Theorem sn-addcan2d 42992

Description: addcan2d 11381 without ax-mulcom 11131. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-addcan2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sn-addcan2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
sn-addcan2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sn-addcan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem sn-addcan2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-addcan2d.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		sn-negex 42988	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 + 𝑥) = 0)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 + 𝑥) = 0)
4		oveq1 7398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥))
5		sn-addcan2d.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8		simprl 780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	addassd 11198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = (𝐴 + (𝐶 + 𝑥)))
10		simprr 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐶 + 𝑥) = 0)
11	10	oveq2d 7407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐴 + (𝐶 + 𝑥)) = (𝐴 + 0))
12		sn-addrid 42991	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
13	6, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
14	9, 11, 13	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = 𝐴)
15		sn-addcan2d.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16, 7, 8	addassd 11198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) = (𝐵 + (𝐶 + 𝑥)))
18	10	oveq2d 7407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐵 + (𝐶 + 𝑥)) = (𝐵 + 0))
19		sn-addrid 42991	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
20	16, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
21	17, 18, 20	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) = 𝐵)
22	14, 21	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
23	4, 22	imbitrid 246	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
24		oveq1 7398	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
25	23, 24	impbid1 227	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
26	3, 25	rexlimddv 3168	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067   + caddc 11070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-2 12274  df-3 12275  df-resub 42936

This theorem is referenced by:  reixi  42993