Theorem issdrg2 19255

Description: Property of a division subring (closure version). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issdrg2.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
issdrg2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
issdrg2	⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem issdrg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 19252	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
2		eqid 2793	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
3		issdrg2.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		issdrg2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
5	2, 3, 4	issubdrg 19238	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
6	5	pm5.32i 575	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing) ↔ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
7		df-3an 1080	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing) ↔ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
8		df-3an 1080	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
9	6, 7, 8	3bitr4i 304	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
10	1, 9	bitri 276	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1078   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  ∀wral 3103   ∖ cdif 3851  {csn 4466  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007   ↾_s cress 16301  0_gc0g 16530  inv_rcinvr 19099  DivRingcdr 19180  SubRingcsubrg 19209  SubDRingcsdrg 19250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-tpos 7734  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-0g 16532  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-grp 17852  df-minusg 17853  df-subg 18018  df-mgp 18918  df-ur 18930  df-ring 18977  df-oppr 19051  df-dvdsr 19069  df-unit 19070  df-invr 19100  df-drng 19182  df-subrg 19211  df-sdrg 19251

This theorem is referenced by:  sdrgacs  19258  cntzsdrg  19259