gsumle  25146  xrge0tsms  25147  cmssmscld  25664  cmsss  25665  minveclem3a  25741  efabl  26871  efsubm  26872  qrngbas  27939  ressplusf  33517  ressnm  33518  ressprs  33520  subgmulgcld  33597  ressmulgnn0d  33598  xrge0tsmsd  33627  ress1r  33786  subrdom  33839  subsdrg  33853  idomsubr  33864  xrge0slmod  33902  znfermltl  33915  ressply1evls1  34090  ressasclcl  34096  resssra  34212  drgextlsp  34219  lssdimle  34233  lbslsat  34241  ply1degltdimlem  34247  ply1degltdim  34248  dimkerim  34252  fedgmullem1  34254  fedgmullem2  34255  fedgmul  34256  dimlssid  34257  lvecendof1f1o  34258  sdrgfldext  34275  fldsdrgfldext  34286  fldsdrgfldext2  34287  fldgenfldext  34293  evls1fldgencl  34295  fldextrspunlsplem  34298  fldextrspunlsp  34299  fldextrspunlem1  34300  fldextrspunfld  34301  fldextrspundgle  34303  fldextrspundgdvdslem  34305  fldextrspundgdvds  34306  0ringirng  34314  extdgfialglem1  34317  extdgfialglem2  34318  algextdeglem3  34344  algextdeglem4  34345  algextdeglem8  34349  rtelextdg2lem  34351  rtelextdg2  34352  constrext2chnlem  34375  2sqr3minply  34405  rspecbas  34490  prsssdm  34542  ordtrestNEW  34546  ordtrest2NEW  34548  xrge0iifmhm  34564  esumpfinvallem  34699  sitgaddlemb  34973  prdsbnd2  38709  cnpwstotbnd  38711  repwsmet  38748  rrnequiv  38749  lcdvbase  42630  primrootsunit1  43127  primrootscoprmpow  43129  primrootscoprbij  43132  aks6d1c6lem4  43203  aks6d1c6isolem2  43205  aks6d1c6lem5  43207  aks5lem7  43230  islssfg  44056  lnmlsslnm  44067  pwssplit4  44075  deg1mhm  44186  gsumge0cl  47350  sge0tsms  47359  cnfldsrngbas  49227  amgmlemALT  50957