Theorem issdrg2 20872

Description: Property of a division subring (closure version). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issdrg2.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
issdrg2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
issdrg2	⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem issdrg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20865	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
2		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
3		issdrg2.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		issdrg2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
5	2, 3, 4	issubdrg 20857	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
6	5	pm5.32i 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing) ↔ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
7		df-3an 1103	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing) ↔ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
8		df-3an 1103	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
9	6, 7, 8	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
10	1, 9	bitri 278	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ∖ cdif 3910  {csn 4591  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ↾_s cress 17286  0_gc0g 17488  inv_rcinvr 20465  SubRingcsubrg 20650  DivRingcdr 20809  SubDRingcsdrg 20863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-subg 19185  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-subrg 20651  df-drng 20811  df-sdrg 20864

This theorem is referenced by:  sdrgacs  20878  cntzsdrg  20879  fxpsdrg  33432  constrsdrg  34106