Theorem sn-mul01 43743

Description: mul01 11528 without ax-mulcom 11303. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-mul01	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem sn-mul01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		0cnd 11338	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 11368	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) ∈ ℂ)
4	1, 2, 2	adddid 11372	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (0 + 0)) = ((𝐴 · 0) + (𝐴 · 0)))
5		sn-00id 43718	. . . 4 ⊢ (0 + 0) = 0
6	5	oveq2i 7462	. . 3 ⊢ (𝐴 · (0 + 0)) = (𝐴 · 0)
7	4, 6	eqtr3di 2813	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0) + (𝐴 · 0)) = (𝐴 · 0))
8	3, 7	sn-addid0 43742	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239   + caddc 11242   · cmul 11244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-2 12445  df-3 12446  df-resub 43683

This theorem is used by:  sn-0tie0  43781