Theorem sn-mul01 42011

Description: mul01 11431 without ax-mulcom 11210. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-mul01	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem sn-mul01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		0cnd 11245	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 11272	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) ∈ ℂ)
4	1, 2, 2	adddid 11276	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (0 + 0)) = ((𝐴 · 0) + (𝐴 · 0)))
5		sn-00id 41987	. . . 4 ⊢ (0 + 0) = 0
6	5	oveq2i 7437	. . 3 ⊢ (𝐴 · (0 + 0)) = (𝐴 · 0)
7	4, 6	eqtr3di 2783	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) + (𝐴 · 0)) = (𝐴 · 0))
8	3, 7	sn-addid0 42010	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  0cc0 11146   + caddc 11149   · cmul 11151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-2 12313  df-3 12314  df-resub 41952

This theorem is referenced by:  sn-0tie0  42025