Theorem reixi 41238

Description: ixi 11838 without ax-mulcom 11169. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reixi	⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)

Proof of Theorem reixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-i2m1 11173	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
2		1re 11209	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		renegid2 41229	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) + 1) = 0)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) + 1) = 0
5	1, 4	eqtr4i 2764	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = ((0 −ℝ 1) + 1)
6		ax-icn 11164	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
7	6, 6	mulcli 11216	. . . . 5 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (i · i) ∈ ℂ)
9		rernegcl 41187	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11237	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℂ)
11	2, 10	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → (0 −ℝ 1) ∈ ℂ)
12		1cnd 11204	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
13	8, 11, 12	sn-addcan2d 41237	. . 3 ⊢ (⊤ → (((i · i) + 1) = ((0 −ℝ 1) + 1) ↔ (i · i) = (0 −ℝ 1)))
14	5, 13	mpbii 232	. 2 ⊢ (⊤ → (i · i) = (0 −ℝ 1))
15	14	mptru 1549	1 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7403  ℂcc 11103  ℝcr 11104  0cc0 11105  1c1 11106  ici 11107   + caddc 11108   · cmul 11110   −_ℝ cresub 41181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-2 12270  df-3 12271  df-resub 41182

This theorem is referenced by:  rei4  41239  ipiiie0  41253  sn-0tie0  41255  sn-inelr  41281