Theorem sn-addcand 43451

Description: addcand 11506 without ax-mulcom 11257. Note how the proof is almost identical to addcan 11487. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-addcand.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sn-addcand.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
sn-addcand.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sn-addcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem sn-addcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-addcand.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sn-negex2 43450	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
4		oveq2 7426	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) → (𝑥 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)))
5		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝑥 + 𝐴) = 0)
6	5	oveq1d 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
7		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		sn-addcand.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	addassd 11324	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐵) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐵)))
12		sn-addlid 43435	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
13	10, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
14	6, 11, 13	3eqtr3d 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝑥 + (𝐴 + 𝐵)) = 𝐵)
15	5	oveq1d 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐶) = (0 + 𝐶))
16		sn-addcand.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	7, 8, 17	addassd 11324	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐶) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)))
19		sn-addlid 43435	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (0 + 𝐶) = 𝐶)
20	17, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
21	15, 18, 20	3eqtr3d 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)) = 𝐶)
22	14, 21	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)) ↔ 𝐵 = 𝐶))
23	4, 22	imbitrid 247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
24		oveq2 7426	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))
25	23, 24	impbid1 228	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
26	3, 25	rexlimddv 3170	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193   + caddc 11196

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-2 12398  df-3 12399  df-resub 43397

This theorem is used by:  sn-addrid  43452  sn-addid0  43456  sn-subeu  43458  zaddcomlem  43507  zaddcom  43508