Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem41 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem41 44757
Description: This lemma is used to prove that there exists x as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 <= x(t) <= 1 for all t in T, x(t) < epsilon for all t in V, x(t) > 1 - epsilon for all t in T \ U. Here we prove the very last step of the proof of Lemma 1: "The result follows from taking x = 1 - qn";. Here 𝐸 is used to represent Ξ΅ in the paper, and 𝑦 to represent qn in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem41.1 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem41.2 𝑋 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)))
stoweidlem41.3 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1)
stoweidlem41.4 𝑉 βŠ† 𝑇
stoweidlem41.5 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
stoweidlem41.6 (πœ‘ β†’ 𝑦:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem41.7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem41.8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem41.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem41.10 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑀) ∈ 𝐴)
stoweidlem41.11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem41.12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1))
stoweidlem41.13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘¦β€˜π‘‘))
stoweidlem41.14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem41 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝑦   𝐴,𝑓,𝑔,𝑑   𝑓,𝐹,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑀,𝑑,𝐴   π‘₯,𝑑,𝐴   𝑀,𝑇   πœ‘,𝑀   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑑)   𝐴(𝑦)   𝑇(𝑦)   π‘ˆ(𝑦,𝑀,𝑑,𝑓,𝑔)   𝐸(𝑦,𝑀,𝑑,𝑓,𝑔)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑑)   𝑉(𝑦,𝑀,𝑑,𝑓,𝑔)   𝑋(𝑦,𝑀,𝑑,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem41
StepHypRef Expression
1 stoweidlem41.1 . . . . 5 β„²π‘‘πœ‘
2 1re 11214 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 stoweidlem41.3 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1)
43fvmpt2 7010 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = 1)
52, 4mpan2 690 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = 1)
65adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = 1)
76oveq1d 7424 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)) = (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)))
81, 7mpteq2da 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘))))
9 stoweidlem41.2 . . . 4 𝑋 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)))
108, 9eqtr4di 2791 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘))) = 𝑋)
11 stoweidlem41.10 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑀) ∈ 𝐴)
1211stoweidlem4 44720 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
132, 12mpan2 690 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
143, 13eqeltrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
15 stoweidlem41.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
16 nfmpt1 5257 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1)
173, 16nfcxfr 2902 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐹
18 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝑦
19 stoweidlem41.7 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
20 stoweidlem41.8 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
21 stoweidlem41.9 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
2217, 18, 1, 19, 20, 21, 11stoweidlem33 44749 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
2314, 15, 22mpd3an23 1464 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
2410, 23eqeltrrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
25 stoweidlem41.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑦:π‘‡βŸΆβ„)
2625ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘¦β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
27 1red 11215 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ ℝ)
28 0red 11217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ∈ ℝ)
29 stoweidlem41.12 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1))
3029r19.21bi 3249 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1))
3130simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1)
32 1m0e1 12333 . . . . . . . 8 (1 βˆ’ 0) = 1
3331, 32breqtrrdi 5191 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ (1 βˆ’ 0))
3426, 27, 28, 33lesubd 11818 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)))
35 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
3627, 26resubcld 11642 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
379fvmpt2 7010 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)) ∈ ℝ) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)))
3835, 36, 37syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)))
3934, 38breqtrrd 5177 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘))
4030simpld 496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘))
4128, 26, 27, 40lesub2dd 11831 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)) ≀ (1 βˆ’ 0))
4241, 32breqtrdi 5190 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)) ≀ 1)
4338, 42eqbrtrd 5171 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1)
4439, 43jca 513 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1))
4544ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1)))
461, 45ralrimi 3255 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1))
47 stoweidlem41.4 . . . . . . 7 𝑉 βŠ† 𝑇
4847sseli 3979 . . . . . 6 (𝑑 ∈ 𝑉 β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
4948, 38sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)))
50 1red 11215 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 1 ∈ ℝ)
51 stoweidlem41.11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
5251rpred 13016 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
5352adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
5448, 26sylan2 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘¦β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
55 stoweidlem41.13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘¦β€˜π‘‘))
5655r19.21bi 3249 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘¦β€˜π‘‘))
5750, 53, 54, 56ltsub23d 11819 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)) < 𝐸)
5849, 57eqbrtrd 5171 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸)
5958ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑉 β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸))
601, 59ralrimi 3255 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸)
61 eldifi 4127 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
6261, 26sylan2 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘¦β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
6352adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
64 1red 11215 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ 1 ∈ ℝ)
65 stoweidlem41.14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝐸)
6665r19.21bi 3249 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘¦β€˜π‘‘) < 𝐸)
6762, 63, 64, 66ltsub2dd 11827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)))
6861, 38sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)))
6967, 68breqtrrd 5177 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘))
7069ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘)))
711, 70ralrimi 3255 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘))
72 nfmpt1 5257 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)))
739, 72nfcxfr 2902 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑋
7473nfeq2 2921 . . . . 5 Ⅎ𝑑 π‘₯ = 𝑋
75 fveq1 6891 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯β€˜π‘‘) = (π‘‹β€˜π‘‘))
7675breq2d 5161 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘)))
7775breq1d 5159 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1))
7876, 77anbi12d 632 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1)))
7974, 78ralbid 3271 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1)))
8075breq1d 5159 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ↔ (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸))
8174, 80ralbid 3271 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸))
8275breq2d 5161 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘) ↔ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘)))
8374, 82ralbid 3271 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘)))
8479, 81, 833anbi123d 1437 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)) ↔ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘))))
8584rspcev 3613 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘‹β€˜π‘‘) ∧ (π‘‹β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘‹β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝐸) < (π‘‹β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
8624, 46, 60, 71, 85syl13anc 1373 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„+crp 12974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-rp 12975
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  44768
  Copyright terms: Public domain W3C validator