Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem32 44359
Description: If a set A of real functions from a common domain T is a subalgebra and it contains constants, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G and finally scaled by a real Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem32.1 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem32.2 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem32.3 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
stoweidlem32.4 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
stoweidlem32.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem32.6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
stoweidlem32.7 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)⟢𝐴)
stoweidlem32.8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem32 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑖,𝑑,𝐺   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑖,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔,𝑖   𝑔,𝐻   𝑖,𝑀,𝑑   𝑑,π‘Œ,π‘₯   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘Œ   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐴(𝑑,𝑖)   𝑃(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(π‘₯,𝑑,𝑖)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑖)   𝑀(π‘₯,𝑓,𝑔)   π‘Œ(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem32
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem32.2 . . 3 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
2 stoweidlem32.1 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
3 stoweidlem32.3 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
4 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
54sumeq2sdv 15594 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑠 β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
65cbvmptv 5219 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
73, 6eqtri 2761 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
8 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
98sumeq2sdv 15594 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑑 β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
10 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
11 fzfid 13884 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
12 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ πœ‘)
13 stoweidlem32.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)⟢𝐴)
1413ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)
15 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴))
1615anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)))
17 feq1 6650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
1816, 17imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)))
19 stoweidlem32.11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
2018, 19vtoclg 3524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
2114, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
2212, 14, 21mp2and 698 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
2322adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
24 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
2523, 24ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
2611, 25fsumrecl 15624 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
277, 9, 10, 26fvmptd3 6972 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
2827, 26eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
2928recnd 11188 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
30 stoweidlem32.4 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
31 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑑 β†’ π‘Œ = π‘Œ)
3231cbvmptv 5219 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
3330, 32eqtr4i 2764 . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
34 stoweidlem32.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
3534adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
3633, 31, 10, 35fvmptd3 6972 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) = π‘Œ)
3736, 35eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
3837recnd 11188 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
3929, 38mulcomd 11181 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘)) = ((π»β€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
4036, 27oveq12d 7376 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π»β€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)) = (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
4139, 40eqtr2d 2774 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘)))
422, 41mpteq2da 5204 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))))
431, 42eqtrid 2785 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))))
44 stoweidlem32.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
45 stoweidlem32.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
462, 3, 44, 13, 45, 19stoweidlem20 44347 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
47 stoweidlem32.10 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
4847stoweidlem4 44331 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ) ∈ 𝐴)
4934, 48mpdan 686 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ) ∈ 𝐴)
5030, 49eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
51 nfmpt1 5214 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
523, 51nfcxfr 2902 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐹
5352nfeq2 2921 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝑓 = 𝐹
54 nfmpt1 5214 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
5530, 54nfcxfr 2902 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐻
5655nfeq2 2921 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝑔 = 𝐻
57 stoweidlem32.9 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
5853, 56, 57stoweidlem6 44333 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
5946, 50, 58mpd3an23 1464 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
6043, 59eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061  β„•cn 12158  ...cfz 13430  Ξ£csu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  stoweidlem44  44371
  Copyright terms: Public domain W3C validator