Theorem sn-addcan2d 41877

Description: addcan2d 11422 without ax-mulcom 11176. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-addcan2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sn-addcan2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
sn-addcan2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sn-addcan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem sn-addcan2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-addcan2d.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		sn-negex 41873	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 + 𝑥) = 0)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 + 𝑥) = 0)
4		oveq1 7412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥))
5		sn-addcan2d.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	addassd 11240	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = (𝐴 + (𝐶 + 𝑥)))
10		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐶 + 𝑥) = 0)
11	10	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐴 + (𝐶 + 𝑥)) = (𝐴 + 0))
12		sn-addrid 41876	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
13	6, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
14	9, 11, 13	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = 𝐴)
15		sn-addcan2d.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16, 7, 8	addassd 11240	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) = (𝐵 + (𝐶 + 𝑥)))
18	10	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐵 + (𝐶 + 𝑥)) = (𝐵 + 0))
19		sn-addrid 41876	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
20	16, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
21	17, 18, 20	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) = 𝐵)
22	14, 21	eqeq12d 2742	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
23	4, 22	imbitrid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
24		oveq1 7412	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
25	23, 24	impbid1 224	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
26	3, 25	rexlimddv 3155	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-2 12279  df-3 12280  df-resub 41822

This theorem is referenced by:  reixi  41878