Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem32 45653
Description: If a set A of real functions from a common domain T is a subalgebra and it contains constants, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G and finally scaled by a real Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem32.1 𝑡𝜑
stoweidlem32.2 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem32.3 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡))
stoweidlem32.4 𝐻 = (𝑡𝑇𝑌)
stoweidlem32.5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem32.6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
stoweidlem32.7 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝐴)
stoweidlem32.8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.11 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem32 (𝜑𝑃𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑖,𝑡,𝐺   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑖,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑖   𝑔,𝐻   𝑖,𝑀,𝑡   𝑡,𝑌,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem32
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem32.2 . . 3 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
2 stoweidlem32.1 . . . 4 𝑡𝜑
3 stoweidlem32.3 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡))
4 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐺𝑖)‘𝑡) = ((𝐺𝑖)‘𝑠))
54sumeq2sdv 15708 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑠 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠))
65cbvmptv 5266 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)) = (𝑠𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠))
73, 6eqtri 2754 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑠𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠))
8 fveq2 6901 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑡 → ((𝐺𝑖)‘𝑠) = ((𝐺𝑖)‘𝑡))
98sumeq2sdv 15708 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑡 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡))
10 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
11 fzfid 13993 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
12 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝜑)
13 stoweidlem32.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝐴)
1413ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑖) ∈ 𝐴)
15 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝐺𝑖) → (𝑓𝐴 ↔ (𝐺𝑖) ∈ 𝐴))
1615anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝐺𝑖) → ((𝜑𝑓𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝐺𝑖) ∈ 𝐴)))
17 feq1 6709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝐺𝑖) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐺𝑖):𝑇⟶ℝ))
1816, 17imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝐺𝑖) → (((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐺𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺𝑖):𝑇⟶ℝ)))
19 stoweidlem32.11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
2018, 19vtoclg 3534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑖) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐺𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺𝑖):𝑇⟶ℝ))
2114, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝜑 ∧ (𝐺𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺𝑖):𝑇⟶ℝ))
2212, 14, 21mp2and 697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑖):𝑇⟶ℝ)
2322adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑖):𝑇⟶ℝ)
24 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑡𝑇)
2523, 24ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
2611, 25fsumrecl 15738 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
277, 9, 10, 26fvmptd3 7032 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡))
2827, 26eqeltrd 2826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
2928recnd 11292 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
30 stoweidlem32.4 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑡𝑇𝑌)
31 eqidd 2727 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑡𝑌 = 𝑌)
3231cbvmptv 5266 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝑇𝑌) = (𝑡𝑇𝑌)
3330, 32eqtr4i 2757 . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑠𝑇𝑌)
34 stoweidlem32.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3534adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑌 ∈ ℝ)
3633, 31, 10, 35fvmptd3 7032 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) = 𝑌)
3736, 35eqeltrd 2826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ∈ ℝ)
3837recnd 11292 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ∈ ℂ)
3929, 38mulcomd 11285 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) · (𝐻𝑡)) = ((𝐻𝑡) · (𝐹𝑡)))
4036, 27oveq12d 7442 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐻𝑡) · (𝐹𝑡)) = (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
4139, 40eqtr2d 2767 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)) = ((𝐹𝑡) · (𝐻𝑡)))
422, 41mpteq2da 5251 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐻𝑡))))
431, 42eqtrid 2778 . 2 (𝜑𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐻𝑡))))
44 stoweidlem32.5 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
45 stoweidlem32.8 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
462, 3, 44, 13, 45, 19stoweidlem20 45641 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
47 stoweidlem32.10 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
4847stoweidlem4 45625 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑌) ∈ 𝐴)
4934, 48mpdan 685 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇𝑌) ∈ 𝐴)
5030, 49eqeltrid 2830 . . 3 (𝜑𝐻𝐴)
51 nfmpt1 5261 . . . . . 6 𝑡(𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡))
523, 51nfcxfr 2890 . . . . 5 𝑡𝐹
5352nfeq2 2910 . . . 4 𝑡 𝑓 = 𝐹
54 nfmpt1 5261 . . . . . 6 𝑡(𝑡𝑇𝑌)
5530, 54nfcxfr 2890 . . . . 5 𝑡𝐻
5655nfeq2 2910 . . . 4 𝑡 𝑔 = 𝐻
57 stoweidlem32.9 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
5853, 56, 57stoweidlem6 45627 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴𝐻𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐻𝑡))) ∈ 𝐴)
5946, 50, 58mpd3an23 1460 . 2 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐻𝑡))) ∈ 𝐴)
6043, 59eqeltrd 2826 1 (𝜑𝑃𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  cmpt 5236  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cr 11157  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163  cn 12264  ...cfz 13538  Σcsu 15690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691
This theorem is referenced by:  stoweidlem44  45665
  Copyright terms: Public domain W3C validator