Theorem smfdmss 46748

Description: The domain of a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is a subset of the set underlying the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdmss.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdmss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdmss.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smfdmss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)

Proof of Theorem smfdmss

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdmss.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2		smfdmss.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfdmss.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	2, 3	issmf 46743	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
5	1, 4	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
6	5	simp1d 1143	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {crab 3436   ⊆ wss 3951  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   < clt 11295   ↾_t crest 17465  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-smblfn 46711

This theorem is referenced by:  sssmf  46753  smfsssmf  46758  issmfle  46760  smfpimltxr  46762  issmfgt  46771  smfadd  46780  issmfge  46785  smflim  46792  smfpimgtxr  46795  smfpimioo  46802  smfresal  46803  smfrec  46804  smfres  46805  smfmul  46810  smfmulc1  46811  smfco  46817  smfsuplem3  46828  smfpimne  46854  smfpimne2  46855