Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem32 45333
Description: If a set A of real functions from a common domain T is a subalgebra and it contains constants, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G and finally scaled by a real Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem32.1 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem32.2 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem32.3 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
stoweidlem32.4 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
stoweidlem32.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem32.6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
stoweidlem32.7 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)⟢𝐴)
stoweidlem32.8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem32 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑖,𝑑,𝐺   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑖,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔,𝑖   𝑔,𝐻   𝑖,𝑀,𝑑   𝑑,π‘Œ,π‘₯   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘Œ   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐴(𝑑,𝑖)   𝑃(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(π‘₯,𝑑,𝑖)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑖)   𝑀(π‘₯,𝑓,𝑔)   π‘Œ(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem32
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem32.2 . . 3 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
2 stoweidlem32.1 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
3 stoweidlem32.3 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
4 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
54sumeq2sdv 15668 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑠 β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
65cbvmptv 5255 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
73, 6eqtri 2755 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
8 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
98sumeq2sdv 15668 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑑 β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
10 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
11 fzfid 13956 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
12 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ πœ‘)
13 stoweidlem32.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)⟢𝐴)
1413ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)
15 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴))
1615anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)))
17 feq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
1816, 17imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)))
19 stoweidlem32.11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
2018, 19vtoclg 3538 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
2114, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
2212, 14, 21mp2and 698 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
2322adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
24 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
2523, 24ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
2611, 25fsumrecl 15698 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
277, 9, 10, 26fvmptd3 7022 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
2827, 26eqeltrd 2828 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
2928recnd 11258 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
30 stoweidlem32.4 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
31 eqidd 2728 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑑 β†’ π‘Œ = π‘Œ)
3231cbvmptv 5255 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
3330, 32eqtr4i 2758 . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
34 stoweidlem32.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
3534adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
3633, 31, 10, 35fvmptd3 7022 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) = π‘Œ)
3736, 35eqeltrd 2828 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
3837recnd 11258 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
3929, 38mulcomd 11251 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘)) = ((π»β€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
4036, 27oveq12d 7432 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π»β€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)) = (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
4139, 40eqtr2d 2768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘)))
422, 41mpteq2da 5240 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))))
431, 42eqtrid 2779 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))))
44 stoweidlem32.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
45 stoweidlem32.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
462, 3, 44, 13, 45, 19stoweidlem20 45321 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
47 stoweidlem32.10 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
4847stoweidlem4 45305 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ) ∈ 𝐴)
4934, 48mpdan 686 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ) ∈ 𝐴)
5030, 49eqeltrid 2832 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
51 nfmpt1 5250 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
523, 51nfcxfr 2896 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐹
5352nfeq2 2915 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝑓 = 𝐹
54 nfmpt1 5250 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
5530, 54nfcxfr 2896 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐻
5655nfeq2 2915 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝑔 = 𝐻
57 stoweidlem32.9 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
5853, 56, 57stoweidlem6 45307 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
5946, 50, 58mpd3an23 1460 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
6043, 59eqeltrd 2828 1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  β„²wnf 1778   ∈ wcel 2099   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129  β„•cn 12228  ...cfz 13502  Ξ£csu 15650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651
This theorem is referenced by:  stoweidlem44  45345
  Copyright terms: Public domain W3C validator