Theorem sn-addrid 41596

Description: addrid 11399 without ax-mulcom 11178. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-addrid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem sn-addrid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-negex2 41594	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
2		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝑥 + 𝐴) = 0)
3	2	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 0) = (0 + 0))
4		sn-00id 41577	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 0) = 0)
6		simprl 768	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		0cnd 11212	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 0 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	addassd 11241	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 0) = (𝑥 + (𝐴 + 0)))
10	2, 5, 9	3eqtr2rd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝑥 + (𝐴 + 0)) = (𝑥 + 𝐴))
11	7, 8	addcld 11238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝐴 + 0) ∈ ℂ)
12	6, 11, 7	sn-addcand 41595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + (𝐴 + 0)) = (𝑥 + 𝐴) ↔ (𝐴 + 0) = 𝐴))
13	10, 12	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
14	1, 13	rexlimddv 3160	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  0cc0 11114   + caddc 11117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-2 12280  df-3 12281  df-resub 41542

This theorem is referenced by:  sn-addcan2d  41597  sn-addid0  41600