Theorem ressbas2 17315

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3924	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 219	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5293	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 17313	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2802	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286   ↾_s cress 17307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-1cn 11169  ax-addcl 11171

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12245  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308

This theorem is used by:  rescbas  17903  fullresc  17925  resssetc  18166  yoniso  18358  issstrmgm  18728  idressidex0  18752  idressidex  18753  idressid  18754  gsumress  18761  issubmgm2  18782  submgmbas  18788  resmgmhm  18790  issubmnd  18840  ress0gOLD  18842  submnd0OLD  18844  submbas  18896  resmhm  18902  resgrpplusfrn  19040  ressmulgnn  19165  ressmulgnn0  19166  ressmulgnnd  19167  subgbas  19219  issubg2  19231  resghm  19325  symgbas  19465  finodsubmsubg  19660  submod  19662  cntrcmnd  19935  ringidss  20384  unitgrpbas  20489  isdrng2  20872  isdrng3lem0  20879  drngid2  20885  isdrngd  20897  isdrngdOLD  20899  sdrgbas  20926  cntzsdrg  20934  subdrgint  20935  primefld  20937  islss3  21109  lsslss  21111  lsslsp  21165  reslmhm  21202  2idlbas  21431  rng2idl1cntr  21474  cnmsubglem  21609  nn0srg  21616  rge0srg  21617  xrs1mnd  21619  xrs10  21620  xrs1cmn  21621  xrge0subm  21622  xrge0cmn  21623  zringbas  21632  expghm  21654  fermltlchr  21708  cnmsgnbas  21757  psgnghm  21759  rebase  21785  dsmmbase  21914  dsmmval2  21915  lsslindf  22009  lsslinds  22010  islinds3  22013  resspsrbas  22152  mplbas  22168  ressmplbas  22207  evlssca  22274  mpfconst  22289  mpfind  22295  ply1bas  22384  ressply1bas  22417  evls1sca  22512  evls1fpws  22558  evls1vsca  22562  asclply1subcl  22563  evls1maplmhm  22566  m2cpmrngiso  22944  ressusp  24450  imasdsf1olem  24559  xrge0gsumle  25020  xrge0tsms  25021  cmssmscld  25538  cmsss  25539  minveclem3a  25615  efabl  26744  efsubm  26745  qrngbas  27812  ressplusf  33306  ressnm  33307  ressprs  33309  subgmulgcld  33386  ressmulgnn0d  33387  xrge0tsmsd  33416  ress1r  33575  subrdom  33628  subsdrg  33642  idomsubr  33653  xrge0slmod  33691  znfermltl  33704  ressply1evls1  33878  ressasclcl  33884  resssra  34000  drgextlsp  34007  lssdimle  34021  lbslsat  34029  ply1degltdimlem  34035  ply1degltdim  34036  dimkerim  34040  fedgmullem1  34042  fedgmullem2  34043  fedgmul  34044  dimlssid  34045  lvecendof1f1o  34046  sdrgfldext  34063  fldsdrgfldext  34074  fldsdrgfldext2  34075  fldgenfldext  34081  evls1fldgencl  34083  fldextrspunlsplem  34086  fldextrspunlsp  34087  fldextrspunlem1  34088  fldextrspunfld  34089  fldextrspundgle  34091  fldextrspundgdvdslem  34093  fldextrspundgdvds  34094  0ringirng  34102  extdgfialglem1  34105  extdgfialglem2  34106  algextdeglem3  34132  algextdeglem4  34133  algextdeglem8  34137  rtelextdg2lem  34139  rtelextdg2  34140  constrext2chnlem  34163  2sqr3minply  34193  rspecbas  34278  prsssdm  34330  ordtrestNEW  34334  ordtrest2NEW  34336  xrge0iifmhm  34352  esumpfinvallem  34487  sitgaddlemb  34762  prdsbnd2  38479  cnpwstotbnd  38481  repwsmet  38518  rrnequiv  38519  lcdvbase  42400  primrootsunit1  42897  primrootscoprmpow  42899  primrootscoprbij  42902  aks6d1c6lem4  42973  aks6d1c6isolem2  42975  aks6d1c6lem5  42977  aks5lem7  43000  islssfg  43830  lnmlsslnm  43841  pwssplit4  43849  deg1mhm  43960  gsumge0cl  47118  sge0tsms  47127  cnfldsrngbas  48959  amgmlemALT  50684