Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem33 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem33 46048
Description: If a set of real functions from a common domain is closed under addition, multiplication and it contains constants, then it is closed under subtraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem33.1 𝑡𝐹
stoweidlem33.2 𝑡𝐺
stoweidlem33.3 𝑡𝜑
stoweidlem33.4 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem33.5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem33.6 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem33.7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem33 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡))) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑥,𝑡,𝐴   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐹(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem33
StepHypRef Expression
1 stoweidlem33.3 . 2 𝑡𝜑
2 stoweidlem33.1 . 2 𝑡𝐹
3 stoweidlem33.2 . 2 𝑡𝐺
4 eqid 2737 . 2 (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡)))
5 eqid 2737 . 2 (𝑡𝑇 ↦ -1) = (𝑡𝑇 ↦ -1)
6 eqid 2737 . 2 (𝑡𝑇 ↦ (((𝑡𝑇 ↦ -1)‘𝑡) · (𝐺𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ (((𝑡𝑇 ↦ -1)‘𝑡) · (𝐺𝑡)))
7 stoweidlem33.4 . 2 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
8 stoweidlem33.5 . 2 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
9 stoweidlem33.6 . 2 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
10 stoweidlem33.7 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10stoweidlem22 46037 1 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡))) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087  wnf 1783  wcel 2108  wnfc 2890  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495
This theorem is referenced by:  stoweidlem40  46055  stoweidlem41  46056
  Copyright terms: Public domain W3C validator