Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem32 45479
Description: If a set A of real functions from a common domain T is a subalgebra and it contains constants, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G and finally scaled by a real Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem32.1 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem32.2 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem32.3 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
stoweidlem32.4 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
stoweidlem32.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem32.6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
stoweidlem32.7 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)⟢𝐴)
stoweidlem32.8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem32 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑖,𝑑,𝐺   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑖,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔,𝑖   𝑔,𝐻   𝑖,𝑀,𝑑   𝑑,π‘Œ,π‘₯   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘Œ   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐴(𝑑,𝑖)   𝑃(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(π‘₯,𝑑,𝑖)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑖)   𝑀(π‘₯,𝑓,𝑔)   π‘Œ(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem32
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem32.2 . . 3 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
2 stoweidlem32.1 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
3 stoweidlem32.3 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
4 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
54sumeq2sdv 15677 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑠 β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
65cbvmptv 5257 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
73, 6eqtri 2753 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
8 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
98sumeq2sdv 15677 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑑 β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
10 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
11 fzfid 13965 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
12 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ πœ‘)
13 stoweidlem32.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)⟢𝐴)
1413ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)
15 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴))
1615anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴)))
17 feq1 6698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
1816, 17imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)))
19 stoweidlem32.11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
2018, 19vtoclg 3533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
2114, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
2212, 14, 21mp2and 697 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
2322adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
24 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
2523, 24ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
2611, 25fsumrecl 15707 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
277, 9, 10, 26fvmptd3 7021 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
2827, 26eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
2928recnd 11267 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
30 stoweidlem32.4 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
31 eqidd 2726 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑑 β†’ π‘Œ = π‘Œ)
3231cbvmptv 5257 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
3330, 32eqtr4i 2756 . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
34 stoweidlem32.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
3534adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
3633, 31, 10, 35fvmptd3 7021 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) = π‘Œ)
3736, 35eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
3837recnd 11267 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
3929, 38mulcomd 11260 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘)) = ((π»β€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
4036, 27oveq12d 7431 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π»β€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)) = (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
4139, 40eqtr2d 2766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘)))
422, 41mpteq2da 5242 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Œ Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))))
431, 42eqtrid 2777 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))))
44 stoweidlem32.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
45 stoweidlem32.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
462, 3, 44, 13, 45, 19stoweidlem20 45467 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
47 stoweidlem32.10 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
4847stoweidlem4 45451 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ) ∈ 𝐴)
4934, 48mpdan 685 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ) ∈ 𝐴)
5030, 49eqeltrid 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
51 nfmpt1 5252 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
523, 51nfcxfr 2890 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐹
5352nfeq2 2910 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝑓 = 𝐹
54 nfmpt1 5252 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Œ)
5530, 54nfcxfr 2890 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐻
5655nfeq2 2910 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝑔 = 𝐻
57 stoweidlem32.9 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
5853, 56, 57stoweidlem6 45453 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
5946, 50, 58mpd3an23 1459 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (π»β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
6043, 59eqeltrd 2825 1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5227  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„cr 11132  1c1 11134   + caddc 11136   Β· cmul 11138  β„•cn 12237  ...cfz 13511  Ξ£csu 15659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660
This theorem is referenced by:  stoweidlem44  45491
  Copyright terms: Public domain W3C validator