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Theorem smumul 16434
Description: For sequences that correspond to valid integers, the sequence multiplication function produces the sequence for the product. This is effectively a proof of the correctness of the multiplication process, implemented in terms of logic gates for df-sad 16392, whose correctness is verified in sadadd 16408.

Outside this range, the sequences cannot be representing integers, but the smul function still "works". This extended function is best interpreted in terms of the ring structure of the 2-adic integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion
Ref Expression
smumul ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) = (bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)))

Proof of Theorem smumul
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsss 16367 . . . . . 6 (bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0
2 bitsss 16367 . . . . . 6 (bitsβ€˜π΅) βŠ† β„•0
3 smucl 16425 . . . . . 6 (((bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0 ∧ (bitsβ€˜π΅) βŠ† β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) βŠ† β„•0)
41, 2, 3mp2an 691 . . . . 5 ((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) βŠ† β„•0
54sseli 3979 . . . 4 (π‘˜ ∈ ((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
65a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ ((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0))
7 bitsss 16367 . . . . 5 (bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) βŠ† β„•0
87sseli 3979 . . . 4 (π‘˜ ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
98a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0))
10 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
11 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
12 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
13 1nn0 12488 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•0
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„•0)
1512, 14nn0addcld 12536 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
1610, 11, 15smumullem 16433 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) smul (bitsβ€˜π΅)) = (bitsβ€˜((𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) Β· 𝐡)))
1716ineq1d 4212 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) smul (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) = ((bitsβ€˜((𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) Β· 𝐡)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
18 2nn 12285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ β„•
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
2019, 15nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2↑(π‘˜ + 1)) ∈ β„•)
2110, 20zmodcld 13857 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) ∈ β„•0)
2221nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) ∈ β„€)
2322, 11zmulcld 12672 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) Β· 𝐡) ∈ β„€)
24 bitsmod 16377 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) Β· 𝐡) ∈ β„€ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(((𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) Β· 𝐡) mod (2↑(π‘˜ + 1)))) = ((bitsβ€˜((𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) Β· 𝐡)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
2523, 15, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(((𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) Β· 𝐡) mod (2↑(π‘˜ + 1)))) = ((bitsβ€˜((𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) Β· 𝐡)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
2617, 25eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) smul (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) = (bitsβ€˜(((𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) Β· 𝐡) mod (2↑(π‘˜ + 1)))))
27 inass 4220 . . . . . . . . . . . . 13 (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^(π‘˜ + 1)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
28 inidm 4219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0..^(π‘˜ + 1)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) = (0..^(π‘˜ + 1))
2928ineq2i 4210 . . . . . . . . . . . . 13 ((bitsβ€˜π΄) ∩ ((0..^(π‘˜ + 1)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))
3027, 29eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) = ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))
3130oveq1i 7419 . . . . . . . . . . 11 ((((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) smul ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) = (((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) smul ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
3231ineq1i 4209 . . . . . . . . . 10 (((((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) smul ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) = ((((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) smul ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))
33 inss1 4229 . . . . . . . . . . . 12 ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) βŠ† (bitsβ€˜π΄)
341a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜π΄) βŠ† β„•0)
3533, 34sstrid 3994 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) βŠ† β„•0)
362a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜π΅) βŠ† β„•0)
3735, 36, 15smueq 16432 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) smul (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) = (((((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) smul ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
3834, 36, 15smueq 16432 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) = ((((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) smul ((bitsβ€˜π΅) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
3932, 37, 383eqtr4a 2799 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((((bitsβ€˜π΄) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) smul (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) = (((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
4020nnrpd 13014 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2↑(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ+)
4110zred 12666 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
42 modabs2 13870 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) mod (2↑(π‘˜ + 1))) = (𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))))
4341, 40, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) mod (2↑(π‘˜ + 1))) = (𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))))
44 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐡 mod (2↑(π‘˜ + 1))) = (𝐡 mod (2↑(π‘˜ + 1))))
4522, 10, 11, 11, 40, 43, 44modmul12d 13890 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) Β· 𝐡) mod (2↑(π‘˜ + 1))) = ((𝐴 Β· 𝐡) mod (2↑(π‘˜ + 1))))
4645fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(((𝐴 mod (2↑(π‘˜ + 1))) Β· 𝐡) mod (2↑(π‘˜ + 1)))) = (bitsβ€˜((𝐴 Β· 𝐡) mod (2↑(π‘˜ + 1)))))
4726, 39, 463eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) = (bitsβ€˜((𝐴 Β· 𝐡) mod (2↑(π‘˜ + 1)))))
4810, 11zmulcld 12672 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„€)
49 bitsmod 16377 . . . . . . . . 9 (((𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„€ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜((𝐴 Β· 𝐡) mod (2↑(π‘˜ + 1)))) = ((bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
5048, 15, 49syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜((𝐴 Β· 𝐡) mod (2↑(π‘˜ + 1)))) = ((bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
5147, 50eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) = ((bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))))
5251eleq2d 2820 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ (((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) ↔ π‘˜ ∈ ((bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1)))))
53 elin 3965 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) ↔ (π‘˜ ∈ ((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(π‘˜ + 1))))
54 elin 3965 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ ((bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) ∩ (0..^(π‘˜ + 1))) ↔ (π‘˜ ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(π‘˜ + 1))))
5552, 53, 543bitr3g 313 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ ((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(π‘˜ + 1))) ↔ (π‘˜ ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(π‘˜ + 1)))))
56 nn0uz 12864 . . . . . . . . 9 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
5712, 56eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
58 eluzfz2b 13510 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ↔ π‘˜ ∈ (0...π‘˜))
5957, 58sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ (0...π‘˜))
6012nn0zd 12584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
61 fzval3 13701 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (0...π‘˜) = (0..^(π‘˜ + 1)))
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0...π‘˜) = (0..^(π‘˜ + 1)))
6359, 62eleqtrd 2836 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ (0..^(π‘˜ + 1)))
6463biantrud 533 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ ((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) ↔ (π‘˜ ∈ ((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(π‘˜ + 1)))))
6563biantrud 533 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) ↔ (π‘˜ ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(π‘˜ + 1)))))
6655, 64, 653bitr4d 311 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ ((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) ↔ π‘˜ ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡))))
6766ex 414 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ ∈ ((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) ↔ π‘˜ ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)))))
686, 9, 67pm5.21ndd 381 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ ((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) ↔ π‘˜ ∈ (bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡))))
6968eqrdv 2731 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((bitsβ€˜π΄) smul (bitsβ€˜π΅)) = (bitsβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627   mod cmo 13834  β†‘cexp 14027  bitscbits 16360   smul csmu 16362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-bits 16363  df-sad 16392  df-smu 16417
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