Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfdmss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfdmss 45900
Description: The domain of a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is a subset of the set underlying the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfdmss.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfdmss.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfdmss.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
smfdmss (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)

Proof of Theorem smfdmss
Dummy variables π‘Ž π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfdmss.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
2 smfdmss.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 smfdmss.d . . . 4 𝐷 = dom 𝐹
42, 3issmf 45895 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
51, 4mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
65simp1d 1139 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {crab 3424   βŠ† wss 3940  βˆͺ cuni 4899   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„cr 11104   < clt 11244   β†Ύt crest 17362  SAlgcsalg 45475  SMblFncsmblfn 45862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8698  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-smblfn 45863
This theorem is referenced by:  sssmf  45905  smfsssmf  45910  issmfle  45912  smfpimltxr  45914  issmfgt  45923  smfadd  45932  issmfge  45937  smflim  45944  smfpimgtxr  45947  smfpimioo  45954  smfresal  45955  smfrec  45956  smfres  45957  smfmul  45962  smfmulc1  45963  smfco  45969  smfsuplem3  45980  smfpimne  46006  smfpimne2  46007
  Copyright terms: Public domain W3C validator