Theorem remul02 43280

Description: Real number version of mul02 11412 proven without ax-mulcom 11188. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
remul02	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem remul02

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-1ne2 43146	. 2 ⊢ 1 ≠ 2
2		elre0re 43121	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
3		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
5		ax-rrecex 11196	. . . . . 6 ⊢ (((0 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
6	4, 5	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
7		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
8		df-2 12327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
9	8	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = ((1 + 1) · 0)
10		re0m0e0 43277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 −ℝ 0) = 0
11	10	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 = (0 −ℝ 0)
12	11	oveq2i 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) · 0) = ((1 + 1) · (0 −ℝ 0))
13		1re 11232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
14	13, 13	readdcli 11248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
15		sn-00idlem1 43273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + 1) ∈ ℝ → ((1 + 1) · (0 −ℝ 0)) = ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) · (0 −ℝ 0)) = ((1 + 1) −ℝ (1 + 1))
17		repnpcan 43267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = (1 −ℝ 1))
18	13, 13, 13, 17	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = (1 −ℝ 1)
19		re1m1e0m0 43272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)
20	18, 19, 10	3eqtri 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = 0
21	12, 16, 20	3eqtri 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + 1) · 0) = 0
22	9, 21	eqtr2i 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (2 · 0)
23	22	oveq1i 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 · 𝐴) = ((2 · 0) · 𝐴)
24	23	oveq1i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥)
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥))
26		2cnd 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 2 ∈ ℂ)
27		0cnd 11223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
28		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
29	28	recnd 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	26, 27, 29	mulassd 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((2 · 0) · 𝐴) = (2 · (0 · 𝐴)))
31	30	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥) = ((2 · (0 · 𝐴)) · 𝑥))
32	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝐴) ∈ ℂ)
34		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
35	34	recnd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
36	26, 33, 35	mulassd 11256	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (0 · 𝐴)) · 𝑥) = (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)))
37	25, 31, 36	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)))
38	7	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)) = (2 · 1))
39		2re 12339	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
40		ax-1rid 11194	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
41	39, 40	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (2 · 1) = 2)
42	37, 38, 41	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 2)
43	7, 42	eqtr3d 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 1 = 2)
44	6, 43	rexlimddv 3169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = 2)
45	44	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 · 𝐴) ≠ 0 → 1 = 2))
46	45	necon1d 2977	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≠ 2 → (0 · 𝐴) = 0))
47	1, 46	mpi 21	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  2c2 12319   −_ℝ cresub 43240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-2 12327  df-resub 43241

This theorem is used by:  remul01  43282  sn-remul0ord  43283  sn-0tie0  43339  sn-mul02  43340  nn0mulcom  43354  zmulcomlem  43355  mulgt0con1d  43358  mullt0b2d  43372  sn-inelr  43375