Theorem ressbas2 17168

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3923	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6840	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5263	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 17166	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2766	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17139   ↾_s cress 17160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-1cn 11086  ax-addcl 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12148  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161

This theorem is referenced by:  rescbas  17755  fullresc  17777  resssetc  18018  yoniso  18210  issstrmgm  18546  gsumress  18575  issubmgm2  18596  submgmbas  18602  resmgmhm  18604  issubmnd  18654  ress0g  18655  submnd0  18656  submbas  18707  resmhm  18713  resgrpplusfrn  18848  ressmulgnn  18974  ressmulgnn0  18975  ressmulgnnd  18976  subgbas  19028  issubg2  19039  resghm  19130  symgbas  19270  finodsubmsubg  19465  submod  19467  cntrcmnd  19740  ringidss  20181  unitgrpbas  20286  isdrng2  20647  drngmclOLD  20655  drngid2  20656  isdrngd  20669  isdrngdOLD  20671  sdrgbas  20698  cntzsdrg  20706  subdrgint  20707  primefld  20709  islss3  20881  lsslss  20883  lsslsp  20937  lsslspOLD  20938  reslmhm  20975  2idlbas  21189  rng2idl1cntr  21231  cnmsubglem  21356  nn0srg  21363  rge0srg  21364  xrs1mnd  21366  xrs10  21367  xrs1cmn  21368  xrge0subm  21369  xrge0cmn  21370  zringbas  21379  expghm  21401  fermltlchr  21455  cnmsgnbas  21504  psgnghm  21506  rebase  21532  dsmmbase  21661  dsmmval2  21662  lsslindf  21756  lsslinds  21757  islinds3  21760  resspsrbas  21900  mplbas  21916  ressmplbas  21952  evlssca  22013  mpfconst  22025  mpfind  22031  ply1bas  22096  ply1basOLD  22097  ressply1bas  22130  evls1sca  22227  evls1fpws  22273  evls1vsca  22277  asclply1subcl  22278  evls1maplmhm  22281  m2cpmrngiso  22662  ressusp  24169  imasdsf1olem  24278  xrge0gsumle  24739  xrge0tsms  24740  cmssmscld  25267  cmsss  25268  minveclem3a  25344  efabl  26476  efsubm  26477  qrngbas  27547  ressplusf  32924  ressnm  32925  ressprs  32927  subgmulgcld  33016  ressmulgnn0d  33017  xrge0tsmsd  33034  ress1r  33193  subrdom  33243  subsdrg  33256  idomsubr  33267  xrge0slmod  33304  znfermltl  33322  ressply1evls1  33519  ressasclcl  33525  resssra  33572  drgextlsp  33579  lssdimle  33593  lbslsat  33602  ply1degltdimlem  33608  ply1degltdim  33609  dimkerim  33613  fedgmullem1  33615  fedgmullem2  33616  fedgmul  33617  dimlssid  33618  lvecendof1f1o  33619  sdrgfldext  33636  fldsdrgfldext  33647  fldsdrgfldext2  33648  fldgenfldext  33654  evls1fldgencl  33656  fldextrspunlsplem  33659  fldextrspunlsp  33660  fldextrspunlem1  33661  fldextrspunfld  33662  fldextrspundgle  33664  fldextrspundgdvdslem  33666  fldextrspundgdvds  33667  0ringirng  33675  extdgfialglem1  33678  extdgfialglem2  33679  algextdeglem3  33705  algextdeglem4  33706  algextdeglem8  33710  rtelextdg2lem  33712  rtelextdg2  33713  constrext2chnlem  33736  2sqr3minply  33766  rspecbas  33851  prsssdm  33903  ordtrestNEW  33907  ordtrest2NEW  33909  xrge0iifmhm  33925  esumpfinvallem  34060  sitgaddlemb  34335  prdsbnd2  37794  cnpwstotbnd  37796  repwsmet  37833  rrnequiv  37834  lcdvbase  41592  primrootsunit1  42090  primrootscoprmpow  42092  primrootscoprbij  42095  aks6d1c6lem4  42166  aks6d1c6isolem2  42168  aks6d1c6lem5  42170  aks5lem7  42193  islssfg  43063  lnmlsslnm  43074  pwssplit4  43082  deg1mhm  43193  gsumge0cl  46372  sge0tsms  46381  cnfldsrngbas  48165  amgmlemALT  49808