Theorem smumul 16460

Description: For sequences that correspond to valid integers, the sequence multiplication function produces the sequence for the product. This is effectively a proof of the correctness of the multiplication process, implemented in terms of logic gates for df-sad 16418, whose correctness is verified in sadadd 16434.

Outside this range, the sequences cannot be representing integers, but the smul function still "works". This extended function is best interpreted in terms of the ring structure of the 2-adic integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
smumul	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘(𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem smumul

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsss 16393	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
2		bitsss 16393	. . . . . 6 ⊢ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0
3		smucl 16451	. . . . . 6 ⊢ (((bits‘𝐴) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0) → ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0)
4	1, 2, 3	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0
5	4	sseli 3918	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
7		bitsss 16393	. . . . 5 ⊢ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ⊆ ℕ0
8	7	sseli 3918	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
10		simpll 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		simplr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
12		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
13		1nn0 12451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
15	12, 14	nn0addcld 12500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
16	10, 11, 15	smumullem 16459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)))
17	16	ineq1d 4155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
18		2nn 12252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
20	19, 15	nnexpcld 14205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
21	10, 20	zmodcld 13849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℤ)
23	22, 11	zmulcld 12637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) ∈ ℤ)
24		bitsmod 16403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
25	23, 15, 24	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
26	17, 25	eqtr4d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))))
27		inass 4163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^(𝑘 + 1)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
28		inidm 4162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0..^(𝑘 + 1)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (0..^(𝑘 + 1))
29	28	ineq2i 4153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^(𝑘 + 1)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))
30	27, 29	eqtri 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))
31	30	oveq1i 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
32	31	ineq1i 4152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))
33		inss1 4172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (bits‘𝐴)
34	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
35	33, 34	sstrid 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ ℕ0)
36	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0)
37	35, 36, 15	smueq 16458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
38	34, 36, 15	smueq 16458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul ((bits‘𝐵) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
39	32, 37, 38	3eqtr4a 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((bits‘𝐴) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
40	20	nnrpd 12982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
41	10	zred 12631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		modabs2 13862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) mod (2↑(𝑘 + 1))) = (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))))
43	41, 40, 42	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) mod (2↑(𝑘 + 1))) = (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))))
44		eqidd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 mod (2↑(𝑘 + 1))) = (𝐵 mod (2↑(𝑘 + 1))))
45	22, 10, 11, 11, 40, 43, 44	modmul12d 13885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1))))
46	45	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘(((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))))
47	26, 39, 46	3eqtr3d 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))))
48	10, 11	zmulcld 12637	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
49		bitsmod 16403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
50	48, 15, 49	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
51	47, 50	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
52	51	eleq2d 2826	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 ∈ ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
53		elin 3906	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
54		elin 3906	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
55	52, 53, 54	3bitr3g 314	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
56		nn0uz 12824	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
57	12, 56	eleqtrdi 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
58		eluzfz2b 13485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ 𝑘 ∈ (0...𝑘))
59	57, 58	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
60	12	nn0zd 12547	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
61		fzval3 13687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
63	59, 62	eleqtrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
64	63	biantrud 536	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
65	63	biantrud 536	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
66	55, 64, 65	3bitr4d 312	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵))))
67	66	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)))))
68	6, 9, 67	pm5.21ndd 380	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵))))
69	68	eqrdv 2738	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) = (bits‘(𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041  ℕcn 12172  2c2 12234  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ℝ⁺crp 12940  ...cfz 13459  ..^cfzo 13606   mod cmo 13826  ↑cexp 14021  bitscbits 16386   smul csmu 16388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-xor 1519  df-tru 1550  df-fal 1560  df-had 1601  df-cad 1614  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-disj 5047  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647  df-dvds 16220  df-bits 16389  df-sad 16418  df-smu 16443

This theorem is referenced by: (None)