Theorem smfdmss 46003

Description: The domain of a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is a subset of the set underlying the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdmss.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdmss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdmss.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smfdmss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)

Proof of Theorem smfdmss

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdmss.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2		smfdmss.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfdmss.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	2, 3	issmf 45998	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
5	1, 4	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
6	5	simp1d 1139	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  {crab 3426   ⊆ wss 3943  ∪ cuni 4902   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℝcr 11108   < clt 11249   ↾_t crest 17372  SAlgcsalg 45578  SMblFncsmblfn 45965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-smblfn 45966

This theorem is referenced by:  sssmf  46008  smfsssmf  46013  issmfle  46015  smfpimltxr  46017  issmfgt  46026  smfadd  46035  issmfge  46040  smflim  46047  smfpimgtxr  46050  smfpimioo  46057  smfresal  46058  smfrec  46059  smfres  46060  smfmul  46065  smfmulc1  46066  smfco  46072  smfsuplem3  46083  smfpimne  46109  smfpimne2  46110