Theorem stoweidlem33 46024

Description: If a set of real functions from a common domain is closed under addition, multiplication and it contains constants, then it is closed under subtraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem33.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem33.2	⊢ Ⅎ𝑡𝐺
stoweidlem33.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem33.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem33.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem33.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem33.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem33	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐺‘𝑡))) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑥,𝑡,𝐴   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐹(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem33

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem33.3	. 2 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
2		stoweidlem33.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
3		stoweidlem33.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑡𝐺
4		eqid 2729	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐺‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐺‘𝑡)))
5		eqid 2729	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ -1) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ -1)
6		eqid 2729	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ -1)‘𝑡) · (𝐺‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ -1)‘𝑡) · (𝐺‘𝑡)))
7		stoweidlem33.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
8		stoweidlem33.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
9		stoweidlem33.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
10		stoweidlem33.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	stoweidlem22 46013	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐺‘𝑡))) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  -cneg 11382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  stoweidlem40  46031  stoweidlem41  46032