Theorem sn-ltmul2d 43674

Description: ltmul2d 13213 without ax-mulcom 11271. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-ltmul2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sn-ltmul2d	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem sn-ltmul2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-ltmul2d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		sn-ltmul2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		sn-ltmul2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		rersubcl 43566	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
6		sn-ltmul2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
7	1, 5, 6	mulgt0b1d 43673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐵 −ℝ 𝐴) ↔ 0 < (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴))))
8		resubdi 43584	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴)) = ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴)))
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴)) = ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴)))
10	9	breq2d 5114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴)) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴))))
11	7, 10	bitr2d 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴)) ↔ 0 < (𝐵 −ℝ 𝐴)))
12	1, 3	remulcld 11346	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	1, 2	remulcld 11346	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
14		reposdif 43656	. . 3 ⊢ (((𝐶 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴))))
15	12, 13, 14	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴))))
16		reposdif 43656	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 −ℝ 𝐴)))
17	3, 2, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 −ℝ 𝐴)))
18	11, 15, 17	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207   · cmul 11212   < clt 11350   −_ℝ cresub 43553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-2 12412  df-3 12413  df-resub 43554

This theorem is used by:  sn-ltmulgt11d  43675