Theorem rei4 43213

Description: i4 14245 without ax-mulcom 11168. (Contributed by SN, 27-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rei4	⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1

Proof of Theorem rei4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reixi 43212	. . 3 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
2	1, 1	oveq12i 7422	. 2 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1))
3		1re 11212	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		rernegcl 43160	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
5		1red 11213	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
6	4, 5	remulneg2d 43204	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
7		ax-1rid 11174	. . . . . 6 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
8	4, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
9	8	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1)))
10		renegneg 43201	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
11	6, 9, 10	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1)
12	3, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
13	2, 12	eqtri 2786	1 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105  ici 11106   · cmul 11109   −_ℝ cresub 43154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-2 12307  df-3 12308  df-resub 43155

This theorem is used by:  sn-1ticom  43224  sn-0tie0  43253