Theorem ressbas2 16411

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3844	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 208	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6513	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5081	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 16410	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2817	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3416   ∩ cin 3829   ⊆ wss 3830  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339   ↾_s cress 16340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-1cn 10393  ax-addcl 10395

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-nn 11440  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347

This theorem is referenced by:  rescbas  16957  fullresc  16979  resssetc  17210  yoniso  17393  issstrmgm  17720  gsumress  17744  issubmnd  17786  ress0g  17787  submnd0  17788  submbas  17823  resmhm  17827  resgrpplusfrn  17905  subgbas  18067  issubg2  18078  resghm  18145  submod  18455  ringidss  19050  unitgrpbas  19139  isdrng2  19235  drngmcl  19238  drngid2  19241  isdrngd  19250  cntzsdrg  19303  subdrgint  19304  primefld  19306  islss3  19453  lsslss  19455  lsslsp  19509  reslmhm  19546  issubassa  19818  resspsrbas  19909  mplbas  19923  ressmplbas  19950  evlssca  20015  mpfconst  20023  mpfind  20029  ply1bas  20066  ressply1bas  20100  evls1sca  20189  xrs1mnd  20285  xrs10  20286  xrs1cmn  20287  xrge0subm  20288  xrge0cmn  20289  cnmsubglem  20310  nn0srg  20317  rge0srg  20318  zringbas  20325  expghm  20345  cnmsgnbas  20424  psgnghm  20426  rebase  20452  dsmmbase  20581  dsmmval2  20582  lsslindf  20676  lsslinds  20677  islinds3  20680  m2cpmrngiso  21070  ressusp  22577  imasdsf1olem  22686  xrge0gsumle  23144  xrge0tsms  23145  cmssmscld  23656  cmsss  23657  minveclem3a  23733  efabl  24835  efsubm  24836  qrngbas  25897  ressplusf  30366  ressnm  30367  ressprs  30371  ressmulgnn  30399  ressmulgnn0  30400  xrge0tsmsd  30527  cntrcmnd  30530  ress1r  30536  xrge0slmod  30593  drgextlsp  30622  lssdimle  30632  lbslsat  30640  dimkerim  30649  fedgmullem1  30651  fedgmullem2  30652  fedgmul  30653  prsssdm  30801  ordtrestNEW  30805  ordtrest2NEW  30807  xrge0iifmhm  30823  esumpfinvallem  30974  sitgaddlemb  31248  prdsbnd2  34512  cnpwstotbnd  34514  repwsmet  34551  rrnequiv  34552  lcdvbase  38171  islssfg  39063  lnmlsslnm  39074  pwssplit4  39082  deg1mhm  39200  gsumge0cl  42082  sge0tsms  42091  cnfldsrngbas  43402  issubmgm2  43423  submgmbas  43429  resmgmhm  43431  amgmlemALT  44269