Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-addcan2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-addcan2d 40868
Description: addcan2d 11358 without ax-mulcom 11114. (Contributed by SN, 5-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sn-addcan2d.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
sn-addcan2d.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
sn-addcan2d.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
sn-addcan2d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem sn-addcan2d
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sn-addcan2d.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 sn-negex 40864 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 + 𝑥) = 0)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 + 𝑥) = 0)
4 oveq1 7363 . . . 4 ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥))
5 sn-addcan2d.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
65adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
71adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 simprl 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
96, 7, 8addassd 11176 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = (𝐴 + (𝐶 + 𝑥)))
10 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐶 + 𝑥) = 0)
1110oveq2d 7372 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐴 + (𝐶 + 𝑥)) = (𝐴 + 0))
12 sn-addid1 40867 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
136, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
149, 11, 133eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = 𝐴)
15 sn-addcan2d.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1615adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1716, 7, 8addassd 11176 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) = (𝐵 + (𝐶 + 𝑥)))
1810oveq2d 7372 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐵 + (𝐶 + 𝑥)) = (𝐵 + 0))
19 sn-addid1 40867 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
2016, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
2117, 18, 203eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) = 𝐵)
2214, 21eqeq12d 2752 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
234, 22imbitrid 243 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
24 oveq1 7363 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
2523, 24impbid1 224 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
263, 25rexlimddv 3158 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  (class class class)co 7356  cc 11048  0cc0 11050   + caddc 11053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-ltxr 11193  df-2 12215  df-3 12216  df-resub 40813
This theorem is referenced by:  reixi  40869
  Copyright terms: Public domain W3C validator