Theorem sltdivmulwd 28154

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltdivmulwd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltdivmulwd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltdivmulwd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltdivmulwd.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
sltdivmulwd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
sltdivmulwd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐶 ·s 𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem sltdivmulwd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltdivmulwd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltdivmulwd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		sltdivmulwd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
4	3	sgt0ne0d 27800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
5		sltdivmulwd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
6	1, 2, 4, 5	divsclwd 28151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐶) ∈ No )
7		sltdivmulwd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
8	6, 7, 2, 3	sltmul2d 28127	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s (𝐴 /su 𝐶)) <s (𝐶 ·s 𝐵)))
9	1, 2, 4, 5	divscan2wd 28152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 /su 𝐶)) = 𝐴)
10	9	breq1d 5129	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s (𝐴 /su 𝐶)) <s (𝐶 ·s 𝐵) ↔ 𝐴 <s (𝐶 ·s 𝐵)))
11	8, 10	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐶 ·s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405   No csur 27603   <s cslt 27604   0_s c0s 27786   1_s c1s 27787   ·_s cmuls 28061   /_su cdivs 28142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-nadd 8678  df-no 27606  df-slt 27607  df-bday 27608  df-sle 27709  df-sslt 27745  df-scut 27747  df-0s 27788  df-1s 27789  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811  df-norec 27897  df-norec2 27908  df-adds 27919  df-negs 27979  df-subs 27980  df-muls 28062  df-divs 28143

This theorem is referenced by:  sltdivmul2wd  28155  precsexlem9  28169  precsexlem11  28171  sltdivmuld  28181