Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfdmss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfdmss 46150
Description: The domain of a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is a subset of the set underlying the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfdmss.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfdmss.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfdmss.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
smfdmss (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)

Proof of Theorem smfdmss
Dummy variables π‘Ž π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfdmss.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
2 smfdmss.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 smfdmss.d . . . 4 𝐷 = dom 𝐹
42, 3issmf 46145 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
51, 4mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
65simp1d 1139 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  {crab 3430   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4912   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11145   < clt 11286   β†Ύt crest 17409  SAlgcsalg 45725  SMblFncsmblfn 46112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-smblfn 46113
This theorem is referenced by:  sssmf  46155  smfsssmf  46160  issmfle  46162  smfpimltxr  46164  issmfgt  46173  smfadd  46182  issmfge  46187  smflim  46194  smfpimgtxr  46197  smfpimioo  46204  smfresal  46205  smfrec  46206  smfres  46207  smfmul  46212  smfmulc1  46213  smfco  46219  smfsuplem3  46230  smfpimne  46256  smfpimne2  46257
  Copyright terms: Public domain W3C validator