Theorem sn-ltmulgt11d 43363

Description: ltmulgt11d 13122 without ax-mulcom 11189. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-ltmulgt11d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-ltmulgt11d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
sn-ltmulgt11d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sn-ltmulgt11d	⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐵 · 𝐴)))

Proof of Theorem sn-ltmulgt11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		sn-ltmulgt11d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		sn-ltmulgt11d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		sn-ltmulgt11d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	sn-ltmul2d 43362	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 1) < (𝐵 · 𝐴) ↔ 1 < 𝐴))
6		ax-1rid 11195	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
7	3, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 1) = 𝐵)
8	7	breq1d 5113	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 1) < (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐵 < (𝐵 · 𝐴)))
9	5, 8	bitr3d 284	1 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐵 · 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   · cmul 11130   < clt 11268

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-ltxr 11273  df-2 12328  df-3 12329  df-resub 43242

This theorem is used by:  sn-mulgt1d  43368