Theorem stlei 30889

Description: Ordering law for states. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
stle.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
stle.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stlei	⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑆‘𝐴) ≤ (𝑆‘𝐵)))

Proof of Theorem stlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stle.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
2	1	chshii 29876	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3		shococss 29943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))
5		sstr2 3942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)) → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
6	4, 5	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
7		stle.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	1	choccli 29956	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
9	7, 8	pm3.2i 472	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
10	6, 9	jctil 521	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
11		stj 30884	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐵)))))
12	10, 11	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐵)))))
13	12	imp 408	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ States ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))))
14	7, 8	chjcli 30106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ
15		stle1 30874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ≤ 1))
16	14, 15	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ≤ 1)
17	1	sto1i 30885	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐵) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))) = 1)
18	16, 17	breqtrrd 5124	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ≤ ((𝑆‘𝐵) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))))
19	18	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ States ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ≤ ((𝑆‘𝐵) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))))
20	13, 19	eqbrtrrd 5120	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ States ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))) ≤ ((𝑆‘𝐵) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))))
21		stcl 30865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ))
22	7, 21	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ)
23		stcl 30865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐵 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐵) ∈ ℝ))
24	1, 23	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐵) ∈ ℝ)
25		stcl 30865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ))
26	8, 25	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ)
27	22, 24, 26	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ))
28	27	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ States ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑆‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ))
29		leadd1 11548	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑆‘𝐴) ≤ (𝑆‘𝐵) ↔ ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))) ≤ ((𝑆‘𝐵) + (𝑆‘(⊥‘𝐵)))))
30	28, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ States ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑆‘𝐴) ≤ (𝑆‘𝐵) ↔ ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))) ≤ ((𝑆‘𝐵) + (𝑆‘(⊥‘𝐵)))))
31	20, 30	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ States ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑆‘𝐴) ≤ (𝑆‘𝐵))
32	31	ex 414	1 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑆‘𝐴) ≤ (𝑆‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5096  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  ℝcr 10975  1c1 10977   + caddc 10979   ≤ cle 11115   S_ℋ csh 29577   C_ℋ cch 29578  ⊥cort 29579   ∨_ℋ chj 29582  Statescst 29611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054  ax-addf 11055  ax-mulf 11056  ax-hilex 29648  ax-hfvadd 29649  ax-hvcom 29650  ax-hvass 29651  ax-hv0cl 29652  ax-hvaddid 29653  ax-hfvmul 29654  ax-hvmulid 29655  ax-hvmulass 29656  ax-hvdistr1 29657  ax-hvdistr2 29658  ax-hvmul0 29659  ax-hfi 29728  ax-his1 29731  ax-his2 29732  ax-his3 29733  ax-his4 29734  ax-hcompl 29851

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-supp 8052  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-2o 8372  df-er 8573  df-map 8692  df-pm 8693  df-ixp 8761  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-fsupp 9231  df-fi 9272  df-sup 9303  df-inf 9304  df-oi 9371  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-n0 12339  df-z 12425  df-dec 12543  df-uz 12688  df-q 12794  df-rp 12836  df-xneg 12953  df-xadd 12954  df-xmul 12955  df-ioo 13188  df-icc 13191  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-seq 13827  df-exp 13888  df-hash 14150  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20694  df-xmet 20695  df-met 20696  df-bl 20697  df-mopn 20698  df-cnfld 20703  df-top 22148  df-topon 22165  df-topsp 22187  df-bases 22201  df-cn 22483  df-cnp 22484  df-lm 22485  df-haus 22571  df-tx 22818  df-hmeo 23011  df-xms 23578  df-ms 23579  df-tms 23580  df-cau 24525  df-grpo 29142  df-gid 29143  df-ginv 29144  df-gdiv 29145  df-ablo 29194  df-vc 29208  df-nv 29241  df-va 29244  df-ba 29245  df-sm 29246  df-0v 29247  df-vs 29248  df-nmcv 29249  df-ims 29250  df-dip 29350  df-hnorm 29617  df-hvsub 29620  df-hlim 29621  df-hcau 29622  df-sh 29856  df-ch 29870  df-oc 29901  df-ch0 29902  df-chj 29959  df-st 30860

This theorem is referenced by:  stlesi  30890  stm1i  30892