Theorem smumul 16589

Description: For sequences that correspond to valid integers, the sequence multiplication function produces the sequence for the product. This is effectively a proof of the correctness of the multiplication process, implemented in terms of logic gates for df-sad 16547, whose correctness is verified in sadadd 16563.

Outside this range, the sequences cannot be representing integers, but the smul function still "works". This extended function is best interpreted in terms of the ring structure of the 2-adic integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
smumul	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘(𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem smumul

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsss 16522	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
2		bitsss 16522	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0
3		smucl 16580	. . . . . 6 ⊢ (((bits‘𝐴) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0) → ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0
5	4	sseli 3930	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
7		bitsss 16522	. . . . 5 ⊢ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ⊆ ℕ0
8	7	sseli 3930	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
10		simpll 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
12		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
13		1nn0 12548	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
15	12, 14	nn0addcld 12597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
16	10, 11, 15	smumullem 16588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))
17	16	ineq1d 4168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
18		2nn 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
20	19, 15	nnexpcld 14313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
21	10, 20	zmodcld 13957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℤ)
23	22, 11	zmulcld 12735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) ∈ ℤ)
24		bitsmod 16532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
25	23, 15, 24	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
26	17, 25	eqtr4d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))))
27		inass 4176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^(𝑘 + 1)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
28		inidm 4175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0..^(𝑘 + 1)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (0..^(𝑘 + 1))
29	28	ineq2i 4166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^(𝑘 + 1)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))
30	27, 29	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))
31	30	oveq1i 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
32	31	ineq1i 4165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))
33		inss1 4185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (bits‘𝐴)
34	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
35	33, 34	sstrid 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ ℕ0)
36	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0)
37	35, 36, 15	smueq 16587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
38	34, 36, 15	smueq 16587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
39	32, 37, 38	3eqtr4a 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
40	20	nnrpd 13088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
41	10	zred 12729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		modabs2 13970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) mod (2↑(𝑘 + 1))) = (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))))
43	41, 40, 42	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) mod (2↑(𝑘 + 1))) = (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))))
44		eqidd 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 mod (2↑(𝑘 + 1))) = (𝐵 mod (2↑(𝑘 + 1))))
45	22, 10, 11, 11, 40, 43, 44	modmul12d 13993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1))))
46	45	fveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))))
47	26, 39, 46	3eqtr3d 2805	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))))
48	10, 11	zmulcld 12735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
49		bitsmod 16532	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
50	48, 15, 49	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
51	47, 50	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
52	51	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 ∈ ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
53		elin 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
54		elin 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
55	52, 53, 54	3bitr3g 316	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
56		nn0uz 12929	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
57	12, 56	eleqtrdi 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
58		eluzfz2b 13591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ 𝑘 ∈ (0...𝑘))
59	57, 58	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
60	12	nn0zd 12644	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
61		fzval3 13794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
62	60, 61	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
63	59, 62	eleqtrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
64	63	biantrud 541	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
65	63	biantrud 541	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
66	55, 64, 65	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵))))
67	66	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)))))
68	6, 9, 67	pm5.21ndd 382	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵))))
69	68	eqrdv 2760	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘(𝐴 · 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133  ℕcn 12261  2c2 12323  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ℝ⁺crp 13046  ...cfz 13565  ..^cfzo 13713   mod cmo 13934  ↑cexp 14129  bitscbits 16515   smul csmu 16517

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-had 1624  df-cad 1640  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-dvds 16349  df-bits 16518  df-sad 16547  df-smu 16572

This theorem is used by: (None)