Theorem sltn0 27869

Description: If 𝑋 is less than 𝑌, then either ( L ‘𝑌) or ( R ‘𝑋) is non-empty. (Contributed by Scott Fenton, 10-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sltn0	⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))

Proof of Theorem sltn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lltropt 27836	. . . . 5 ⊢ ( L ‘𝑋) <<s ( R ‘𝑋)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → ( L ‘𝑋) <<s ( R ‘𝑋))
3		lltropt 27836	. . . . 5 ⊢ ( L ‘𝑌) <<s ( R ‘𝑌)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → ( L ‘𝑌) <<s ( R ‘𝑌))
5		lrcut 27867	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ No → (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)) = 𝑋)
6	5	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ No → 𝑋 = (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → 𝑋 = (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)))
8		lrcut 27867	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ No → (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)) = 𝑌)
9	8	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ No → 𝑌 = (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → 𝑌 = (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)))
11		sltrec 27784	. . . 4 ⊢ (((( L ‘𝑋) <<s ( R ‘𝑋) ∧ ( L ‘𝑌) <<s ( R ‘𝑌)) ∧ (𝑋 = (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑌 = (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)))) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌)))
12	2, 4, 7, 10, 11	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌)))
13	12	biimp3a 1471	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌))
14		rexn0 4486	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 → ( L ‘𝑌) ≠ ∅)
15		rexn0 4486	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌 → ( R ‘𝑋) ≠ ∅)
16	14, 15	orim12i 908	. 2 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))
17	13, 16	syl 17	1 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 <s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   No csur 27603   <s cslt 27604   ≤s csle 27708   <<s csslt 27744   |s cscut 27746   L cleft 27805   R cright 27806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27606  df-slt 27607  df-bday 27608  df-sle 27709  df-sslt 27745  df-scut 27747  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811

This theorem is referenced by: (None)