Theorem reixi 42396

Description: ixi 11749 without ax-mulcom 11073. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reixi	⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)

Proof of Theorem reixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-i2m1 11077	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
2		1re 11115	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		renegid2 42387	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) + 1) = 0)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) + 1) = 0
5	1, 4	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = ((0 −ℝ 1) + 1)
6		ax-icn 11068	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
7	6, 6	mulcli 11122	. . . . 5 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (i · i) ∈ ℂ)
9		rernegcl 42344	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11143	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℂ)
11	2, 10	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → (0 −ℝ 1) ∈ ℂ)
12		1cnd 11110	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
13	8, 11, 12	sn-addcan2d 42395	. . 3 ⊢ (⊤ → (((i · i) + 1) = ((0 −ℝ 1) + 1) ↔ (i · i) = (0 −ℝ 1)))
14	5, 13	mpbii 233	. 2 ⊢ (⊤ → (i · i) = (0 −ℝ 1))
15	14	mptru 1547	1 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010  ici 11011   + caddc 11012   · cmul 11014   −_ℝ cresub 42338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-2 12191  df-3 12192  df-resub 42339

This theorem is referenced by:  rei4  42397  ipiiie0  42411  sn-0tie0  42424  sn-inelr  42460