Theorem sgt0ne0d 27894

Description: A positive surreal is not equal to zero. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
sgt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sgt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0s )

Proof of Theorem sgt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)
2		sgt0ne0 27893	. 2 ⊢ ( 0s <s 𝐴 → 𝐴 ≠ 0s )
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0s )

Syntax hints:   → wi 4   ≠ wne 2937   class class class wbr 5147   <s cslt 27699   0_s c0s 27881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 27701  df-slt 27702  df-bday 27703  df-sslt 27840  df-scut 27842  df-0s 27883

This theorem is referenced by:  0elleft  27962  sltdivmulwd  28238  sltmuldivwd  28240  precsexlem8  28252  precsexlem9  28253  sltdivmuld  28265  sltdivmul2d  28266  sltmuldivd  28267  sltmuldiv2d  28268