Theorem sltdivmuld 27673

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltdivmuld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltdivmuld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltdivmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltdivmuld.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sltdivmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐶 ·s 𝐵)))

Proof of Theorem sltdivmuld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltdivmuld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltdivmuld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		sltdivmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		sltdivmuld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	4	sgt0ne0d 27336	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
6	3, 5	recsexd 27666	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
7	1, 2, 3, 4, 6	sltdivmulwd 27646	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐶 ·s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409   No csur 27143   <s cslt 27144   0_s c0s 27323   ·_s cmuls 27562   /_su cdivs 27635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-dc 10441

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-nadd 8665  df-no 27146  df-slt 27147  df-bday 27148  df-sle 27248  df-sslt 27283  df-scut 27285  df-0s 27325  df-1s 27326  df-made 27342  df-old 27343  df-left 27345  df-right 27346  df-norec 27422  df-norec2 27433  df-adds 27444  df-negs 27496  df-subs 27497  df-muls 27563  df-divs 27636

This theorem is referenced by: (None)