Theorem remul02 42974

Description: Real number version of mul02 11354 proven without ax-mulcom 11130. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
remul02	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem remul02

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-1ne2 42840	. 2 ⊢ 1 ≠ 2
2		elre0re 42830	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11205	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
5		ax-rrecex 11138	. . . . . 6 ⊢ (((0 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
6	4, 5	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
7		simprr 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
8		df-2 12273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
9	8	oveq1i 7400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = ((1 + 1) · 0)
10		re0m0e0 42971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 −ℝ 0) = 0
11	10	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 = (0 −ℝ 0)
12	11	oveq2i 7401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) · 0) = ((1 + 1) · (0 −ℝ 0))
13		1re 11174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
14	13, 13	readdcli 11190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
15		sn-00idlem1 42967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + 1) ∈ ℝ → ((1 + 1) · (0 −ℝ 0)) = ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) · (0 −ℝ 0)) = ((1 + 1) −ℝ (1 + 1))
17		repnpcan 42961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = (1 −ℝ 1))
18	13, 13, 13, 17	mp3an 1481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = (1 −ℝ 1)
19		re1m1e0m0 42966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)
20	18, 19, 10	3eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = 0
21	12, 16, 20	3eqtri 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + 1) · 0) = 0
22	9, 21	eqtr2i 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (2 · 0)
23	22	oveq1i 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 · 𝐴) = ((2 · 0) · 𝐴)
24	23	oveq1i 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥)
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥))
26		2cnd 12289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 2 ∈ ℂ)
27		0cnd 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
28		simpll 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
29	28	recnd 11203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	26, 27, 29	mulassd 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((2 · 0) · 𝐴) = (2 · (0 · 𝐴)))
31	30	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥) = ((2 · (0 · 𝐴)) · 𝑥))
32	4	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝐴) ∈ ℂ)
34		simprl 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
35	34	recnd 11203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
36	26, 33, 35	mulassd 11198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (0 · 𝐴)) · 𝑥) = (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)))
37	25, 31, 36	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)))
38	7	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)) = (2 · 1))
39		2re 12285	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
40		ax-1rid 11136	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
41	39, 40	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (2 · 1) = 2)
42	37, 38, 41	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 2)
43	7, 42	eqtr3d 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 1 = 2)
44	6, 43	rexlimddv 3168	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = 2)
45	44	ex 416	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 · 𝐴) ≠ 0 → 1 = 2))
46	45	necon1d 2978	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≠ 2 → (0 · 𝐴) = 0))
47	1, 46	mpi 20	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  (class class class)co 7390  ℝcr 11065  0cc0 11066  1c1 11067   + caddc 11069   · cmul 11071  2c2 12265   −_ℝ cresub 42934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-ltxr 11214  df-2 12273  df-resub 42935

This theorem is referenced by:  remul01  42976  sn-remul0ord  42977  sn-0tie0  43033  sn-mul02  43034  nn0mulcom  43048  zmulcomlem  43049  mulgt0con1d  43052  mullt0b2d  43066  sn-inelr  43069