Theorem sn-addid0 43616

Description: A number that sums to itself is zero. Compare addid0 11745, readdridaddlidd 43448. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-addid0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sn-addid0.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sn-addid0	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

Proof of Theorem sn-addid0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-addid0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) = 𝐴)
2		sn-addid0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		sn-addrid 43612	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
5	1, 4	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + 0))
6		0cnd 11309	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	2, 2, 6	sn-addcand 43611	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + 0) ↔ 𝐴 = 0))
8	5, 7	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  0cc0 11210   + caddc 11213

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-ltxr 11358  df-2 12415  df-3 12416  df-resub 43557

This theorem is used by:  sn-mul01  43617