Theorem smfdmss 47958

Description: The domain of a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is a subset of the set underlying the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdmss.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdmss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdmss.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smfdmss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)

Proof of Theorem smfdmss

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdmss.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2		smfdmss.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfdmss.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	2, 3	issmf 47953	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
5	1, 4	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
6	5	simp1d 1160	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106  dom cdm 5656  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229   < clt 11373   ↾_t crest 17623  SAlgcsalg 47533  SMblFncsmblfn 47920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-er 8748  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-smblfn 47921

This theorem is used by:  sssmf  47963  smfsssmf  47968  issmfle  47970  smfpimltxr  47972  issmfgt  47981  smfadd  47990  issmfge  47995  smflim  48002  smfpimgtxr  48005  smfpimioo  48012  smfresal  48013  smfrec  48014  smfres  48015  smfmul  48020  smfmulc1  48021  smfco  48027  smfsuplem3  48038  smfpimne  48064  smfpimne2  48065