Theorem ressbas2 17215

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3935	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	fvexi 6875	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	ssex 5279	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
7	6, 3	ressbas 17213	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	2, 8	eqtr3d 2767	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208

This theorem is referenced by:  rescbas  17798  fullresc  17820  resssetc  18061  yoniso  18253  issstrmgm  18587  gsumress  18616  issubmgm2  18637  submgmbas  18643  resmgmhm  18645  issubmnd  18695  ress0g  18696  submnd0  18697  submbas  18748  resmhm  18754  resgrpplusfrn  18889  ressmulgnn  19015  ressmulgnn0  19016  ressmulgnnd  19017  subgbas  19069  issubg2  19080  resghm  19171  symgbas  19309  finodsubmsubg  19504  submod  19506  cntrcmnd  19779  ringidss  20193  unitgrpbas  20298  isdrng2  20659  drngmclOLD  20667  drngid2  20668  isdrngd  20681  isdrngdOLD  20683  sdrgbas  20710  cntzsdrg  20718  subdrgint  20719  primefld  20721  islss3  20872  lsslss  20874  lsslsp  20928  lsslspOLD  20929  reslmhm  20966  2idlbas  21180  rng2idl1cntr  21222  xrs1mnd  21328  xrs10  21329  xrs1cmn  21330  xrge0subm  21331  xrge0cmn  21332  cnmsubglem  21354  nn0srg  21361  rge0srg  21362  zringbas  21370  expghm  21392  fermltlchr  21446  cnmsgnbas  21494  psgnghm  21496  rebase  21522  dsmmbase  21651  dsmmval2  21652  lsslindf  21746  lsslinds  21747  islinds3  21750  resspsrbas  21890  mplbas  21906  ressmplbas  21942  evlssca  22003  mpfconst  22015  mpfind  22021  ply1bas  22086  ply1basOLD  22087  ressply1bas  22120  evls1sca  22217  evls1fpws  22263  evls1vsca  22267  asclply1subcl  22268  evls1maplmhm  22271  m2cpmrngiso  22652  ressusp  24159  imasdsf1olem  24268  xrge0gsumle  24729  xrge0tsms  24730  cmssmscld  25257  cmsss  25258  minveclem3a  25334  efabl  26466  efsubm  26467  qrngbas  27537  ressplusf  32892  ressnm  32893  ressprs  32897  subgmulgcld  32991  ressmulgnn0d  32992  xrge0tsmsd  33009  ress1r  33192  subrdom  33242  subsdrg  33255  idomsubr  33266  xrge0slmod  33326  znfermltl  33344  ressply1evls1  33541  ressasclcl  33547  resssra  33590  drgextlsp  33596  lssdimle  33610  lbslsat  33619  ply1degltdimlem  33625  ply1degltdim  33626  dimkerim  33630  fedgmullem1  33632  fedgmullem2  33633  fedgmul  33634  dimlssid  33635  lvecendof1f1o  33636  sdrgfldext  33653  fldsdrgfldext  33664  fldsdrgfldext2  33665  fldgenfldext  33670  evls1fldgencl  33672  fldextrspunlsplem  33675  fldextrspunlsp  33676  fldextrspunlem1  33677  fldextrspunfld  33678  fldextrspundgle  33680  fldextrspundgdvdslem  33682  fldextrspundgdvds  33683  0ringirng  33691  algextdeglem3  33716  algextdeglem4  33717  algextdeglem8  33721  rtelextdg2lem  33723  rtelextdg2  33724  constrext2chnlem  33747  2sqr3minply  33777  rspecbas  33862  prsssdm  33914  ordtrestNEW  33918  ordtrest2NEW  33920  xrge0iifmhm  33936  esumpfinvallem  34071  sitgaddlemb  34346  prdsbnd2  37796  cnpwstotbnd  37798  repwsmet  37835  rrnequiv  37836  lcdvbase  41594  primrootsunit1  42092  primrootscoprmpow  42094  primrootscoprbij  42097  aks6d1c6lem4  42168  aks6d1c6isolem2  42170  aks6d1c6lem5  42172  aks5lem7  42195  islssfg  43066  lnmlsslnm  43077  pwssplit4  43085  deg1mhm  43196  gsumge0cl  46376  sge0tsms  46385  cnfldsrngbas  48153  amgmlemALT  49796