Theorem smucl 15622

Description: The product of two sequences is a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
smucl	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)

Proof of Theorem smucl

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 476	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		eqid 2778	. . 3 ⊢ seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4	1, 2, 3	smufval 15615	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 smul 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑘 + 1))})
5		ssrab2 3908	. 2 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ℕ0
6	4, 5	syl6eqss 3874	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {crab 3094   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  ifcif 4307  𝒫 cpw 4379   ↦ cmpt 4967  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ↦ cmpt2 6926  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   − cmin 10608  ℕ₀cn0 11647  seqcseq 13124   sadd csad 15558   smul csmu 15559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-1cn 10332  ax-addcl 10334

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-nn 11380  df-n0 11648  df-seq 13125  df-smu 15614

This theorem is referenced by:  smu01lem  15623  smumul  15631