Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem40 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem40 44371
Description: This lemma proves that qn is in the subalgebra, as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90. Q is used to represent qn in the paper, N is used to represent n in the paper, and M is used to represent k^n in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem40.1 Ⅎ𝑑𝑃
stoweidlem40.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem40.3 𝑄 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑𝑀))
stoweidlem40.4 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)))
stoweidlem40.5 𝐺 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1)
stoweidlem40.6 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))
stoweidlem40.7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
stoweidlem40.8 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem40.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem40.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
stoweidlem40.14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem40 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔   π‘₯,𝑑,𝐴   𝑑,𝑀   𝑑,𝑁   π‘₯,𝑇   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝑃(π‘₯,𝑑)   𝑄(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔)   𝐹(π‘₯,𝑑)   𝐺(π‘₯,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑑)   𝑀(π‘₯,𝑓,𝑔)   𝑁(π‘₯,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem40
StepHypRef Expression
1 stoweidlem40.3 . . 3 𝑄 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑𝑀))
2 stoweidlem40.2 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
3 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
4 1red 11164 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ ℝ)
5 stoweidlem40.8 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
65ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
7 stoweidlem40.13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
87nnnn0d 12481 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
98adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
106, 9reexpcld 14077 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) ∈ ℝ)
114, 10resubcld 11591 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)) ∈ ℝ)
12 stoweidlem40.4 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)))
1312fvmpt2 6963 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)))
143, 11, 13syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)))
1514eqcomd 2739 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)) = (πΉβ€˜π‘‘))
1615oveq1d 7376 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑𝑀) = ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑀))
172, 16mpteq2da 5207 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑𝑀)) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑀)))
181, 17eqtrid 2785 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑀)))
19 nfmpt1 5217 . . . 4 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)))
2012, 19nfcxfr 2902 . . 3 Ⅎ𝑑𝐹
21 stoweidlem40.9 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
22 stoweidlem40.11 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
23 stoweidlem40.12 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
24 1re 11163 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
25 stoweidlem40.5 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1)
2625fvmpt2 6963 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = 1)
2724, 26mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = 1)
2827eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ 1 = (πΊβ€˜π‘‘))
2928adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 1 = (πΊβ€˜π‘‘))
30 stoweidlem40.6 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))
3130fvmpt2 6963 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))
323, 10, 31syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))
3332eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) = (π»β€˜π‘‘))
3429, 33oveq12d 7379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)) = ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘)))
352, 34mpteq2da 5207 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))))
3612, 35eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))))
3723stoweidlem4 44335 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
3824, 37mpan2 690 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
3925, 38eqeltrid 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
40 stoweidlem40.1 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝑃
41 stoweidlem40.7 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4240, 2, 21, 22, 23, 41, 8stoweidlem19 44350 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)) ∈ 𝐴)
4330, 42eqeltrid 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
44 nfmpt1 5217 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1)
4525, 44nfcxfr 2902 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝐺
46 nfmpt1 5217 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))
4730, 46nfcxfr 2902 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝐻
48 stoweidlem40.10 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
4945, 47, 2, 21, 48, 22, 23stoweidlem33 44364 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
5039, 43, 49mpd3an23 1464 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (π»β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
5136, 50eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
52 stoweidlem40.14 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5352nnnn0d 12481 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
5420, 2, 21, 22, 23, 51, 53stoweidlem19 44350 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘)↑𝑀)) ∈ 𝐴)
5518, 54eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  β†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  44376
  Copyright terms: Public domain W3C validator