Theorem sn-addcand 43239

Description: addcand 11428 without ax-mulcom 11179. Note how the proof is almost identical to addcan 11409. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-addcand.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sn-addcand.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
sn-addcand.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sn-addcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem sn-addcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-addcand.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sn-negex2 43238	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
4		oveq2 7427	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) → (𝑥 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)))
5		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝑥 + 𝐴) = 0)
6	5	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
7		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		sn-addcand.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	addassd 11246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐵) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐵)))
12		sn-addlid 43223	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
13	10, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
14	6, 11, 13	3eqtr3d 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝑥 + (𝐴 + 𝐵)) = 𝐵)
15	5	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐶) = (0 + 𝐶))
16		sn-addcand.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	7, 8, 17	addassd 11246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + 𝐴) + 𝐶) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)))
19		sn-addlid 43223	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (0 + 𝐶) = 𝐶)
20	17, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
21	15, 18, 20	3eqtr3d 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)) = 𝐶)
22	14, 21	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝑥 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝑥 + (𝐴 + 𝐶)) ↔ 𝐵 = 𝐶))
23	4, 22	imbitrid 247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
24		oveq2 7427	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))
25	23, 24	impbid1 228	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝐴) = 0)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
26	3, 25	rexlimddv 3174	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115   + caddc 11118

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263  df-2 12318  df-3 12319  df-resub 43185

This theorem is used by:  sn-addrid  43240  sn-addid0  43244  sn-subeu  43246  zaddcomlem  43295  zaddcom  43296