Theorem smumul 16510

Description: For sequences that correspond to valid integers, the sequence multiplication function produces the sequence for the product. This is effectively a proof of the correctness of the multiplication process, implemented in terms of logic gates for df-sad 16468, whose correctness is verified in sadadd 16484.

Outside this range, the sequences cannot be representing integers, but the smul function still "works". This extended function is best interpreted in terms of the ring structure of the 2-adic integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
smumul	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘(𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem smumul

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsss 16443	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
2		bitsss 16443	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0
3		smucl 16501	. . . . . 6 ⊢ (((bits‘𝐴) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0) → ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0)
4	1, 2, 3	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0
5	4	sseli 3932	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
7		bitsss 16443	. . . . 5 ⊢ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ⊆ ℕ0
8	7	sseli 3932	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
10		simpll 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		simplr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
12		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
13		1nn0 12494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
15	12, 14	nn0addcld 12543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
16	10, 11, 15	smumullem 16509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))
17	16	ineq1d 4171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
18		2nn 12288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
20	19, 15	nnexpcld 14255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
21	10, 20	zmodcld 13899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℤ)
23	22, 11	zmulcld 12680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) ∈ ℤ)
24		bitsmod 16453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
25	23, 15, 24	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
26	17, 25	eqtr4d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))))
27		inass 4179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^(𝑘 + 1)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
28		inidm 4178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0..^(𝑘 + 1)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (0..^(𝑘 + 1))
29	28	ineq2i 4169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^(𝑘 + 1)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))
30	27, 29	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))
31	30	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
32	31	ineq1i 4168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))
33		inss1 4188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (bits‘𝐴)
34	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
35	33, 34	sstrid 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ ℕ0)
36	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0)
37	35, 36, 15	smueq 16508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
38	34, 36, 15	smueq 16508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
39	32, 37, 38	3eqtr4a 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
40	20	nnrpd 13032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
41	10	zred 12674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		modabs2 13912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) mod (2↑(𝑘 + 1))) = (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))))
43	41, 40, 42	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) mod (2↑(𝑘 + 1))) = (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))))
44		eqidd 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 mod (2↑(𝑘 + 1))) = (𝐵 mod (2↑(𝑘 + 1))))
45	22, 10, 11, 11, 40, 43, 44	modmul12d 13935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1))))
46	45	fveq2d 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))))
47	26, 39, 46	3eqtr3d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))))
48	10, 11	zmulcld 12680	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
49		bitsmod 16453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
50	48, 15, 49	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
51	47, 50	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
52	51	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 ∈ ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
53		elin 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
54		elin 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
55	52, 53, 54	3bitr3g 315	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
56		nn0uz 12874	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
57	12, 56	eleqtrdi 2871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
58		eluzfz2b 13535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ 𝑘 ∈ (0...𝑘))
59	57, 58	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
60	12	nn0zd 12590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
61		fzval3 13737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
63	59, 62	eleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
64	63	biantrud 539	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
65	63	biantrud 539	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
66	55, 64, 65	3bitr4d 313	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵))))
67	66	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)))))
68	6, 9, 67	pm5.21ndd 381	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵))))
69	68	eqrdv 2759	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘(𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075  ℕcn 12207  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ℝ⁺crp 12990  ...cfz 13509  ..^cfzo 13656   mod cmo 13876  ↑cexp 14071  bitscbits 16436   smul csmu 16438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-xor 1531  df-tru 1562  df-fal 1572  df-had 1613  df-cad 1626  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-sum 15697  df-dvds 16270  df-bits 16439  df-sad 16468  df-smu 16493

This theorem is referenced by: (None)