Theorem sltdivmulwd 28238

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltdivmulwd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltdivmulwd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltdivmulwd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltdivmulwd.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
sltdivmulwd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
sltdivmulwd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐶 ·s 𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem sltdivmulwd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltdivmulwd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltdivmulwd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		sltdivmulwd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
4	3	sgt0ne0d 27894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
5		sltdivmulwd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
6	1, 2, 4, 5	divsclwd 28235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐶) ∈ No )
7		sltdivmulwd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
8	6, 7, 2, 3	sltmul2d 28212	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s (𝐴 /su 𝐶)) <s (𝐶 ·s 𝐵)))
9	1, 2, 4, 5	divscan2wd 28236	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 /su 𝐶)) = 𝐴)
10	9	breq1d 5157	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s (𝐴 /su 𝐶)) <s (𝐶 ·s 𝐵) ↔ 𝐴 <s (𝐶 ·s 𝐵)))
11	8, 10	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐶 ·s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3067   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430   No csur 27698   <s cslt 27699   0_s c0s 27881   1_s c1s 27882   ·_s cmuls 28146   /_su cdivs 28227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-1o 8504  df-2o 8505  df-nadd 8702  df-no 27701  df-slt 27702  df-bday 27703  df-sle 27804  df-sslt 27840  df-scut 27842  df-0s 27883  df-1s 27884  df-made 27900  df-old 27901  df-left 27903  df-right 27904  df-norec 27985  df-norec2 27996  df-adds 28007  df-negs 28067  df-subs 28068  df-muls 28147  df-divs 28228

This theorem is referenced by:  sltdivmul2wd  28239  precsexlem9  28253  precsexlem11  28255  sltdivmuld  28265