MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smucl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smucl 15413
Description: The product of two sequences is a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
smucl ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)

Proof of Theorem smucl
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2 simpr 471 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3 eqid 2771 . . 3 seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
41, 2, 3smufval 15406 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 smul 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑘 + 1))})
5 ssrab2 3836 . 2 {𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ℕ0
64, 5syl6eqss 3804 1 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  wss 3723  c0 4063  ifcif 4226  𝒫 cpw 4298  cmpt 4864  cfv 6030  (class class class)co 6795  cmpt2 6797  0cc0 10141  1c1 10142   + caddc 10144  cmin 10471  0cn0 11498  seqcseq 13007   sadd csad 15349   smul csmu 15350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-nn 11226  df-n0 11499  df-seq 13008  df-smu 15405
This theorem is referenced by:  smu01lem  15414  smumul  15422
  Copyright terms: Public domain W3C validator