Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem32 44734
Description: If a set A of real functions from a common domain T is a subalgebra and it contains constants, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G and finally scaled by a real Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem32.1 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem32.2 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem32.3 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
stoweidlem32.4 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
stoweidlem32.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem32.6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
stoweidlem32.7 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)⟢𝐴)
stoweidlem32.8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem32 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑖,𝑑,𝐺   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑖,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔,𝑖   𝑔,𝐻   𝑖,𝑀,𝑑   𝑑,π‘Œ,π‘₯   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘Œ   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐴(𝑑,𝑖)   𝑃(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(π‘₯,𝑑,𝑖)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑖)   𝑀(π‘₯,𝑓,𝑔)   π‘Œ(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem32
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem32.2 . . 3 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
2 stoweidlem32.1 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
3 stoweidlem32.3 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
4 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
54sumeq2sdv 15646 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑠 β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
65cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
73, 6eqtri 2760 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
8 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
98sumeq2sdv 15646 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑑 β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
10 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
11 fzfid 13934 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
12 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ πœ‘)
13 stoweidlem32.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)⟢𝐴)
1413ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)
15 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴))
1615anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)))
17 feq1 6695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
1816, 17imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)))
19 stoweidlem32.11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
2018, 19vtoclg 3556 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
2114, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
2212, 14, 21mp2and 697 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
2322adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
24 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
2523, 24ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
2611, 25fsumrecl 15676 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
277, 9, 10, 26fvmptd3 7018 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
2827, 26eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
2928recnd 11238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
30 stoweidlem32.4 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
31 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑑 β†’ π‘Œ = π‘Œ)
3231cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
3330, 32eqtr4i 2763 . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
34 stoweidlem32.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
3534adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
3633, 31, 10, 35fvmptd3 7018 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) = π‘Œ)
3736, 35eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
3837recnd 11238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
3929, 38mulcomd 11231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘)) = ((π»β€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
4036, 27oveq12d 7423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π»β€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)) = (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
4139, 40eqtr2d 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘)))
422, 41mpteq2da 5245 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))))
431, 42eqtrid 2784 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))))
44 stoweidlem32.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
45 stoweidlem32.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
462, 3, 44, 13, 45, 19stoweidlem20 44722 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
47 stoweidlem32.10 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
4847stoweidlem4 44706 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ) ∈ 𝐴)
4934, 48mpdan 685 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ) ∈ 𝐴)
5030, 49eqeltrid 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
51 nfmpt1 5255 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
523, 51nfcxfr 2901 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐹
5352nfeq2 2920 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝑓 = 𝐹
54 nfmpt1 5255 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
5530, 54nfcxfr 2901 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐻
5655nfeq2 2920 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝑔 = 𝐻
57 stoweidlem32.9 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
5853, 56, 57stoweidlem6 44708 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
5946, 50, 58mpd3an23 1463 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
6043, 59eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  β„•cn 12208  ...cfz 13480  Ξ£csu 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  stoweidlem44  44746
  Copyright terms: Public domain W3C validator