Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issdrg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issdrg2 19591
 Description: Property of a division subring (closure version). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issdrg2.i 𝐼 = (invr𝑅)
issdrg2.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
issdrg2 (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥, 0
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem issdrg2
StepHypRef Expression
1 issdrg 19588 . 2 (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑆) ∈ DivRing))
2 eqid 2798 . . . . 5 (𝑅s 𝑆) = (𝑅s 𝑆)
3 issdrg2.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
4 issdrg2.i . . . . 5 𝐼 = (invr𝑅)
52, 3, 4issubdrg 19574 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝑅s 𝑆) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
65pm5.32i 578 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑅s 𝑆) ∈ DivRing) ↔ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
7 df-3an 1086 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑆) ∈ DivRing) ↔ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑅s 𝑆) ∈ DivRing))
8 df-3an 1086 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
96, 7, 83bitr4i 306 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑆) ∈ DivRing) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
101, 9bitri 278 1 (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ { 0 })(𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ∖ cdif 3880  {csn 4528  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ↾s cress 16496  0gc0g 16725  invrcinvr 19438  DivRingcdr 19516  SubRingcsubrg 19545  SubDRingcsdrg 19586 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-tpos 7893  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-subg 18289  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-oppr 19390  df-dvdsr 19408  df-unit 19409  df-invr 19439  df-drng 19518  df-subrg 19547  df-sdrg 19587 This theorem is referenced by:  sdrgacs  19594  cntzsdrg  19595
 Copyright terms: Public domain W3C validator