Theorem sn-addid0 41241

Description: A number that sums to itself is zero. Compare addid0 11629, readdridaddlidd 41128. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-addid0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sn-addid0.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sn-addid0	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

Proof of Theorem sn-addid0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-addid0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) = 𝐴)
2		sn-addid0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		sn-addrid 41237	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
5	1, 4	eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + 0))
6		0cnd 11203	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	2, 2, 6	sn-addcand 41236	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + 0) ↔ 𝐴 = 0))
8	5, 7	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-2 12271  df-3 12272  df-resub 41183

This theorem is referenced by:  sn-mul01  41242