Theorem sn-addcand 39883

Description: addcand 10866 without ax-mulcom 10624. Note how the proof is almost identical to addcan 10847. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-addcand.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sn-addcand.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
sn-addcand.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sn-addcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem sn-addcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-addcand.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sn-negex2 39882	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
4		oveq2 7151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) → (𝑥 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)))
5		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝑥 + 𝐴) = 0)
6	5	oveq1d 7158	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
7		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		sn-addcand.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	addassd 10686	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐵) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐵)))
12		sn-addid2 39869	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
14	6, 11, 13	3eqtr3d 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝑥 + (𝐴 + 𝐵)) = 𝐵)
15	5	oveq1d 7158	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐶) = (0 + 𝐶))
16		sn-addcand.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17	16	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	7, 8, 17	addassd 10686	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐶) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)))
19		sn-addid2 39869	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (0 + 𝐶) = 𝐶)
20	17, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
21	15, 18, 20	3eqtr3d 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)) = 𝐶)
22	14, 21	eqeq12d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)) ↔ 𝐵 = 𝐶))
23	4, 22	syl5ib 247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
24		oveq2 7151	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))
25	23, 24	impbid1 228	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
26	3, 25	rexlimddv 3213	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3069  (class class class)co 7143  ℂcc 10558  0cc0 10560   + caddc 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-op 4522  df-uni 4792  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-id 5423  df-po 5436  df-so 5437  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-ltxr 10703  df-2 11722  df-3 11723  df-resub 39831

This theorem is referenced by:  sn-addid1  39884  sn-addid0  39888  sn-subeu  39890