Theorem stoweidlem32 45953

Description: If a set A of real functions from a common domain T is a subalgebra and it contains constants, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G and finally scaled by a real Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem32.1	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem32.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem32.3	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
stoweidlem32.4	⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
stoweidlem32.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem32.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
stoweidlem32.7	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝐴)
stoweidlem32.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem32	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑖,𝑡,𝐺   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑖,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑖   𝑔,𝐻   𝑖,𝑀,𝑡   𝑡,𝑌,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem32

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem32.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
2		stoweidlem32.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
3		stoweidlem32.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
4		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
5	4	sumeq2sdv 15751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
6	5	cbvmptv 5279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)) = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
7	3, 6	eqtri 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
8		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
9	8	sumeq2sdv 15751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
11		fzfid 14024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
12		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝜑)
13		stoweidlem32.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝐴)
14	13	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴)
15		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴))
16	15	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴)))
17		feq1 6728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
18	16, 17	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)))
19		stoweidlem32.11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
20	18, 19	vtoclg 3566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
22	12, 14, 21	mp2and 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
23	22	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
24		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
25	23, 24	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
26	11, 25	fsumrecl 15782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
27	7, 9, 10, 26	fvmptd3 7052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
28	27, 26	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
30		stoweidlem32.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
31		eqidd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → 𝑌 = 𝑌)
32	31	cbvmptv 5279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
33	30, 32	eqtr4i 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
34		stoweidlem32.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑌 ∈ ℝ)
36	33, 31, 10, 35	fvmptd3 7052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) = 𝑌)
37	36, 35	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) ∈ ℂ)
39	29, 38	mulcomd 11311	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡)) = ((𝐻‘𝑡) · (𝐹‘𝑡)))
40	36, 27	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐻‘𝑡) · (𝐹‘𝑡)) = (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
41	39, 40	eqtr2d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡)))
42	2, 41	mpteq2da 5264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))))
43	1, 42	eqtrid 2792	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))))
44		stoweidlem32.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
45		stoweidlem32.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
46	2, 3, 44, 13, 45, 19	stoweidlem20 45941	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
47		stoweidlem32.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
48	47	stoweidlem4 45925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) ∈ 𝐴)
49	34, 48	mpdan 686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) ∈ 𝐴)
50	30, 49	eqeltrid 2848	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐴)
51		nfmpt1 5274	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
52	3, 51	nfcxfr 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
53	52	nfeq2 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑓 = 𝐹
54		nfmpt1 5274	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
55	30, 54	nfcxfr 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝐻
56	55	nfeq2 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑔 = 𝐻
57		stoweidlem32.9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
58	53, 56, 57	stoweidlem6 45927	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))) ∈ 𝐴)
59	46, 50, 58	mpd3an23 1463	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))) ∈ 𝐴)
60	43, 59	eqeltrd 2844	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℕcn 12293  ...cfz 13567  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  stoweidlem44  45965