Theorem ressbas2 17283

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3969	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6920	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5321	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 17280	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275

This theorem is referenced by:  rescbas  17873  fullresc  17896  resssetc  18137  yoniso  18330  issstrmgm  18666  gsumress  18695  issubmgm2  18716  submgmbas  18722  resmgmhm  18724  issubmnd  18774  ress0g  18775  submnd0  18776  submbas  18827  resmhm  18833  resgrpplusfrn  18968  ressmulgnn  19094  ressmulgnn0  19095  ressmulgnnd  19096  subgbas  19148  issubg2  19159  resghm  19250  symgbas  19389  finodsubmsubg  19585  submod  19587  cntrcmnd  19860  ringidss  20274  unitgrpbas  20382  isdrng2  20743  drngmclOLD  20751  drngid2  20752  isdrngd  20765  isdrngdOLD  20767  sdrgbas  20795  cntzsdrg  20803  subdrgint  20804  primefld  20806  islss3  20957  lsslss  20959  lsslsp  21013  lsslspOLD  21014  reslmhm  21051  2idlbas  21273  rng2idl1cntr  21315  xrs1mnd  21422  xrs10  21423  xrs1cmn  21424  xrge0subm  21425  xrge0cmn  21426  cnmsubglem  21448  nn0srg  21455  rge0srg  21456  zringbas  21464  expghm  21486  fermltlchr  21544  cnmsgnbas  21596  psgnghm  21598  rebase  21624  dsmmbase  21755  dsmmval2  21756  lsslindf  21850  lsslinds  21851  islinds3  21854  resspsrbas  21994  mplbas  22010  ressmplbas  22046  evlssca  22113  mpfconst  22125  mpfind  22131  ply1bas  22196  ply1basOLD  22197  ressply1bas  22230  evls1sca  22327  evls1fpws  22373  evls1vsca  22377  asclply1subcl  22378  evls1maplmhm  22381  m2cpmrngiso  22764  ressusp  24273  imasdsf1olem  24383  xrge0gsumle  24855  xrge0tsms  24856  cmssmscld  25384  cmsss  25385  minveclem3a  25461  efabl  26592  efsubm  26593  qrngbas  27663  ressplusf  32948  ressnm  32949  ressprs  32954  subgmulgcld  33048  xrge0tsmsd  33065  ress1r  33238  subrdom  33288  idomsubr  33311  xrge0slmod  33376  znfermltl  33394  ressasclcl  33596  resssra  33638  drgextlsp  33644  lssdimle  33658  lbslsat  33667  ply1degltdimlem  33673  ply1degltdim  33674  dimkerim  33678  fedgmullem1  33680  fedgmullem2  33681  fedgmul  33682  dimlssid  33683  lvecendof1f1o  33684  fldsdrgfldext  33712  fldsdrgfldext2  33713  fldgenfldext  33718  evls1fldgencl  33720  fldextrspunlsplem  33723  fldextrspunlsp  33724  fldextrspunlem1  33725  fldextrspunfld  33726  fldextrspundgle  33728  fldextrspundgdvdslem  33730  fldextrspundgdvds  33731  0ringirng  33739  algextdeglem3  33760  algextdeglem4  33761  algextdeglem8  33765  rtelextdg2lem  33767  rtelextdg2  33768  2sqr3minply  33791  rspecbas  33864  prsssdm  33916  ordtrestNEW  33920  ordtrest2NEW  33922  xrge0iifmhm  33938  esumpfinvallem  34075  sitgaddlemb  34350  prdsbnd2  37802  cnpwstotbnd  37804  repwsmet  37841  rrnequiv  37842  lcdvbase  41595  primrootsunit1  42098  primrootscoprmpow  42100  primrootscoprbij  42103  aks6d1c6lem4  42174  aks6d1c6isolem2  42176  aks6d1c6lem5  42178  aks5lem7  42201  islssfg  43082  lnmlsslnm  43093  pwssplit4  43101  deg1mhm  43212  gsumge0cl  46386  sge0tsms  46395  cnfldsrngbas  48077  amgmlemALT  49322