Theorem rei4 42910

Description: i4 14158 without ax-mulcom 11094. (Contributed by SN, 27-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rei4	⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1

Proof of Theorem rei4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reixi 42909	. . 3 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
2	1, 1	oveq12i 7369	. 2 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1))
3		1re 11136	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		rernegcl 42857	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
5		1red 11137	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
6	4, 5	remulneg2d 42901	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
7		ax-1rid 11100	. . . . . 6 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
9	8	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1)))
10		renegneg 42898	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
11	6, 9, 10	3eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1)
12	3, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
13	2, 12	eqtri 2762	1 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7357  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031  ici 11032   · cmul 11035   −_ℝ cresub 42851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-ltxr 11176  df-2 12236  df-3 12237  df-resub 42852

This theorem is referenced by:  sn-1ticom  42921  sn-0tie0  42950