Theorem stoweidlem32 42337

Description: If a set A of real functions from a common domain T is a subalgebra and it contains constants, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G and finally scaled by a real Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem32.1	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem32.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem32.3	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
stoweidlem32.4	⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
stoweidlem32.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem32.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
stoweidlem32.7	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝐴)
stoweidlem32.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem32	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑖,𝑡,𝐺   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑖,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑖   𝑔,𝐻   𝑖,𝑀,𝑡   𝑡,𝑌,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem32

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem32.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
2		stoweidlem32.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
3		stoweidlem32.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
4		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
5	4	sumeq2sdv 15061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
6	5	cbvmptv 5169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)) = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
7	3, 6	eqtri 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
8		fveq2 6670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
9	8	sumeq2sdv 15061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
10		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
11		fzfid 13342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
12		simpl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝜑)
13		stoweidlem32.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝐴)
14	13	ffvelrnda 6851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴)
15		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴))
16	15	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴)))
17		feq1 6495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
18	16, 17	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)))
19		stoweidlem32.11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
20	18, 19	vtoclg 3567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
22	12, 14, 21	mp2and 697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
23	22	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
24		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
25	23, 24	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
26	11, 25	fsumrecl 15091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
27	7, 9, 10, 26	fvmptd3 6791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
28	27, 26	eqeltrd 2913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10669	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
30		stoweidlem32.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
31		eqidd 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → 𝑌 = 𝑌)
32	31	cbvmptv 5169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
33	30, 32	eqtr4i 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
34		stoweidlem32.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
35	34	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑌 ∈ ℝ)
36	33, 31, 10, 35	fvmptd3 6791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) = 𝑌)
37	36, 35	eqeltrd 2913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) ∈ ℝ)
38	37	recnd 10669	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) ∈ ℂ)
39	29, 38	mulcomd 10662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡)) = ((𝐻‘𝑡) · (𝐹‘𝑡)))
40	36, 27	oveq12d 7174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐻‘𝑡) · (𝐹‘𝑡)) = (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
41	39, 40	eqtr2d 2857	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡)))
42	2, 41	mpteq2da 5160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))))
43	1, 42	syl5eq 2868	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))))
44		stoweidlem32.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
45		stoweidlem32.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
46	2, 3, 44, 13, 45, 19	stoweidlem20 42325	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
47		stoweidlem32.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
48	47	stoweidlem4 42309	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) ∈ 𝐴)
49	34, 48	mpdan 685	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) ∈ 𝐴)
50	30, 49	eqeltrid 2917	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐴)
51		nfmpt1 5164	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
52	3, 51	nfcxfr 2975	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
53	52	nfeq2 2995	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑓 = 𝐹
54		nfmpt1 5164	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
55	30, 54	nfcxfr 2975	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝐻
56	55	nfeq2 2995	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑔 = 𝐻
57		stoweidlem32.9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
58	53, 56, 57	stoweidlem6 42311	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))) ∈ 𝐴)
59	46, 50, 58	mpd3an23 1459	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))) ∈ 𝐴)
60	43, 59	eqeltrd 2913	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5146  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  ℕcn 11638  ...cfz 12893  Σcsu 15042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043

This theorem is referenced by:  stoweidlem44  42349