Theorem sn-ltmul2d 43803

Description: ltmul2d 13246 without ax-mulcom 11303. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-ltmul2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
sn-ltmul2d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sn-ltmul2d	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem sn-ltmul2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-ltmul2d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		sn-ltmul2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		sn-ltmul2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		rersubcl 43695	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
6		sn-ltmul2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
7	1, 5, 6	mulgt0b1d 43802	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐵 −ℝ 𝐴) ↔ 0 < (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴))))
8		resubdi 43713	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴)) = ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴)))
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴)) = ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴)))
10	9	breq2d 5120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐶 · (𝐵 −ℝ 𝐴)) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴))))
11	7, 10	bitr2d 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴)) ↔ 0 < (𝐵 −ℝ 𝐴)))
12	1, 3	remulcld 11378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	1, 2	remulcld 11378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
14		reposdif 43785	. . 3 ⊢ (((𝐶 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴))))
15	12, 13, 14	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 0 < ((𝐶 · 𝐵) −ℝ (𝐶 · 𝐴))))
16		reposdif 43785	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 −ℝ 𝐴)))
17	3, 2, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 −ℝ 𝐴)))
18	11, 15, 17	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239   · cmul 11244   < clt 11382   −_ℝ cresub 43682

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-2 12445  df-3 12446  df-resub 43683

This theorem is used by:  sn-ltmulgt11d  43804