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Theorem remul02 40860
Description: Real number version of mul02 11333 proven without ax-mulcom 11115. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
remul02 (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem remul02
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sn-1ne2 40767 . 2 1 ≠ 2
2 elre0re 40763 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
3 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
42, 3remulcld 11185 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
5 ax-rrecex 11123 . . . . . 6 (((0 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
64, 5sylan 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
7 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
8 df-2 12216 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
98oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = ((1 + 1) · 0)
10 re0m0e0 40857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 − 0) = 0
1110eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (0 − 0)
1211oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 1) · 0) = ((1 + 1) · (0 − 0))
13 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
1413, 13readdcli 11170 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 1) ∈ ℝ
15 sn-00idlem1 40853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 + 1) ∈ ℝ → ((1 + 1) · (0 − 0)) = ((1 + 1) − (1 + 1)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 1) · (0 − 0)) = ((1 + 1) − (1 + 1))
17 repnpcan 40847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + 1) − (1 + 1)) = (1 − 1))
1813, 13, 13, 17mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 + 1) − (1 + 1)) = (1 − 1)
19 re1m1e0m0 40852 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 1) = (0 − 0)
2018, 19, 103eqtri 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 1) − (1 + 1)) = 0
2112, 16, 203eqtri 2768 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 1) · 0) = 0
229, 21eqtr2i 2765 . . . . . . . . . . 11 0 = (2 · 0)
2322oveq1i 7367 . . . . . . . . . 10 (0 · 𝐴) = ((2 · 0) · 𝐴)
2423oveq1i 7367 . . . . . . . . 9 ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥)
2524a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥))
26 2cnd 12231 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 2 ∈ ℂ)
27 0cnd 11148 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
28 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2928recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3026, 27, 29mulassd 11178 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((2 · 0) · 𝐴) = (2 · (0 · 𝐴)))
3130oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥) = ((2 · (0 · 𝐴)) · 𝑥))
324ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
3332recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝐴) ∈ ℂ)
34 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3534recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3626, 33, 35mulassd 11178 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (0 · 𝐴)) · 𝑥) = (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)))
3725, 31, 363eqtrd 2780 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)))
387oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)) = (2 · 1))
39 2re 12227 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
40 ax-1rid 11121 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
4139, 40mp1i 13 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (2 · 1) = 2)
4237, 38, 413eqtrd 2780 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 2)
437, 42eqtr3d 2778 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 1 = 2)
446, 43rexlimddv 3158 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = 2)
4544ex 413 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 · 𝐴) ≠ 0 → 1 = 2))
4645necon1d 2965 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≠ 2 → (0 · 𝐴) = 0))
471, 46mpi 20 1 (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  2c2 12208   cresub 40820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-2 12216  df-resub 40821
This theorem is referenced by:  remul01  40862  sn-0tie0  40894  sn-mul02  40895  nn0mulcom  40909  zmulcomlem  40910  mulgt0con1d  40913  sn-inelr  40920
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