Theorem sn-ltmulgt11d 42430

Description: ltmulgt11d 13078 without ax-mulcom 11185. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-ltmulgt11d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-ltmulgt11d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
sn-ltmulgt11d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sn-ltmulgt11d	⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐵 · 𝐴)))

Proof of Theorem sn-ltmulgt11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11228	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		sn-ltmulgt11d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		sn-ltmulgt11d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		sn-ltmulgt11d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	sn-ltmul2d 42429	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 1) < (𝐵 · 𝐴) ↔ 1 < 𝐴))
6		ax-1rid 11191	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 1) = 𝐵)
8	7	breq1d 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 1) < (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐵 < (𝐵 · 𝐴)))
9	5, 8	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐵 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5116  (class class class)co 7399  ℝcr 11120  0cc0 11121  1c1 11122   · cmul 11126   < clt 11261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-2 12295  df-3 12296  df-resub 42334

This theorem is referenced by:  sn-mulgt1d  42433