Theorem sn-addcand 42852

Description: addcand 11349 without ax-mulcom 11102. Note how the proof is almost identical to addcan 11330. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-addcand.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sn-addcand.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
sn-addcand.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sn-addcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem sn-addcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-addcand.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sn-negex2 42851	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
4		oveq2 7375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) → (𝑥 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)))
5		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝑥 + 𝐴) = 0)
6	5	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
7		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		sn-addcand.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	addassd 11167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐵) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐵)))
12		sn-addlid 42836	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
14	6, 11, 13	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝑥 + (𝐴 + 𝐵)) = 𝐵)
15	5	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐶) = (0 + 𝐶))
16		sn-addcand.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	7, 8, 17	addassd 11167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐶) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)))
19		sn-addlid 42836	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (0 + 𝐶) = 𝐶)
20	17, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
21	15, 18, 20	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)) = 𝐶)
22	14, 21	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)) ↔ 𝐵 = 𝐶))
23	4, 22	imbitrid 244	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
24		oveq2 7375	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))
25	23, 24	impbid1 225	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
26	3, 25	rexlimddv 3144	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   + caddc 11041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-2 12244  df-3 12245  df-resub 42798

This theorem is referenced by:  sn-addrid  42853  sn-addid0  42857  sn-subeu  42859  zaddcomlem  42908  zaddcom  42909