Theorem remul02 40609

Description: Real number version of mul02 11232 proven without ax-mulcom 11014. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
remul02	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem remul02

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-1ne2 40516	. 2 ⊢ 1 ≠ 2
2		elre0re 40512	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11084	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
5		ax-rrecex 11022	. . . . . 6 ⊢ (((0 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
6	4, 5	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
7		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
8		df-2 12115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
9	8	oveq1i 7326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = ((1 + 1) · 0)
10		re0m0e0 40606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 −ℝ 0) = 0
11	10	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 = (0 −ℝ 0)
12	11	oveq2i 7327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) · 0) = ((1 + 1) · (0 −ℝ 0))
13		1re 11054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
14	13, 13	readdcli 11069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
15		sn-00idlem1 40602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + 1) ∈ ℝ → ((1 + 1) · (0 −ℝ 0)) = ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) · (0 −ℝ 0)) = ((1 + 1) −ℝ (1 + 1))
17		repnpcan 40596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = (1 −ℝ 1))
18	13, 13, 13, 17	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = (1 −ℝ 1)
19		re1m1e0m0 40601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)
20	18, 19, 10	3eqtri 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = 0
21	12, 16, 20	3eqtri 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + 1) · 0) = 0
22	9, 21	eqtr2i 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (2 · 0)
23	22	oveq1i 7326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 · 𝐴) = ((2 · 0) · 𝐴)
24	23	oveq1i 7326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥)
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥))
26		2cnd 12130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 2 ∈ ℂ)
27		0cnd 11047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
28		simpll 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
29	28	recnd 11082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	26, 27, 29	mulassd 11077	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((2 · 0) · 𝐴) = (2 · (0 · 𝐴)))
31	30	oveq1d 7331	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥) = ((2 · (0 · 𝐴)) · 𝑥))
32	4	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝐴) ∈ ℂ)
34		simprl 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
35	34	recnd 11082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
36	26, 33, 35	mulassd 11077	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (0 · 𝐴)) · 𝑥) = (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)))
37	25, 31, 36	3eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)))
38	7	oveq2d 7332	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)) = (2 · 1))
39		2re 12126	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
40		ax-1rid 11020	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
41	39, 40	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (2 · 1) = 2)
42	37, 38, 41	3eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 2)
43	7, 42	eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 1 = 2)
44	6, 43	rexlimddv 3154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = 2)
45	44	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 · 𝐴) ≠ 0 → 1 = 2))
46	45	necon1d 2962	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≠ 2 → (0 · 𝐴) = 0))
47	1, 46	mpi 20	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  (class class class)co 7316  ℝcr 10949  0cc0 10950  1c1 10951   + caddc 10953   · cmul 10955  2c2 12107   −_ℝ cresub 40569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-id 5506  df-po 5520  df-so 5521  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-ltxr 11093  df-2 12115  df-resub 40570

This theorem is referenced by:  remul01  40611  sn-0tie0  40642  sn-mul02  40643  mulgt0con1d  40649  sn-inelr  40656