Theorem smfdmss 46654

Description: The domain of a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is a subset of the set underlying the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdmss.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdmss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdmss.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smfdmss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)

Proof of Theorem smfdmss

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdmss.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2		smfdmss.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfdmss.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	2, 3	issmf 46649	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
5	1, 4	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
6	5	simp1d 1142	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {crab 3443   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   < clt 11324   ↾_t crest 17480  SAlgcsalg 46229  SMblFncsmblfn 46616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-smblfn 46617

This theorem is referenced by:  sssmf  46659  smfsssmf  46664  issmfle  46666  smfpimltxr  46668  issmfgt  46677  smfadd  46686  issmfge  46691  smflim  46698  smfpimgtxr  46701  smfpimioo  46708  smfresal  46709  smfrec  46710  smfres  46711  smfmul  46716  smfmulc1  46717  smfco  46723  smfsuplem3  46734  smfpimne  46760  smfpimne2  46761