Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfd 46123
Description: A sufficient condition for "𝐹 being a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfd.a β„²π‘Žπœ‘
issmfd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfd.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
issmfd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
issmfd.p ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem issmfd
StepHypRef Expression
1 issmfd.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
21fdmd 6733 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐷)
3 issmfd.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
42, 3eqsstrd 4018 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
51ffdmd 6754 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
6 issmfd.a . . . 4 β„²π‘Žπœ‘
7 issmfd.p . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
82rabeqdv 3444 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
92oveq2d 7436 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) = (𝑆 β†Ύt 𝐷))
108, 9eleq12d 2823 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
1110adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
127, 11mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
1312ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ ℝ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
146, 13ralrimi 3251 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
154, 5, 143jca 1126 . 2 (πœ‘ β†’ (dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
16 issmfd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
17 eqid 2728 . . 3 dom 𝐹 = dom 𝐹
1816, 17issmf 46116 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))))
1915, 18mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  β„²wnf 1778   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  {crab 3429   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11138   < clt 11279   β†Ύt crest 17402  SAlgcsalg 45696  SMblFncsmblfn 46083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-smblfn 46084
This theorem is referenced by:  sssmf  46126  mbfresmf  46127  cnfsmf  46128  incsmf  46130  smfsssmf  46131  smfres  46178  smfco  46190
  Copyright terms: Public domain W3C validator