![]() |
Mathbox for Steven Nguyen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > sn-mul01 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: mul01 11397 without ax-mulcom 11176. (Contributed by SN, 5-May-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
sn-mul01 | โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท 0) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | id 22 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
2 | 0cnd 11211 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ 0 โ โ) | |
3 | 1, 2 | mulcld 11238 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท 0) โ โ) |
4 | 1, 2, 2 | adddid 11242 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท (0 + 0)) = ((๐ด ยท 0) + (๐ด ยท 0))) |
5 | sn-00id 41849 | . . . 4 โข (0 + 0) = 0 | |
6 | 5 | oveq2i 7416 | . . 3 โข (๐ด ยท (0 + 0)) = (๐ด ยท 0) |
7 | 4, 6 | eqtr3di 2781 | . 2 โข (๐ด โ โ โ ((๐ด ยท 0) + (๐ด ยท 0)) = (๐ด ยท 0)) |
8 | 3, 7 | sn-addid0 41872 | 1 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท 0) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7405 โcc 11110 0cc0 11112 + caddc 11115 ยท cmul 11117 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-ltxr 11257 df-2 12279 df-3 12280 df-resub 41814 |
This theorem is referenced by: sn-0tie0 41887 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |