Theorem remul02 42444

Description: Real number version of mul02 11291 proven without ax-mulcom 11070. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
remul02	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem remul02

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-1ne2 42304	. 2 ⊢ 1 ≠ 2
2		elre0re 42293	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11142	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
5		ax-rrecex 11078	. . . . . 6 ⊢ (((0 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
6	4, 5	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
7		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
8		df-2 12188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
9	8	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = ((1 + 1) · 0)
10		re0m0e0 42441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 −ℝ 0) = 0
11	10	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 = (0 −ℝ 0)
12	11	oveq2i 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) · 0) = ((1 + 1) · (0 −ℝ 0))
13		1re 11112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
14	13, 13	readdcli 11127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
15		sn-00idlem1 42437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + 1) ∈ ℝ → ((1 + 1) · (0 −ℝ 0)) = ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) · (0 −ℝ 0)) = ((1 + 1) −ℝ (1 + 1))
17		repnpcan 42431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = (1 −ℝ 1))
18	13, 13, 13, 17	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = (1 −ℝ 1)
19		re1m1e0m0 42436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)
20	18, 19, 10	3eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = 0
21	12, 16, 20	3eqtri 2758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + 1) · 0) = 0
22	9, 21	eqtr2i 2755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (2 · 0)
23	22	oveq1i 7356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 · 𝐴) = ((2 · 0) · 𝐴)
24	23	oveq1i 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥)
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥))
26		2cnd 12203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 2 ∈ ℂ)
27		0cnd 11105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
28		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
29	28	recnd 11140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	26, 27, 29	mulassd 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((2 · 0) · 𝐴) = (2 · (0 · 𝐴)))
31	30	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥) = ((2 · (0 · 𝐴)) · 𝑥))
32	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11140	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝐴) ∈ ℂ)
34		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
35	34	recnd 11140	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
36	26, 33, 35	mulassd 11135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (0 · 𝐴)) · 𝑥) = (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)))
37	25, 31, 36	3eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)))
38	7	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)) = (2 · 1))
39		2re 12199	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
40		ax-1rid 11076	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
41	39, 40	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (2 · 1) = 2)
42	37, 38, 41	3eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 2)
43	7, 42	eqtr3d 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 1 = 2)
44	6, 43	rexlimddv 3139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = 2)
45	44	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 · 𝐴) ≠ 0 → 1 = 2))
46	45	necon1d 2950	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≠ 2 → (0 · 𝐴) = 0))
47	1, 46	mpi 20	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  2c2 12180   −_ℝ cresub 42404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-2 12188  df-resub 42405

This theorem is referenced by:  remul01  42446  sn-remul0ord  42447  sn-0tie0  42490  sn-mul02  42491  nn0mulcom  42505  zmulcomlem  42506  mulgt0con1d  42509  mullt0b2d  42523  sn-inelr  42526