Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sltn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltn0 34064
Description: If 𝑋 is less than 𝑌, then either ( L ‘𝑌) or ( R ‘𝑋) is non-empty. (Contributed by Scott Fenton, 10-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
sltn0 ((𝑋 No 𝑌 No 𝑋 <s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))

Proof of Theorem sltn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lltropt 34035 . . . . 5 (𝑋 No → ( L ‘𝑋) <<s ( R ‘𝑋))
21adantr 480 . . . 4 ((𝑋 No 𝑌 No ) → ( L ‘𝑋) <<s ( R ‘𝑋))
3 lltropt 34035 . . . . 5 (𝑌 No → ( L ‘𝑌) <<s ( R ‘𝑌))
43adantl 481 . . . 4 ((𝑋 No 𝑌 No ) → ( L ‘𝑌) <<s ( R ‘𝑌))
5 lrcut 34062 . . . . . 6 (𝑋 No → (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)) = 𝑋)
65eqcomd 2745 . . . . 5 (𝑋 No 𝑋 = (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)))
76adantr 480 . . . 4 ((𝑋 No 𝑌 No ) → 𝑋 = (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)))
8 lrcut 34062 . . . . . 6 (𝑌 No → (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)) = 𝑌)
98eqcomd 2745 . . . . 5 (𝑌 No 𝑌 = (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)))
109adantl 481 . . . 4 ((𝑋 No 𝑌 No ) → 𝑌 = (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)))
11 sltrec 33993 . . . 4 (((( L ‘𝑋) <<s ( R ‘𝑋) ∧ ( L ‘𝑌) <<s ( R ‘𝑌)) ∧ (𝑋 = (( L ‘𝑋) |s ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑌 = (( L ‘𝑌) |s ( R ‘𝑌)))) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌)))
122, 4, 7, 10, 11syl22anc 835 . . 3 ((𝑋 No 𝑌 No ) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌)))
1312biimp3a 1467 . 2 ((𝑋 No 𝑌 No 𝑋 <s 𝑌) → (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌))
14 rexn0 4446 . . 3 (∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 → ( L ‘𝑌) ≠ ∅)
15 rexn0 4446 . . 3 (∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌 → ( R ‘𝑋) ≠ ∅)
1614, 15orim12i 905 . 2 ((∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑌)𝑋 ≤s 𝑦 ∨ ∃𝑥 ∈ ( R ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))
1713, 16syl 17 1 ((𝑋 No 𝑌 No 𝑋 <s 𝑌) → (( L ‘𝑌) ≠ ∅ ∨ ( R ‘𝑋) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 843  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wne 2944  wrex 3066  c0 4261   class class class wbr 5078  cfv 6430  (class class class)co 7268   No csur 33822   <s cslt 33823   ≤s csle 33926   <<s csslt 33954   |s cscut 33956   L cleft 34008   R cright 34009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-1o 8281  df-2o 8282  df-no 33825  df-slt 33826  df-bday 33827  df-sle 33927  df-sslt 33955  df-scut 33957  df-made 34010  df-old 34011  df-left 34013  df-right 34014
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator