Theorem sn-addcan2d 42417

Description: addcan2d 11385 without ax-mulcom 11139. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-addcan2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sn-addcan2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
sn-addcan2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sn-addcan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem sn-addcan2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-addcan2d.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		sn-negex 42413	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 + 𝑥) = 0)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 + 𝑥) = 0)
4		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥))
5		sn-addcan2d.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	addassd 11203	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = (𝐴 + (𝐶 + 𝑥)))
10		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐶 + 𝑥) = 0)
11	10	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐴 + (𝐶 + 𝑥)) = (𝐴 + 0))
12		sn-addrid 42416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
13	6, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
14	9, 11, 13	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = 𝐴)
15		sn-addcan2d.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16, 7, 8	addassd 11203	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) = (𝐵 + (𝐶 + 𝑥)))
18	10	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐵 + (𝐶 + 𝑥)) = (𝐵 + 0))
19		sn-addrid 42416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
20	16, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
21	17, 18, 20	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) = 𝐵)
22	14, 21	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
23	4, 22	imbitrid 244	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
24		oveq1 7397	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
25	23, 24	impbid1 225	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
26	3, 25	rexlimddv 3141	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   + caddc 11078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-2 12256  df-3 12257  df-resub 42361

This theorem is referenced by:  reixi  42418