Theorem stlei 32063

Description: Ordering law for states. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
stle.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
stle.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stlei	⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑆‘𝐴) ≤ (𝑆‘𝐵)))

Proof of Theorem stlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stle.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31050	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3		shococss 31117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))
5		sstr2 3987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)) → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
6	4, 5	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
7		stle.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	1	choccli 31130	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
9	7, 8	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
10	6, 9	jctil 519	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
11		stj 32058	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐵)))))
12	10, 11	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐵)))))
13	12	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ States ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))))
14	7, 8	chjcli 31280	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ
15		stle1 32048	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ≤ 1))
16	14, 15	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ≤ 1)
17	1	sto1i 32059	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐵) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))) = 1)
18	16, 17	breqtrrd 5176	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ≤ ((𝑆‘𝐵) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ States ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ≤ ((𝑆‘𝐵) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))))
20	13, 19	eqbrtrrd 5172	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ States ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))) ≤ ((𝑆‘𝐵) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))))
21		stcl 32039	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ))
22	7, 21	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ)
23		stcl 32039	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐵 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐵) ∈ ℝ))
24	1, 23	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐵) ∈ ℝ)
25		stcl 32039	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ))
26	8, 25	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ)
27	22, 24, 26	3jca 1126	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ))
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ States ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑆‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ))
29		leadd1 11713	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑆‘𝐴) ≤ (𝑆‘𝐵) ↔ ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))) ≤ ((𝑆‘𝐵) + (𝑆‘(⊥‘𝐵)))))
30	28, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ States ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑆‘𝐴) ≤ (𝑆‘𝐵) ↔ ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐵))) ≤ ((𝑆‘𝐵) + (𝑆‘(⊥‘𝐵)))))
31	20, 30	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ States ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑆‘𝐴) ≤ (𝑆‘𝐵))
32	31	ex 412	1 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑆‘𝐴) ≤ (𝑆‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  1c1 11140   + caddc 11142   ≤ cle 11280   S_ℋ csh 30751   C_ℋ cch 30752  ⊥cort 30753   ∨_ℋ chj 30756  Statescst 30785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219  ax-hilex 30822  ax-hfvadd 30823  ax-hvcom 30824  ax-hvass 30825  ax-hv0cl 30826  ax-hvaddid 30827  ax-hfvmul 30828  ax-hvmulid 30829  ax-hvmulass 30830  ax-hvdistr1 30831  ax-hvdistr2 30832  ax-hvmul0 30833  ax-hfi 30902  ax-his1 30905  ax-his2 30906  ax-his3 30907  ax-his4 30908  ax-hcompl 31025

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-lm 23146  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cau 25197  df-grpo 30316  df-gid 30317  df-ginv 30318  df-gdiv 30319  df-ablo 30368  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-ba 30419  df-sm 30420  df-0v 30421  df-vs 30422  df-nmcv 30423  df-ims 30424  df-dip 30524  df-hnorm 30791  df-hvsub 30794  df-hlim 30795  df-hcau 30796  df-sh 31030  df-ch 31044  df-oc 31075  df-ch0 31076  df-chj 31133  df-st 32034

This theorem is referenced by:  stlesi  32064  stm1i  32066