Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfd 45062
Description: A sufficient condition for "𝐹 being a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfd.a β„²π‘Žπœ‘
issmfd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfd.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
issmfd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
issmfd.p ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem issmfd
StepHypRef Expression
1 issmfd.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
21fdmd 6680 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐷)
3 issmfd.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
42, 3eqsstrd 3983 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
51ffdmd 6700 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
6 issmfd.a . . . 4 β„²π‘Žπœ‘
7 issmfd.p . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
82rabeqdv 3421 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
92oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) = (𝑆 β†Ύt 𝐷))
108, 9eleq12d 2828 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
1110adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
127, 11mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
1312ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ ℝ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
146, 13ralrimi 3239 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
154, 5, 143jca 1129 . 2 (πœ‘ β†’ (dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
16 issmfd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
17 eqid 2733 . . 3 dom 𝐹 = dom 𝐹
1816, 17issmf 45055 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))))
1915, 18mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βŠ† wss 3911  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055   < clt 11194   β†Ύt crest 17307  SAlgcsalg 44635  SMblFncsmblfn 45022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-smblfn 45023
This theorem is referenced by:  sssmf  45065  mbfresmf  45066  cnfsmf  45067  incsmf  45069  smfsssmf  45070  smfres  45117  smfco  45129
  Copyright terms: Public domain W3C validator