| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | bitsss 16463 |
. . . . . 6
⊢
(bits‘𝐴)
⊆ ℕ0 |
| 2 | | bitsss 16463 |
. . . . . 6
⊢
(bits‘𝐵)
⊆ ℕ0 |
| 3 | | smucl 16521 |
. . . . . 6
⊢
(((bits‘𝐴)
⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0) →
((bits‘𝐴) smul
(bits‘𝐵)) ⊆
ℕ0) |
| 4 | 1, 2, 3 | mp2an 692 |
. . . . 5
⊢
((bits‘𝐴) smul
(bits‘𝐵)) ⊆
ℕ0 |
| 5 | 4 | sseli 3979 |
. . . 4
⊢ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
| 6 | 5 | a1i 11 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) → 𝑘 ∈
ℕ0)) |
| 7 | | bitsss 16463 |
. . . . 5
⊢
(bits‘(𝐴
· 𝐵)) ⊆
ℕ0 |
| 8 | 7 | sseli 3979 |
. . . 4
⊢ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
| 9 | 8 | a1i 11 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) → 𝑘 ∈
ℕ0)) |
| 10 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐴 ∈
ℤ) |
| 11 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐵 ∈
ℤ) |
| 12 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝑘 ∈
ℕ0) |
| 13 | | 1nn0 12542 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
| 14 | 13 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 1 ∈ ℕ0) |
| 15 | 12, 14 | nn0addcld 12591 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝑘 + 1) ∈
ℕ0) |
| 16 | 10, 11, 15 | smumullem 16529 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((bits‘𝐴)
∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul
(bits‘𝐵)) =
(bits‘((𝐴 mod
(2↑(𝑘 + 1))) ·
𝐵))) |
| 17 | 16 | ineq1d 4219 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((((bits‘𝐴)
∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul
(bits‘𝐵)) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) =
((bits‘((𝐴 mod
(2↑(𝑘 + 1))) ·
𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) |
| 18 | | 2nn 12339 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 2 ∈
ℕ |
| 19 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 2 ∈ ℕ) |
| 20 | 19, 15 | nnexpcld 14284 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (2↑(𝑘 + 1))
∈ ℕ) |
| 21 | 10, 20 | zmodcld 13932 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴 mod
(2↑(𝑘 + 1))) ∈
ℕ0) |
| 22 | 21 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴 mod
(2↑(𝑘 + 1))) ∈
ℤ) |
| 23 | 22, 11 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴 mod
(2↑(𝑘 + 1))) ·
𝐵) ∈
ℤ) |
| 24 | | bitsmod 16473 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) →
(bits‘(((𝐴 mod
(2↑(𝑘 + 1))) ·
𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) |
| 25 | 23, 15, 24 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (bits‘(((𝐴 mod
(2↑(𝑘 + 1))) ·
𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) |
| 26 | 17, 25 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((((bits‘𝐴)
∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul
(bits‘𝐵)) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) =
(bits‘(((𝐴 mod
(2↑(𝑘 + 1))) ·
𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1))))) |
| 27 | | inass 4228 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((bits‘𝐴)
∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) =
((bits‘𝐴) ∩
((0..^(𝑘 + 1)) ∩
(0..^(𝑘 +
1)))) |
| 28 | | inidm 4227 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((0..^(𝑘 + 1)) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) =
(0..^(𝑘 +
1)) |
| 29 | 28 | ineq2i 4217 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((bits‘𝐴)
∩ ((0..^(𝑘 + 1)) ∩
(0..^(𝑘 + 1)))) =
((bits‘𝐴) ∩
(0..^(𝑘 +
1))) |
| 30 | 27, 29 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((bits‘𝐴)
∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) =
((bits‘𝐴) ∩
(0..^(𝑘 +
1))) |
| 31 | 30 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((bits‘𝐴)
∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) smul
((bits‘𝐵) ∩
(0..^(𝑘 + 1)))) =
(((bits‘𝐴) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) smul
((bits‘𝐵) ∩
(0..^(𝑘 +
1)))) |
| 32 | 31 | ineq1i 4216 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((bits‘𝐴)
∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) smul
((bits‘𝐵) ∩
(0..^(𝑘 + 1)))) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) =
((((bits‘𝐴) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) smul
((bits‘𝐵) ∩
(0..^(𝑘 + 1)))) ∩
(0..^(𝑘 +
1))) |
| 33 | | inss1 4237 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((bits‘𝐴)
∩ (0..^(𝑘 + 1)))
⊆ (bits‘𝐴) |
| 34 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (bits‘𝐴)
⊆ ℕ0) |
| 35 | 33, 34 | sstrid 3995 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((bits‘𝐴)
∩ (0..^(𝑘 + 1)))
⊆ ℕ0) |
| 36 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (bits‘𝐵)
⊆ ℕ0) |
| 37 | 35, 36, 15 | smueq 16528 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((((bits‘𝐴)
∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul
(bits‘𝐵)) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) =
(((((bits‘𝐴) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) smul
((bits‘𝐵) ∩
(0..^(𝑘 + 1)))) ∩
(0..^(𝑘 +
1)))) |
| 38 | 34, 36, 15 | smueq 16528 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((bits‘𝐴)
smul (bits‘𝐵)) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) =
((((bits‘𝐴) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) smul
((bits‘𝐵) ∩
(0..^(𝑘 + 1)))) ∩
(0..^(𝑘 +
1)))) |
| 39 | 32, 37, 38 | 3eqtr4a 2803 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((((bits‘𝐴)
∩ (0..^(𝑘 + 1))) smul
(bits‘𝐵)) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) =
(((bits‘𝐴) smul
(bits‘𝐵)) ∩
(0..^(𝑘 +
1)))) |
| 40 | 20 | nnrpd 13075 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (2↑(𝑘 + 1))
∈ ℝ+) |
| 41 | 10 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐴 ∈
ℝ) |
| 42 | | modabs2 13945 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧
(2↑(𝑘 + 1)) ∈
ℝ+) → ((𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1))) mod (2↑(𝑘 + 1))) = (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1)))) |
| 43 | 41, 40, 42 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴 mod
(2↑(𝑘 + 1))) mod
(2↑(𝑘 + 1))) = (𝐴 mod (2↑(𝑘 + 1)))) |
| 44 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐵 mod
(2↑(𝑘 + 1))) = (𝐵 mod (2↑(𝑘 + 1)))) |
| 45 | 22, 10, 11, 11, 40, 43, 44 | modmul12d 13966 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐴 mod
(2↑(𝑘 + 1))) ·
𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) |
| 46 | 45 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (bits‘(((𝐴 mod
(2↑(𝑘 + 1))) ·
𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = (bits‘((𝐴 · 𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1))))) |
| 47 | 26, 39, 46 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((bits‘𝐴)
smul (bits‘𝐵)) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) =
(bits‘((𝐴 ·
𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1))))) |
| 48 | 10, 11 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴 · 𝐵) ∈
ℤ) |
| 49 | | bitsmod 16473 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) →
(bits‘((𝐴 ·
𝐵) mod (2↑(𝑘 + 1)))) = ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) |
| 50 | 48, 15, 49 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (bits‘((𝐴
· 𝐵) mod
(2↑(𝑘 + 1)))) =
((bits‘(𝐴 ·
𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) |
| 51 | 47, 50 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((bits‘𝐴)
smul (bits‘𝐵)) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) =
((bits‘(𝐴 ·
𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) |
| 52 | 51 | eleq2d 2827 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝑘 ∈
(((bits‘𝐴) smul
(bits‘𝐵)) ∩
(0..^(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 ∈ ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))) |
| 53 | | elin 3967 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ (((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))) |
| 54 | | elin 3967 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ ((bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))) |
| 55 | 52, 53, 54 | 3bitr3g 313 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝑘 ∈
((bits‘𝐴) smul
(bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))) |
| 56 | | nn0uz 12920 |
. . . . . . . . 9
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
| 57 | 12, 56 | eleqtrdi 2851 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘0)) |
| 58 | | eluzfz2b 13573 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘0) ↔ 𝑘 ∈ (0...𝑘)) |
| 59 | 57, 58 | sylib 218 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝑘 ∈ (0...𝑘)) |
| 60 | 12 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝑘 ∈
ℤ) |
| 61 | | fzval3 13773 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ℤ →
(0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1))) |
| 62 | 60, 61 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (0...𝑘) =
(0..^(𝑘 +
1))) |
| 63 | 59, 62 | eleqtrd 2843 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) |
| 64 | 63 | biantrud 531 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝑘 ∈
((bits‘𝐴) smul
(bits‘𝐵)) ↔
(𝑘 ∈
((bits‘𝐴) smul
(bits‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))) |
| 65 | 63 | biantrud 531 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝑘 ∈
(bits‘(𝐴 ·
𝐵)) ↔ (𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))) |
| 66 | 55, 64, 65 | 3bitr4d 311 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝑘 ∈
((bits‘𝐴) smul
(bits‘𝐵)) ↔
𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)))) |
| 67 | 66 | ex 412 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℕ0
→ (𝑘 ∈
((bits‘𝐴) smul
(bits‘𝐵)) ↔
𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵))))) |
| 68 | 6, 9, 67 | pm5.21ndd 379 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((bits‘𝐴) smul (bits‘𝐵)) ↔ 𝑘 ∈ (bits‘(𝐴 · 𝐵)))) |
| 69 | 68 | eqrdv 2735 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) →
((bits‘𝐴) smul
(bits‘𝐵)) =
(bits‘(𝐴 ·
𝐵))) |