Theorem sltrecd 27768

Description: A comparison law for surreals considered as cuts of sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
sltrecd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 <<s 𝐷)
sltrecd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
sltrecd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
sltrecd	⊢ (𝜑 → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑐   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐   𝐷,𝑏,𝑐   𝑋,𝑏,𝑐   𝑌,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem sltrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		sltrecd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <<s 𝐷)
3		sltrecd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
4		sltrecd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))
5		sltrec 27767	. 2 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369   <s cslt 27585   ≤s csle 27689   <<s csslt 27726   |s cscut 27728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1o 8411  df-2o 8412  df-no 27587  df-slt 27588  df-bday 27589  df-sle 27690  df-sslt 27727  df-scut 27729

This theorem is referenced by:  sltn0  27855  sleadd1  27936  onscutlt  28205  n0sfincut  28286  halfcut  28381