Theorem sn-negex2 41073

Description: Proof of cnegex2 11378 without ax-mulcom 11156. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-negex2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑏 + 𝐴) = 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑏

Proof of Theorem sn-negex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-negex12 41071	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))
2		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) → (𝑏 + 𝐴) = 0)
3	2	reximi 3083	. 2 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) → ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑏 + 𝐴) = 0)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑏 + 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3069  (class class class)co 7393  ℂcc 11090  0cc0 11092   + caddc 11095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-2 12257  df-3 12258  df-resub 41021

This theorem is referenced by:  sn-addcand  41074  sn-addrid  41075