Theorem ressbas2 17330

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3917	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 219	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6892	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5285	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 17328	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301   ↾_s cress 17322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-1cn 11182  ax-addcl 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12258  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323

This theorem is used by:  rescbas  17918  fullresc  17940  resssetc  18181  yoniso  18373  issstrmgm  18745  idressidex0  18773  idressidex  18774  idressid  18775  gsumress  18784  issubmgm2  18805  submgmbas  18811  resmgmhm  18813  issubmnd  18866  ress0gOLD  18868  submnd0OLD  18870  submbas  18923  resmhm  18929  resgrpplusfrn  19074  ressmulgnn  19199  ressmulgnn0  19200  ressmulgnnd  19201  subgbas  19253  issubg2  19265  resghm  19359  symgbas  19499  finodsubmsubg  19694  submod  19696  cntrcmnd  19969  ringidss  20418  unitgrpbas  20523  isdrng2  20906  isdrng3lem0  20913  drngid2  20919  isdrngd  20931  isdrngdOLD  20933  sdrgbas  20960  cntzsdrg  20968  subdrgint  20969  primefld  20971  islss3  21143  lsslss  21145  lsslsp  21199  reslmhm  21236  2idlbas  21465  rng2idl1cntr  21508  cnmsubglem  21643  nn0srg  21650  rge0srg  21651  xrs1mnd  21653  xrs10  21654  xrs1cmn  21655  xrge0subm  21656  xrge0cmn  21657  zringbas  21666  expghm  21688  fermltlchr  21742  cnmsgnbas  21791  psgnghm  21793  rebase  21819  dsmmbase  21948  dsmmval2  21949  lsslindf  22043  lsslinds  22044  islinds3  22047  resspsrbas  22188  mplbas  22204  ressmplbas  22243  evlssca  22310  mpfconst  22325  mpfind  22331  ply1bas  22420  ressply1bas  22453  evls1sca  22548  evls1fpws  22594  evls1vsca  22598  asclply1subcl  22599  evls1maplmhm  22602  m2cpmrngiso  22983  ressusp  24490  imasdsf1olem  24599  xrge0gsumle  25060  xrge0tsms  25061  cmssmscld  25578  cmsss  25579  minveclem3a  25655  efabl  26787  efsubm  26788  qrngbas  27855  ressplusf  33403  ressnm  33404  ressprs  33406  subgmulgcld  33483  ressmulgnn0d  33484  xrge0tsmsd  33513  ress1r  33672  subrdom  33725  subsdrg  33739  idomsubr  33750  xrge0slmod  33788  znfermltl  33801  ressply1evls1  33975  ressasclcl  33981  resssra  34097  drgextlsp  34104  lssdimle  34118  lbslsat  34126  ply1degltdimlem  34132  ply1degltdim  34133  dimkerim  34137  fedgmullem1  34139  fedgmullem2  34140  fedgmul  34141  dimlssid  34142  lvecendof1f1o  34143  sdrgfldext  34160  fldsdrgfldext  34171  fldsdrgfldext2  34172  fldgenfldext  34178  evls1fldgencl  34180  fldextrspunlsplem  34183  fldextrspunlsp  34184  fldextrspunlem1  34185  fldextrspunfld  34186  fldextrspundgle  34188  fldextrspundgdvdslem  34190  fldextrspundgdvds  34191  0ringirng  34199  extdgfialglem1  34202  extdgfialglem2  34203  algextdeglem3  34229  algextdeglem4  34230  algextdeglem8  34234  rtelextdg2lem  34236  rtelextdg2  34237  constrext2chnlem  34260  2sqr3minply  34290  rspecbas  34375  prsssdm  34427  ordtrestNEW  34431  ordtrest2NEW  34433  xrge0iifmhm  34449  esumpfinvallem  34584  sitgaddlemb  34859  prdsbnd2  38545  cnpwstotbnd  38547  repwsmet  38584  rrnequiv  38585  lcdvbase  42466  primrootsunit1  42963  primrootscoprmpow  42965  primrootscoprbij  42968  aks6d1c6lem4  43039  aks6d1c6isolem2  43041  aks6d1c6lem5  43043  aks5lem7  43066  islssfg  43911  lnmlsslnm  43922  pwssplit4  43930  deg1mhm  44041  gsumge0cl  47199  sge0tsms  47208  cnfldsrngbas  49076  amgmlemALT  50821