Theorem rei4 40113

Description: i4 13773 without ax-mulcom 10793. (Contributed by SN, 27-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rei4	⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1

Proof of Theorem rei4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reixi 40112	. . 3 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
2	1, 1	oveq12i 7225	. 2 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1))
3		1re 10833	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		rernegcl 40062	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
6		0re 10835	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		resubdi 40087	. . . 4 ⊢ (((0 −ℝ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
8	5, 6, 3, 7	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1))
9		remul01 40098	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 0) = 0)
10	5, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · 0) = 0
11		ax-1rid 10799	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
12	5, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1)
13	10, 12	oveq12i 7225	. . 3 ⊢ (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1))
14		renegneg 40102	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
15	3, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1
16	8, 13, 15	3eqtri 2769	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
17	2, 16	eqtri 2765	1 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730  ici 10731   · cmul 10734   −_ℝ cresub 40056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-2 11893  df-3 11894  df-resub 40057

This theorem is referenced by:  sn-1ticom  40124  sn-0tie0  40129  sn-inelr  40143