MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltdivmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltdivmuld 28147
Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sltdivmuld.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
sltdivmuld.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
sltdivmuld.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
sltdivmuld.4 (๐œ‘ โ†’ 0s <s ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
sltdivmuld (๐œ‘ โ†’ ((๐ด /su ๐ถ) <s ๐ต โ†” ๐ด <s (๐ถ ยทs ๐ต)))

Proof of Theorem sltdivmuld
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sltdivmuld.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
2 sltdivmuld.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
3 sltdivmuld.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
4 sltdivmuld.4 . 2 (๐œ‘ โ†’ 0s <s ๐ถ)
54sgt0ne0d 27786 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0s )
63, 5recsexd 28140 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฅ) = 1s )
71, 2, 3, 4, 6sltdivmulwd 28120 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด /su ๐ถ) <s ๐ต โ†” ๐ด <s (๐ถ ยทs ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416   No csur 27591   <s cslt 27592   0s c0s 27773   ยทs cmuls 28028   /su cdivs 28109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-dc 10469
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-nadd 8685  df-no 27594  df-slt 27595  df-bday 27596  df-sle 27696  df-sslt 27732  df-scut 27734  df-0s 27775  df-1s 27776  df-made 27792  df-old 27793  df-left 27795  df-right 27796  df-norec 27873  df-norec2 27884  df-adds 27895  df-negs 27952  df-subs 27953  df-muls 28029  df-divs 28110
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator