Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem40 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem40 44746
Description: This lemma proves that qn is in the subalgebra, as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90. Q is used to represent qn in the paper, N is used to represent n in the paper, and M is used to represent k^n in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem40.1 Ⅎ𝑑𝑃
stoweidlem40.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem40.3 𝑄 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑𝑀))
stoweidlem40.4 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)))
stoweidlem40.5 𝐺 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1)
stoweidlem40.6 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))
stoweidlem40.7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
stoweidlem40.8 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem40.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem40.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
stoweidlem40.14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem40 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔   π‘₯,𝑑,𝐴   𝑑,𝑀   𝑑,𝑁   π‘₯,𝑇   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝑃(π‘₯,𝑑)   𝑄(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔)   𝐹(π‘₯,𝑑)   𝐺(π‘₯,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑑)   𝑀(π‘₯,𝑓,𝑔)   𝑁(π‘₯,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem40
StepHypRef Expression
1 stoweidlem40.3 . . 3 𝑄 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑𝑀))
2 stoweidlem40.2 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
3 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
4 1red 11214 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ ℝ)
5 stoweidlem40.8 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
65ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
7 stoweidlem40.13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
87nnnn0d 12531 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
98adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
106, 9reexpcld 14127 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) ∈ ℝ)
114, 10resubcld 11641 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)) ∈ ℝ)
12 stoweidlem40.4 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)))
1312fvmpt2 7009 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)))
143, 11, 13syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)))
1514eqcomd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)) = (πΉβ€˜π‘‘))
1615oveq1d 7423 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑𝑀) = ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑀))
172, 16mpteq2da 5246 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑𝑀)) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑀)))
181, 17eqtrid 2784 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑀)))
19 nfmpt1 5256 . . . 4 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)))
2012, 19nfcxfr 2901 . . 3 Ⅎ𝑑𝐹
21 stoweidlem40.9 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
22 stoweidlem40.11 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
23 stoweidlem40.12 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
24 1re 11213 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
25 stoweidlem40.5 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1)
2625fvmpt2 7009 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = 1)
2724, 26mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = 1)
2827eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ 1 = (πΊβ€˜π‘‘))
2928adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 1 = (πΊβ€˜π‘‘))
30 stoweidlem40.6 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))
3130fvmpt2 7009 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))
323, 10, 31syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))
3332eqcomd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) = (π»β€˜π‘‘))
3429, 33oveq12d 7426 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)) = ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘)))
352, 34mpteq2da 5246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))))
3612, 35eqtrid 2784 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))))
3723stoweidlem4 44710 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
3824, 37mpan2 689 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
3925, 38eqeltrid 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
40 stoweidlem40.1 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝑃
41 stoweidlem40.7 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4240, 2, 21, 22, 23, 41, 8stoweidlem19 44725 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)) ∈ 𝐴)
4330, 42eqeltrid 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
44 nfmpt1 5256 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1)
4525, 44nfcxfr 2901 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝐺
46 nfmpt1 5256 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))
4730, 46nfcxfr 2901 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝐻
48 stoweidlem40.10 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
4945, 47, 2, 21, 48, 22, 23stoweidlem33 44739 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
5039, 43, 49mpd3an23 1463 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
5136, 50eqeltrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
52 stoweidlem40.14 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5352nnnn0d 12531 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
5420, 2, 21, 22, 23, 51, 53stoweidlem19 44725 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑀)) ∈ 𝐴)
5518, 54eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11443  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  β†‘cexp 14026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966  df-exp 14027
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  44751
  Copyright terms: Public domain W3C validator