Theorem sn-mulgt1d 42467

Description: mulgt1d 12119 without ax-mulcom 11132. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-mulgt1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-mulgt1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
sn-mulgt1d.1	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
sn-mulgt1d.2	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sn-mulgt1d	⊢ (𝜑 → 1 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem sn-mulgt1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11175	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		sn-mulgt1d.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		sn-mulgt1d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11204	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		sn-mulgt1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
6		sn-mulgt1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
7		0red 11177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8		sn-0lt1 42463	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
10	7, 1, 2, 9, 5	lttrd 11335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
11	3, 2, 10	sn-ltmulgt11d 42462	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
12	6, 11	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 · 𝐵))
13	1, 2, 4, 5, 12	lttrd 11335	1 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   < clt 11208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-2 12249  df-3 12250  df-resub 42354

This theorem is referenced by: (None)