Theorem sltmuldivwd 28113

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltdivmulwd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltdivmulwd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltdivmulwd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltdivmulwd.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
sltdivmulwd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
sltmuldivwd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem sltmuldivwd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltdivmulwd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltdivmulwd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		sltdivmulwd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		sltdivmulwd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	4	sgt0ne0d 27781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
6		sltdivmulwd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
7	2, 3, 5, 6	divsclwd 28108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su 𝐶) ∈ No )
8	1, 7, 3, 4	sltmul1d 28086	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶) ↔ (𝐴 ·s 𝐶) <s ((𝐵 /su 𝐶) ·s 𝐶)))
9	2, 3, 5, 6	divscan1wd 28110	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 /su 𝐶) ·s 𝐶) = 𝐵)
10	9	breq2d 5160	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s ((𝐵 /su 𝐶) ·s 𝐶) ↔ (𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵))
11	8, 10	bitr2d 280	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420   No csur 27586   <s cslt 27587   0_s c0s 27768   1_s c1s 27769   ·_s cmuls 28019   /_su cdivs 28100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-1o 8487  df-2o 8488  df-nadd 8687  df-no 27589  df-slt 27590  df-bday 27591  df-sle 27691  df-sslt 27727  df-scut 27729  df-0s 27770  df-1s 27771  df-made 27787  df-old 27788  df-left 27790  df-right 27791  df-norec 27868  df-norec2 27879  df-adds 27890  df-negs 27947  df-subs 27948  df-muls 28020  df-divs 28101

This theorem is referenced by:  sltmuldiv2wd  28114  precsexlem9  28126  sltmuldivd  28140