Theorem stoweidlem32 46766

Description: If a set A of real functions from a common domain T is a subalgebra and it contains constants, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G and finally scaled by a real Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem32.1	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem32.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem32.3	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
stoweidlem32.4	⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
stoweidlem32.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem32.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
stoweidlem32.7	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝐴)
stoweidlem32.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem32	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑖,𝑡,𝐺   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑖,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑖   𝑔,𝐻   𝑖,𝑀,𝑡   𝑡,𝑌,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem32

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem32.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
2		stoweidlem32.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
3		stoweidlem32.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
4		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
5	4	sumeq2sdv 15750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
6	5	cbvmptv 5215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)) = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
7	3, 6	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
8		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
9	8	sumeq2sdv 15750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
10		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
11		fzfid 14005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
12		simpl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝜑)
13		stoweidlem32.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝐴)
14	13	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴)
15		eleq1 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴))
16	15	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴)))
17		feq1 6683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
18	16, 17	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)))
19		stoweidlem32.11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
20	18, 19	vtoclg 3522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
21	14, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
22	12, 14, 21	mp2and 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
23	22	adantlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
24		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
25	23, 24	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
26	11, 25	fsumrecl 15781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
27	7, 9, 10, 26	fvmptd3 7013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
28	27, 26	eqeltrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
30		stoweidlem32.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
31		eqidd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → 𝑌 = 𝑌)
32	31	cbvmptv 5215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
33	30, 32	eqtr4i 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
34		stoweidlem32.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
35	34	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑌 ∈ ℝ)
36	33, 31, 10, 35	fvmptd3 7013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) = 𝑌)
37	36, 35	eqeltrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) ∈ ℂ)
39	29, 38	mulcomd 11225	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡)) = ((𝐻‘𝑡) · (𝐹‘𝑡)))
40	36, 27	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐻‘𝑡) · (𝐹‘𝑡)) = (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
41	39, 40	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡)))
42	2, 41	mpteq2da 5203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))))
43	1, 42	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))))
44		stoweidlem32.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
45		stoweidlem32.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
46	2, 3, 44, 13, 45, 19	stoweidlem20 46754	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
47		stoweidlem32.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
48	47	stoweidlem4 46738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) ∈ 𝐴)
49	34, 48	mpdan 699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) ∈ 𝐴)
50	30, 49	eqeltrid 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐴)
51		nfmpt1 5210	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
52	3, 51	nfcxfr 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
53	52	nfeq2 2942	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑓 = 𝐹
54		nfmpt1 5210	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
55	30, 54	nfcxfr 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝐻
56	55	nfeq2 2942	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑔 = 𝐻
57		stoweidlem32.9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
58	53, 56, 57	stoweidlem6 46740	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))) ∈ 𝐴)
59	46, 50, 58	mpd3an23 1492	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))) ∈ 𝐴)
60	43, 59	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  ℕcn 12228  ...cfz 13530  Σcsu 15733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734

This theorem is referenced by:  stoweidlem44  46778