Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reixi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reixi 39546
Description: ixi 11262 without ax-mulcom 10594. (Contributed by SN, 5-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
reixi (i · i) = (0 − 1)

Proof of Theorem reixi
StepHypRef Expression
1 ax-i2m1 10598 . . . 4 ((i · i) + 1) = 0
2 1re 10634 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 renegid2 39538 . . . . 5 (1 ∈ ℝ → ((0 − 1) + 1) = 0)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 ((0 − 1) + 1) = 0
51, 4eqtr4i 2827 . . 3 ((i · i) + 1) = ((0 − 1) + 1)
6 ax-icn 10589 . . . . . 6 i ∈ ℂ
76, 6mulcli 10641 . . . . 5 (i · i) ∈ ℂ
87a1i 11 . . . 4 (⊤ → (i · i) ∈ ℂ)
9 rernegcl 39496 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (0 − 1) ∈ ℝ)
109recnd 10662 . . . . 5 (1 ∈ ℝ → (0 − 1) ∈ ℂ)
112, 10mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (0 − 1) ∈ ℂ)
12 1cnd 10629 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
138, 11, 12sn-addcan2d 39545 . . 3 (⊤ → (((i · i) + 1) = ((0 − 1) + 1) ↔ (i · i) = (0 − 1)))
145, 13mpbii 236 . 2 (⊤ → (i · i) = (0 − 1))
1514mptru 1545 1 (i · i) = (0 − 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wtru 1539  wcel 2112  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  ici 10532   + caddc 10533   · cmul 10535   cresub 39490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-2 11692  df-3 11693  df-resub 39491
This theorem is referenced by:  rei4  39547  ipiiie0  39561  sn-0tie0  39563  sn-inelr  39577
  Copyright terms: Public domain W3C validator