Theorem stoweidlem32 43248

Description: If a set A of real functions from a common domain T is a subalgebra and it contains constants, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G and finally scaled by a real Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem32.1	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem32.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem32.3	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
stoweidlem32.4	⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
stoweidlem32.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem32.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
stoweidlem32.7	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝐴)
stoweidlem32.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem32.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem32	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑖,𝑡,𝐺   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑖,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑖   𝑔,𝐻   𝑖,𝑀,𝑡   𝑡,𝑌,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem32

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem32.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
2		stoweidlem32.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
3		stoweidlem32.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
4		fveq2 6717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
5	4	sumeq2sdv 15268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
6	5	cbvmptv 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)) = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
7	3, 6	eqtri 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
8		fveq2 6717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
9	8	sumeq2sdv 15268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
10		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
11		fzfid 13546	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
12		simpl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝜑)
13		stoweidlem32.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝐴)
14	13	ffvelrnda 6904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴)
15		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴))
16	15	anbi2d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴)))
17		feq1 6526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
18	16, 17	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝐺‘𝑖) → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)))
19		stoweidlem32.11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
20	18, 19	vtoclg 3481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
22	12, 14, 21	mp2and 699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
23	22	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
24		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
25	23, 24	ffvelrnd 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
26	11, 25	fsumrecl 15298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
27	7, 9, 10, 26	fvmptd3 6841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
28	27, 26	eqeltrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
30		stoweidlem32.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
31		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → 𝑌 = 𝑌)
32	31	cbvmptv 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
33	30, 32	eqtr4i 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
34		stoweidlem32.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
35	34	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑌 ∈ ℝ)
36	33, 31, 10, 35	fvmptd3 6841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) = 𝑌)
37	36, 35	eqeltrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) ∈ ℝ)
38	37	recnd 10861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) ∈ ℂ)
39	29, 38	mulcomd 10854	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡)) = ((𝐻‘𝑡) · (𝐹‘𝑡)))
40	36, 27	oveq12d 7231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐻‘𝑡) · (𝐹‘𝑡)) = (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
41	39, 40	eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡)))
42	2, 41	mpteq2da 5149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (𝑌 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))))
43	1, 42	syl5eq 2790	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))))
44		stoweidlem32.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
45		stoweidlem32.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
46	2, 3, 44, 13, 45, 19	stoweidlem20 43236	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
47		stoweidlem32.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
48	47	stoweidlem4 43220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) ∈ 𝐴)
49	34, 48	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌) ∈ 𝐴)
50	30, 49	eqeltrid 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐴)
51		nfmpt1 5153	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
52	3, 51	nfcxfr 2902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
53	52	nfeq2 2921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑓 = 𝐹
54		nfmpt1 5153	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑌)
55	30, 54	nfcxfr 2902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝐻
56	55	nfeq2 2921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑔 = 𝐻
57		stoweidlem32.9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
58	53, 56, 57	stoweidlem6 43222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))) ∈ 𝐴)
59	46, 50, 58	mpd3an23 1465	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) · (𝐻‘𝑡))) ∈ 𝐴)
60	43, 59	eqeltrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543  Ⅎwnf 1791   ∈ wcel 2110   ↦ cmpt 5135  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  ℕcn 11830  ...cfz 13095  Σcsu 15249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250

This theorem is referenced by:  stoweidlem44  43260