Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reixi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reixi 41599
Description: ixi 11849 without ax-mulcom 11178. (Contributed by SN, 5-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
reixi (i · i) = (0 − 1)

Proof of Theorem reixi
StepHypRef Expression
1 ax-i2m1 11182 . . . 4 ((i · i) + 1) = 0
2 1re 11220 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 renegid2 41590 . . . . 5 (1 ∈ ℝ → ((0 − 1) + 1) = 0)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 ((0 − 1) + 1) = 0
51, 4eqtr4i 2761 . . 3 ((i · i) + 1) = ((0 − 1) + 1)
6 ax-icn 11173 . . . . . 6 i ∈ ℂ
76, 6mulcli 11227 . . . . 5 (i · i) ∈ ℂ
87a1i 11 . . . 4 (⊤ → (i · i) ∈ ℂ)
9 rernegcl 41548 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (0 − 1) ∈ ℝ)
109recnd 11248 . . . . 5 (1 ∈ ℝ → (0 − 1) ∈ ℂ)
112, 10mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (0 − 1) ∈ ℂ)
12 1cnd 11215 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
138, 11, 12sn-addcan2d 41598 . . 3 (⊤ → (((i · i) + 1) = ((0 − 1) + 1) ↔ (i · i) = (0 − 1)))
145, 13mpbii 232 . 2 (⊤ → (i · i) = (0 − 1))
1514mptru 1546 1 (i · i) = (0 − 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2104  (class class class)co 7413  cc 11112  cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115  ici 11116   + caddc 11117   · cmul 11119   cresub 41542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-2 12281  df-3 12282  df-resub 41543
This theorem is referenced by:  rei4  41600  ipiiie0  41614  sn-0tie0  41616  sn-inelr  41642
  Copyright terms: Public domain W3C validator