Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem33 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem33 45988
Description: If a set of real functions from a common domain is closed under addition, multiplication and it contains constants, then it is closed under subtraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem33.1 𝑡𝐹
stoweidlem33.2 𝑡𝐺
stoweidlem33.3 𝑡𝜑
stoweidlem33.4 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem33.5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem33.6 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem33.7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem33 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡))) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑥,𝑡,𝐴   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐹(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem33
StepHypRef Expression
1 stoweidlem33.3 . 2 𝑡𝜑
2 stoweidlem33.1 . 2 𝑡𝐹
3 stoweidlem33.2 . 2 𝑡𝐺
4 eqid 2734 . 2 (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡)))
5 eqid 2734 . 2 (𝑡𝑇 ↦ -1) = (𝑡𝑇 ↦ -1)
6 eqid 2734 . 2 (𝑡𝑇 ↦ (((𝑡𝑇 ↦ -1)‘𝑡) · (𝐺𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ (((𝑡𝑇 ↦ -1)‘𝑡) · (𝐺𝑡)))
7 stoweidlem33.4 . 2 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
8 stoweidlem33.5 . 2 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
9 stoweidlem33.6 . 2 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
10 stoweidlem33.7 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10stoweidlem22 45977 1 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡))) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wnf 1779  wcel 2105  wnfc 2887  cmpt 5230  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489  -cneg 11490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492
This theorem is referenced by:  stoweidlem40  45995  stoweidlem41  45996
  Copyright terms: Public domain W3C validator