Theorem sn-ltmul2d 42471

Description: ltmul2d 13098 without ax-mulcom 11198. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-ltmul2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sn-ltmul2d	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem sn-ltmul2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-ltmul2d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		sn-ltmul2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		sn-ltmul2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		rersubcl 42388	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
6		sn-ltmul2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
7	1, 5, 6	mulgt0b2d 42470	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐵 −ℝ 𝐴) ↔ 0 < (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴))))
8		resubdi 42406	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴)) = ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴)))
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴)) = ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴)))
10	9	breq2d 5136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴)) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴))))
11	7, 10	bitr2d 280	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴)) ↔ 0 < (𝐵 −ℝ 𝐴)))
12	1, 3	remulcld 11270	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	1, 2	remulcld 11270	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
14		reposdif 42453	. . 3 ⊢ (((𝐶 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴))))
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴))))
16		reposdif 42453	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 −ℝ 𝐴)))
17	3, 2, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 −ℝ 𝐴)))
18	11, 15, 17	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134   · cmul 11139   < clt 11274   −_ℝ cresub 42375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-2 12308  df-3 12309  df-resub 42376

This theorem is referenced by:  sn-ltmulgt11d  42472