Theorem stoweidlem32 41873

Description: If a set A of real functions from a common domain T is a subalgebra and it contains constants, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G and finally scaled by a real Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem32.1	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem32.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem32.3	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
stoweidlem32.4	⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
stoweidlem32.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem32.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
stoweidlem32.7	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝐴)
stoweidlem32.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem32	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑖,𝑡,𝐺   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑖,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑖   𝑔,𝐻   𝑖,𝑀,𝑡   𝑡,𝑌,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem32

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem32.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
2		stoweidlem32.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
3		stoweidlem32.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
4		fveq2 6541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
5	4	sumeq2sdv 14894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
6	5	cbvmptv 5064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)) = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
7	3, 6	eqtri 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
8		fveq2 6541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
9	8	sumeq2sdv 14894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
10		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
11		fzfid 13191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
12		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝜑)
13		stoweidlem32.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝐴)
14	13	ffvelrnda 6719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴)
15		eleq1 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴))
16	15	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴)))
17		feq1 6366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
18	16, 17	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)))
19		stoweidlem32.11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
20	18, 19	vtoclg 3509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
22	12, 14, 21	mp2and 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
23	22	adantlr 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
24		simplr 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
25	23, 24	ffvelrnd 6720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
26	11, 25	fsumrecl 14924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
27	7, 9, 10, 26	fvmptd3 6660	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
28	27, 26	eqeltrd 2882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10518	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
30		stoweidlem32.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
31		eqidd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → 𝑌 = 𝑌)
32	31	cbvmptv 5064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
33	30, 32	eqtr4i 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
34		stoweidlem32.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑌 ∈ ℝ)
36	33, 31, 10, 35	fvmptd3 6660	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) = 𝑌)
37	36, 35	eqeltrd 2882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) ∈ ℝ)
38	37	recnd 10518	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) ∈ ℂ)
39	29, 38	mulcomd 10511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡)) = ((𝐻‘𝑡) · (𝐹‘𝑡)))
40	36, 27	oveq12d 7037	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐻‘𝑡) · (𝐹‘𝑡)) = (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
41	39, 40	eqtr2d 2831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡)))
42	2, 41	mpteq2da 5057	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))))
43	1, 42	syl5eq 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))))
44		stoweidlem32.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
45		stoweidlem32.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
46	2, 3, 44, 13, 45, 19	stoweidlem20 41861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
47		stoweidlem32.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
48	47	stoweidlem4 41845	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) ∈ 𝐴)
49	34, 48	mpdan 683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) ∈ 𝐴)
50	30, 49	syl5eqel 2886	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐴)
51		nfmpt1 5061	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
52	3, 51	nfcxfr 2946	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
53	52	nfeq2 2963	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑓 = 𝐹
54		nfmpt1 5061	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
55	30, 54	nfcxfr 2946	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝐻
56	55	nfeq2 2963	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑔 = 𝐻
57		stoweidlem32.9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
58	53, 56, 57	stoweidlem6 41847	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))) ∈ 𝐴)
59	46, 50, 58	mpd3an23 1455	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))) ∈ 𝐴)
60	43, 59	eqeltrd 2882	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522  Ⅎwnf 1766   ∈ wcel 2080   ↦ cmpt 5043  ⟶wf 6224  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019  ℝcr 10385  1c1 10387   + caddc 10389   · cmul 10391  ℕcn 11488  ...cfz 12742  Σcsu 14876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-inf2 8953  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-se 5406  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-isom 6237  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-sup 8755  df-oi 8823  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877

This theorem is referenced by:  stoweidlem44  41885