Theorem ressbas2 17199

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3908	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6848	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5258	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 17197	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-nn 12166  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192

This theorem is referenced by:  rescbas  17787  fullresc  17809  resssetc  18050  yoniso  18242  issstrmgm  18612  gsumress  18641  issubmgm2  18662  submgmbas  18668  resmgmhm  18670  issubmnd  18720  ress0g  18721  submnd0  18722  submbas  18773  resmhm  18779  resgrpplusfrn  18917  ressmulgnn  19043  ressmulgnn0  19044  ressmulgnnd  19045  subgbas  19097  issubg2  19108  resghm  19198  symgbas  19338  finodsubmsubg  19533  submod  19535  cntrcmnd  19808  ringidss  20249  unitgrpbas  20353  isdrng2  20711  drngmclOLD  20719  drngid2  20720  isdrngd  20733  isdrngdOLD  20735  sdrgbas  20762  cntzsdrg  20770  subdrgint  20771  primefld  20773  islss3  20945  lsslss  20947  lsslsp  21001  lsslspOLD  21002  reslmhm  21039  2idlbas  21253  rng2idl1cntr  21295  cnmsubglem  21420  nn0srg  21427  rge0srg  21428  xrs1mnd  21430  xrs10  21431  xrs1cmn  21432  xrge0subm  21433  xrge0cmn  21434  zringbas  21443  expghm  21465  fermltlchr  21519  cnmsgnbas  21568  psgnghm  21570  rebase  21596  dsmmbase  21725  dsmmval2  21726  lsslindf  21820  lsslinds  21821  islinds3  21824  resspsrbas  21962  mplbas  21978  ressmplbas  22016  evlssca  22082  mpfconst  22097  mpfind  22103  ply1bas  22168  ply1basOLD  22169  ressply1bas  22202  evls1sca  22298  evls1fpws  22344  evls1vsca  22348  asclply1subcl  22349  evls1maplmhm  22352  m2cpmrngiso  22733  ressusp  24239  imasdsf1olem  24348  xrge0gsumle  24809  xrge0tsms  24810  cmssmscld  25327  cmsss  25328  minveclem3a  25404  efabl  26527  efsubm  26528  qrngbas  27596  ressplusf  33038  ressnm  33039  ressprs  33041  subgmulgcld  33119  ressmulgnn0d  33120  xrge0tsmsd  33149  ress1r  33309  subrdom  33361  subsdrg  33374  idomsubr  33385  xrge0slmod  33423  znfermltl  33441  ressply1evls1  33640  ressasclcl  33646  resssra  33746  drgextlsp  33753  lssdimle  33767  lbslsat  33776  ply1degltdimlem  33782  ply1degltdim  33783  dimkerim  33787  fedgmullem1  33789  fedgmullem2  33790  fedgmul  33791  dimlssid  33792  lvecendof1f1o  33793  sdrgfldext  33810  fldsdrgfldext  33821  fldsdrgfldext2  33822  fldgenfldext  33828  evls1fldgencl  33830  fldextrspunlsplem  33833  fldextrspunlsp  33834  fldextrspunlem1  33835  fldextrspunfld  33836  fldextrspundgle  33838  fldextrspundgdvdslem  33840  fldextrspundgdvds  33841  0ringirng  33849  extdgfialglem1  33852  extdgfialglem2  33853  algextdeglem3  33879  algextdeglem4  33880  algextdeglem8  33884  rtelextdg2lem  33886  rtelextdg2  33887  constrext2chnlem  33910  2sqr3minply  33940  rspecbas  34025  prsssdm  34077  ordtrestNEW  34081  ordtrest2NEW  34083  xrge0iifmhm  34099  esumpfinvallem  34234  sitgaddlemb  34508  prdsbnd2  38130  cnpwstotbnd  38132  repwsmet  38169  rrnequiv  38170  lcdvbase  42053  primrootsunit1  42550  primrootscoprmpow  42552  primrootscoprbij  42555  aks6d1c6lem4  42626  aks6d1c6isolem2  42628  aks6d1c6lem5  42630  aks5lem7  42653  islssfg  43516  lnmlsslnm  43527  pwssplit4  43535  deg1mhm  43646  gsumge0cl  46817  sge0tsms  46826  cnfldsrngbas  48649  amgmlemALT  50290