Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfd 46004
Description: A sufficient condition for "𝐹 being a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfd.a β„²π‘Žπœ‘
issmfd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfd.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
issmfd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
issmfd.p ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem issmfd
StepHypRef Expression
1 issmfd.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
21fdmd 6721 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐷)
3 issmfd.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
42, 3eqsstrd 4015 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
51ffdmd 6741 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
6 issmfd.a . . . 4 β„²π‘Žπœ‘
7 issmfd.p . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
82rabeqdv 3441 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
92oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) = (𝑆 β†Ύt 𝐷))
108, 9eleq12d 2821 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
1110adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
127, 11mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
1312ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ ℝ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
146, 13ralrimi 3248 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
154, 5, 143jca 1125 . 2 (πœ‘ β†’ (dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
16 issmfd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
17 eqid 2726 . . 3 dom 𝐹 = dom 𝐹
1816, 17issmf 45997 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))))
1915, 18mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108   < clt 11249   β†Ύt crest 17373  SAlgcsalg 45577  SMblFncsmblfn 45964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-smblfn 45965
This theorem is referenced by:  sssmf  46007  mbfresmf  46008  cnfsmf  46009  incsmf  46011  smfsssmf  46012  smfres  46059  smfco  46071
  Copyright terms: Public domain W3C validator