Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-ltmul2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-ltmul2d 42468
Description: ltmul2d 13117 without ax-mulcom 11217. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sn-ltmul2d.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.1 (𝜑 → 0 < 𝐶)
Assertion
Ref Expression
sn-ltmul2d (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem sn-ltmul2d
StepHypRef Expression
1 sn-ltmul2d.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 sn-ltmul2d.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 sn-ltmul2d.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 rersubcl 42385 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 𝐴) ∈ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 𝐴) ∈ ℝ)
6 sn-ltmul2d.1 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝐶)
71, 5, 6mulgt0b2d 42467 . . 3 (𝜑 → (0 < (𝐵 𝐴) ↔ 0 < (𝐶 · (𝐵 𝐴))))
8 resubdi 42403 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝐵 𝐴)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐴)))
91, 2, 3, 8syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · (𝐵 𝐴)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐴)))
109breq2d 5160 . . 3 (𝜑 → (0 < (𝐶 · (𝐵 𝐴)) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐴))))
117, 10bitr2d 280 . 2 (𝜑 → (0 < ((𝐶 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐴)) ↔ 0 < (𝐵 𝐴)))
121, 3remulcld 11289 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℝ)
131, 2remulcld 11289 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
14 reposdif 42450 . . 3 (((𝐶 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐴))))
1512, 13, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) − (𝐶 · 𝐴))))
16 reposdif 42450 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 𝐴)))
173, 2, 16syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 𝐴)))
1811, 15, 173bitr4d 311 1 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158   < clt 11293   cresub 42372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-2 12327  df-3 12328  df-resub 42373
This theorem is referenced by:  sn-ltmulgt11d  42469
  Copyright terms: Public domain W3C validator