Theorem rei4 39887

Description: i4 13602 without ax-mulcom 10624. (Contributed by SN, 27-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rei4	⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1

Proof of Theorem rei4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reixi 39886	. . 3 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
2	1, 1	oveq12i 7155	. 2 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1))
3		1re 10664	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		rernegcl 39836	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
6		0re 10666	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		resubdi 39861	. . . 4 ⊢ (((0 −ℝ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
8	5, 6, 3, 7	mp3an 1459	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1))
9		remul01 39872	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 0) = 0)
10	5, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · 0) = 0
11		ax-1rid 10630	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
12	5, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1)
13	10, 12	oveq12i 7155	. . 3 ⊢ (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1))
14		renegneg 39876	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
15	3, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1
16	8, 13, 15	3eqtri 2786	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
17	2, 16	eqtri 2782	1 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7143  ℝcr 10559  0cc0 10560  1c1 10561  ici 10562   · cmul 10565   −_ℝ cresub 39830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-op 4522  df-uni 4792  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-id 5423  df-po 5436  df-so 5437  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-ltxr 10703  df-2 11722  df-3 11723  df-resub 39831

This theorem is referenced by:  sn-1ticom  39898  sn-0tie0  39903  sn-inelr  39917