Theorem ressbas2 17294

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3931	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 219	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6893	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5289	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 17292	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-1cn 11154  ax-addcl 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287

This theorem is referenced by:  rescbas  17882  fullresc  17904  resssetc  18145  yoniso  18337  issstrmgm  18707  gsumress  18736  issubmgm2  18757  submgmbas  18763  resmgmhm  18765  issubmnd  18815  ress0g  18816  submnd0  18817  submbas  18869  resmhm  18875  resgrpplusfrn  19013  ressmulgnn  19138  ressmulgnn0  19139  ressmulgnnd  19140  subgbas  19192  issubg2  19204  resghm  19298  symgbas  19438  finodsubmsubg  19633  submod  19635  cntrcmnd  19908  ringidss  20356  unitgrpbas  20460  isdrng2  20823  drngid2  20831  isdrngd  20843  isdrngdOLD  20845  sdrgbas  20871  cntzsdrg  20879  subdrgint  20880  primefld  20882  islss3  21054  lsslss  21056  lsslsp  21110  reslmhm  21147  2idlbas  21369  rng2idl1cntr  21412  cnmsubglem  21545  nn0srg  21552  rge0srg  21553  xrs1mnd  21555  xrs10  21556  xrs1cmn  21557  xrge0subm  21558  xrge0cmn  21559  zringbas  21568  expghm  21590  fermltlchr  21644  cnmsgnbas  21693  psgnghm  21695  rebase  21721  dsmmbase  21850  dsmmval2  21851  lsslindf  21945  lsslinds  21946  islinds3  21949  resspsrbas  22088  mplbas  22104  ressmplbas  22143  evlssca  22210  mpfconst  22225  mpfind  22231  ply1bas  22320  ressply1bas  22353  evls1sca  22448  evls1fpws  22494  evls1vsca  22498  asclply1subcl  22499  evls1maplmhm  22502  m2cpmrngiso  22880  ressusp  24386  imasdsf1olem  24495  xrge0gsumle  24956  xrge0tsms  24957  cmssmscld  25474  cmsss  25475  minveclem3a  25551  efabl  26677  efsubm  26678  qrngbas  27745  ressplusf  33220  ressnm  33221  ressprs  33223  subgmulgcld  33300  ressmulgnn0d  33301  xrge0tsmsd  33330  ress1r  33489  subrdom  33542  subsdrg  33558  idomsubr  33569  xrge0slmod  33607  znfermltl  33620  ressply1evls1  33796  ressasclcl  33802  resssra  33918  drgextlsp  33925  lssdimle  33939  lbslsat  33947  ply1degltdimlem  33953  ply1degltdim  33954  dimkerim  33958  fedgmullem1  33960  fedgmullem2  33961  fedgmul  33962  dimlssid  33963  lvecendof1f1o  33964  sdrgfldext  33981  fldsdrgfldext  33992  fldsdrgfldext2  33993  fldgenfldext  33999  evls1fldgencl  34001  fldextrspunlsplem  34004  fldextrspunlsp  34005  fldextrspunlem1  34006  fldextrspunfld  34007  fldextrspundgle  34009  fldextrspundgdvdslem  34011  fldextrspundgdvds  34012  0ringirng  34020  extdgfialglem1  34023  extdgfialglem2  34024  algextdeglem3  34050  algextdeglem4  34051  algextdeglem8  34055  rtelextdg2lem  34057  rtelextdg2  34058  constrext2chnlem  34081  2sqr3minply  34111  rspecbas  34196  prsssdm  34248  ordtrestNEW  34252  ordtrest2NEW  34254  xrge0iifmhm  34270  esumpfinvallem  34405  sitgaddlemb  34679  prdsbnd2  38329  cnpwstotbnd  38331  repwsmet  38368  rrnequiv  38369  lcdvbase  42252  primrootsunit1  42749  primrootscoprmpow  42751  primrootscoprbij  42754  aks6d1c6lem4  42825  aks6d1c6isolem2  42827  aks6d1c6lem5  42829  aks5lem7  42852  islssfg  43682  lnmlsslnm  43693  pwssplit4  43701  deg1mhm  43812  gsumge0cl  46970  sge0tsms  46979  cnfldsrngbas  48808  amgmlemALT  50459