Theorem rei4 43518

Description: i4 14348 without ax-mulcom 11264. (Contributed by SN, 27-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rei4	⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1

Proof of Theorem rei4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reixi 43517	. . 3 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
2	1, 1	oveq12i 7432	. 2 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1))
3		1re 11308	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		rernegcl 43465	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
5		1red 11309	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
6	4, 5	remulneg2d 43509	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
7		ax-1rid 11270	. . . . . 6 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
8	4, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
9	8	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1)))
10		renegneg 43506	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
11	6, 9, 10	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1)
12	3, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
13	2, 12	eqtri 2783	1 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  ici 11202   · cmul 11205   −_ℝ cresub 43459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-2 12405  df-3 12406  df-resub 43460

This theorem is used by:  sn-1ticom  43529  sn-0tie0  43558