Theorem ressbas2 17208

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3907	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6854	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5262	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 17206	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201

This theorem is referenced by:  rescbas  17796  fullresc  17818  resssetc  18059  yoniso  18251  issstrmgm  18621  gsumress  18650  issubmgm2  18671  submgmbas  18677  resmgmhm  18679  issubmnd  18729  ress0g  18730  submnd0  18731  submbas  18782  resmhm  18788  resgrpplusfrn  18926  ressmulgnn  19052  ressmulgnn0  19053  ressmulgnnd  19054  subgbas  19106  issubg2  19117  resghm  19207  symgbas  19347  finodsubmsubg  19542  submod  19544  cntrcmnd  19817  ringidss  20258  unitgrpbas  20362  isdrng2  20720  drngmclOLD  20728  drngid2  20729  isdrngd  20742  isdrngdOLD  20744  sdrgbas  20771  cntzsdrg  20779  subdrgint  20780  primefld  20782  islss3  20954  lsslss  20956  lsslsp  21010  reslmhm  21047  2idlbas  21261  rng2idl1cntr  21303  cnmsubglem  21410  nn0srg  21417  rge0srg  21418  xrs1mnd  21420  xrs10  21421  xrs1cmn  21422  xrge0subm  21423  xrge0cmn  21424  zringbas  21433  expghm  21455  fermltlchr  21509  cnmsgnbas  21558  psgnghm  21560  rebase  21586  dsmmbase  21715  dsmmval2  21716  lsslindf  21810  lsslinds  21811  islinds3  21814  resspsrbas  21952  mplbas  21968  ressmplbas  22006  evlssca  22072  mpfconst  22087  mpfind  22093  ply1bas  22158  ply1basOLD  22159  ressply1bas  22192  evls1sca  22288  evls1fpws  22334  evls1vsca  22338  asclply1subcl  22339  evls1maplmhm  22342  m2cpmrngiso  22723  ressusp  24229  imasdsf1olem  24338  xrge0gsumle  24799  xrge0tsms  24800  cmssmscld  25317  cmsss  25318  minveclem3a  25394  efabl  26514  efsubm  26515  qrngbas  27582  ressplusf  33023  ressnm  33024  ressprs  33026  subgmulgcld  33104  ressmulgnn0d  33105  xrge0tsmsd  33134  ress1r  33294  subrdom  33346  subsdrg  33359  idomsubr  33370  xrge0slmod  33408  znfermltl  33426  ressply1evls1  33625  ressasclcl  33631  resssra  33731  drgextlsp  33738  lssdimle  33752  lbslsat  33760  ply1degltdimlem  33766  ply1degltdim  33767  dimkerim  33771  fedgmullem1  33773  fedgmullem2  33774  fedgmul  33775  dimlssid  33776  lvecendof1f1o  33777  sdrgfldext  33794  fldsdrgfldext  33805  fldsdrgfldext2  33806  fldgenfldext  33812  evls1fldgencl  33814  fldextrspunlsplem  33817  fldextrspunlsp  33818  fldextrspunlem1  33819  fldextrspunfld  33820  fldextrspundgle  33822  fldextrspundgdvdslem  33824  fldextrspundgdvds  33825  0ringirng  33833  extdgfialglem1  33836  extdgfialglem2  33837  algextdeglem3  33863  algextdeglem4  33864  algextdeglem8  33868  rtelextdg2lem  33870  rtelextdg2  33871  constrext2chnlem  33894  2sqr3minply  33924  rspecbas  34009  prsssdm  34061  ordtrestNEW  34065  ordtrest2NEW  34067  xrge0iifmhm  34083  esumpfinvallem  34218  sitgaddlemb  34492  prdsbnd2  38116  cnpwstotbnd  38118  repwsmet  38155  rrnequiv  38156  lcdvbase  42039  primrootsunit1  42536  primrootscoprmpow  42538  primrootscoprbij  42541  aks6d1c6lem4  42612  aks6d1c6isolem2  42614  aks6d1c6lem5  42616  aks5lem7  42639  islssfg  43498  lnmlsslnm  43509  pwssplit4  43517  deg1mhm  43628  gsumge0cl  46799  sge0tsms  46808  cnfldsrngbas  48637  amgmlemALT  50278