Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfdmss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfdmss 43354
Description: The domain of a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is a subset of the set underlying the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfdmss.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfdmss.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdmss.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
smfdmss (𝜑𝐷 𝑆)

Proof of Theorem smfdmss
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfdmss.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2 smfdmss.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 smfdmss.d . . . 4 𝐷 = dom 𝐹
42, 3issmf 43349 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))))
51, 4mpbid 235 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
65simp1d 1139 1 (𝜑𝐷 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  {crab 3113  wss 3884   cuni 4803   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529   < clt 10668  t crest 16689  SAlgcsalg 42937  SMblFncsmblfn 43321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-smblfn 43322
This theorem is referenced by:  sssmf  43359  smfsssmf  43364  issmfle  43366  issmfgt  43377  smfadd  43385  issmfge  43390  smflim  43397  smfpimgtxr  43400  smfpimioo  43406  smfresal  43407  smfrec  43408  smfres  43409  smfmul  43414  smfmulc1  43415  smfco  43421  smfsuplem3  43431
  Copyright terms: Public domain W3C validator