Theorem rei4 40385

Description: i4 13902 without ax-mulcom 10919. (Contributed by SN, 27-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rei4	⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1

Proof of Theorem rei4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reixi 40384	. . 3 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
2	1, 1	oveq12i 7280	. 2 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1))
3		1re 10959	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		rernegcl 40334	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
6		0re 10961	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		resubdi 40359	. . . 4 ⊢ (((0 −ℝ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
8	5, 6, 3, 7	mp3an 1459	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1))
9		remul01 40370	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 0) = 0)
10	5, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · 0) = 0
11		ax-1rid 10925	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
12	5, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1)
13	10, 12	oveq12i 7280	. . 3 ⊢ (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1))
14		renegneg 40374	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
15	3, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1
16	8, 13, 15	3eqtri 2771	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
17	2, 16	eqtri 2767	1 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  0cc0 10855  1c1 10856  ici 10857   · cmul 10860   −_ℝ cresub 40328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-ltxr 10998  df-2 12019  df-3 12020  df-resub 40329

This theorem is referenced by:  sn-1ticom  40396  sn-0tie0  40401  sn-inelr  40415