MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltmuldiv2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltmuldiv2d 28254
Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sltdivmuld.1 (𝜑𝐴 No )
sltdivmuld.2 (𝜑𝐵 No )
sltdivmuld.3 (𝜑𝐶 No )
sltdivmuld.4 (𝜑 → 0s <s 𝐶)
Assertion
Ref Expression
sltmuldiv2d (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐴) <s 𝐵𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Proof of Theorem sltmuldiv2d
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sltdivmuld.1 . 2 (𝜑𝐴 No )
2 sltdivmuld.2 . 2 (𝜑𝐵 No )
3 sltdivmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 No )
4 sltdivmuld.4 . 2 (𝜑 → 0s <s 𝐶)
54sgt0ne0d 27880 . . 3 (𝜑𝐶 ≠ 0s )
63, 5recsexd 28244 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
71, 2, 3, 4, 6sltmuldiv2wd 28227 1 (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐴) <s 𝐵𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431   No csur 27684   <s cslt 27685   0s c0s 27867   ·s cmuls 28132   /su cdivs 28213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-dc 10486
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-nadd 8704  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sle 27790  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-1s 27870  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890  df-norec 27971  df-norec2 27982  df-adds 27993  df-negs 28053  df-subs 28054  df-muls 28133  df-divs 28214
This theorem is referenced by:  zs12bday  28424
  Copyright terms: Public domain W3C validator