Theorem sn-ltmul2d 41823

Description: ltmul2d 13055 without ax-mulcom 11170. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-ltmul2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sn-ltmul2d	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem sn-ltmul2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-ltmul2d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		sn-ltmul2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		sn-ltmul2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		rersubcl 41740	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
6		sn-ltmul2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
7	1, 5, 6	mulgt0b2d 41822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐵 −ℝ 𝐴) ↔ 0 < (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴))))
8		resubdi 41758	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴)) = ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴)))
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴)) = ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴)))
10	9	breq2d 5150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴)) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴))))
11	7, 10	bitr2d 280	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴)) ↔ 0 < (𝐵 −ℝ 𝐴)))
12	1, 3	remulcld 11241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	1, 2	remulcld 11241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
14		reposdif 41805	. . 3 ⊢ (((𝐶 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴))))
15	12, 13, 14	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴))))
16		reposdif 41805	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 −ℝ 𝐴)))
17	3, 2, 16	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 −ℝ 𝐴)))
18	11, 15, 17	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℝcr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111   < clt 11245   −_ℝ cresub 41727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-2 12272  df-3 12273  df-resub 41728

This theorem is referenced by: (None)