MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smucl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smucl 16458
Description: The product of two sequences is a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
smucl ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)

Proof of Theorem smucl
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2 simpr 484 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3 eqid 2728 . . 3 seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
41, 2, 3smufval 16451 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 smul 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑘 + 1))})
5 ssrab2 4075 . 2 {𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ℕ0
64, 5eqsstrdi 4034 1 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3429  wss 3947  c0 4323  ifcif 4529  𝒫 cpw 4603  cmpt 5231  cfv 6548  (class class class)co 7420  cmpo 7422  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  cmin 11474  0cn0 12502  seqcseq 13998   sadd csad 16394   smul csmu 16395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-1cn 11196  ax-addcl 11198
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-nn 12243  df-n0 12503  df-seq 13999  df-smu 16450
This theorem is referenced by:  smu01lem  16459  smumul  16467
  Copyright terms: Public domain W3C validator