Theorem ressbas2 17422

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 4094	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 219	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6900	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5281	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 17420	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-1cn 11262  ax-addcl 11264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12340  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415

This theorem is used by:  rescbas  18010  fullresc  18032  resssetc  18273  yoniso  18465  issstrmgm  18837  idressidex0  18866  idressidex  18867  idressid  18868  gsumress  18877  issubmgm2  18898  submgmbas  18904  resmgmhm  18906  issubmnd  18959  ress0gOLD  18961  submnd0OLD  18963  submbas  19016  resmhm  19022  resgrpplusfrn  19167  ressmulgnn  19292  ressmulgnn0  19293  ressmulgnnd  19294  subgbas  19346  issubg2  19358  resghm  19452  symgbas  19592  finodsubmsubg  19787  submod  19789  cntrcmnd  20062  ringidss  20512  unitgrpbas  20618  isdrng2  21003  isdrng3lem0  21010  drngid2  21016  isdrngd  21028  isdrngdOLD  21030  sdrgbas  21057  cntzsdrg  21065  subdrgint  21066  primefld  21068  islss3  21240  lsslss  21242  lsslsp  21296  reslmhm  21333  2idlbas  21563  rng2idl1cntr  21607  cnmsubglem  21742  nn0srg  21749  rge0srg  21750  xrs1mnd  21752  xrs10  21753  xrs1cmn  21754  xrge0subm  21755  xrge0cmn  21756  zringbas  21765  expghm  21787  fermltlchr  21841  cnmsgnbas  21890  psgnghm  21892  rebase  21918  dsmmbase  22047  dsmmval2  22048  lsslindf  22142  lsslinds  22143  islinds3  22146  resspsrbas  22287  mplbas  22303  ressmplbas  22342  evlssca  22409  mpfconst  22424  mpfind  22430  ply1bas  22519  ressply1bas  22552  evls1sca  22647  evls1fpws  22693  evls1vsca  22697  asclply1subcl  22698  evls1maplmhm  22701  m2cpmrngiso  23082  ressusp  24589  imasdsf1olem  24698  xrge0gsumle  25159  xrge0tsms  25160  cmssmscld  25677  cmsss  25678  minveclem3a  25754  efabl  26884  efsubm  26885  qrngbas  27952  ressplusf  33571  ressnm  33572  ressprs  33574  subgmulgcld  33651  ressmulgnn0d  33652  xrge0tsmsd  33681  ress1r  33840  subrdom  33893  subsdrg  33907  idomsubr  33918  xrge0slmod  33956  znfermltl  33969  ressply1evls1  34144  ressasclcl  34150  resssra  34266  drgextlsp  34273  lssdimle  34287  lbslsat  34295  ply1degltdimlem  34301  ply1degltdim  34302  dimkerim  34306  fedgmullem1  34308  fedgmullem2  34309  fedgmul  34310  dimlssid  34311  lvecendof1f1o  34312  sdrgfldext  34329  fldsdrgfldext  34340  fldsdrgfldext2  34341  fldgenfldext  34347  evls1fldgencl  34349  fldextrspunlsplem  34352  fldextrspunlsp  34353  fldextrspunlem1  34354  fldextrspunfld  34355  fldextrspundgle  34357  fldextrspundgdvdslem  34359  fldextrspundgdvds  34360  0ringirng  34368  extdgfialglem1  34371  extdgfialglem2  34372  algextdeglem3  34398  algextdeglem4  34399  algextdeglem8  34403  rtelextdg2lem  34405  rtelextdg2  34406  constrext2chnlem  34429  2sqr3minply  34459  rspecbas  34544  prsssdm  34596  ordtrestNEW  34600  ordtrest2NEW  34602  xrge0iifmhm  34618  esumpfinvallem  34753  sitgaddlemb  35027  prdsbnd2  38823  cnpwstotbnd  38825  repwsmet  38862  rrnequiv  38863  lcdvbase  42744  primrootsunit1  43241  primrootscoprmpow  43243  primrootscoprbij  43246  aks6d1c6lem4  43317  aks6d1c6isolem2  43319  aks6d1c6lem5  43321  aks5lem7  43344  islssfg  44166  lnmlsslnm  44177  pwssplit4  44185  deg1mhm  44296  gsumge0cl  47475  sge0tsms  47484  cnfldsrngbas  49352  amgmlemALT  51157