Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem40 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem40 45996
Description: This lemma proves that qn is in the subalgebra, as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90. Q is used to represent qn in the paper, N is used to represent n in the paper, and M is used to represent k^n in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem40.1 𝑡𝑃
stoweidlem40.2 𝑡𝜑
stoweidlem40.3 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑𝑀))
stoweidlem40.4 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
stoweidlem40.5 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ 1)
stoweidlem40.6 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑃𝑡)↑𝑁))
stoweidlem40.7 (𝜑𝑃𝐴)
stoweidlem40.8 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem40.9 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem40.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem40.14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem40 (𝜑𝑄𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑥,𝑡,𝐴   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑥,𝑡)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑡)   𝑀(𝑥,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem40
StepHypRef Expression
1 stoweidlem40.3 . . 3 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑𝑀))
2 stoweidlem40.2 . . . 4 𝑡𝜑
3 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
4 1red 11260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
5 stoweidlem40.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
65ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
7 stoweidlem40.13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87nnnn0d 12585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ0)
106, 9reexpcld 14200 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
114, 10resubcld 11689 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
12 stoweidlem40.4 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
1312fvmpt2 7027 . . . . . . 7 ((𝑡𝑇 ∧ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐹𝑡) = (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
143, 11, 13syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) = (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
1514eqcomd 2741 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) = (𝐹𝑡))
1615oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑𝑀) = ((𝐹𝑡)↑𝑀))
172, 16mpteq2da 5246 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑𝑀)) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡)↑𝑀)))
181, 17eqtrid 2787 . 2 (𝜑𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡)↑𝑀)))
19 nfmpt1 5256 . . . 4 𝑡(𝑡𝑇 ↦ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
2012, 19nfcxfr 2901 . . 3 𝑡𝐹
21 stoweidlem40.9 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
22 stoweidlem40.11 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
23 stoweidlem40.12 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
24 1re 11259 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
25 stoweidlem40.5 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ 1)
2625fvmpt2 7027 . . . . . . . . . 10 ((𝑡𝑇 ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) = 1)
2724, 26mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑇 → (𝐺𝑡) = 1)
2827eqcomd 2741 . . . . . . . 8 (𝑡𝑇 → 1 = (𝐺𝑡))
2928adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 = (𝐺𝑡))
30 stoweidlem40.6 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑃𝑡)↑𝑁))
3130fvmpt2 7027 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑡) = ((𝑃𝑡)↑𝑁))
323, 10, 31syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) = ((𝑃𝑡)↑𝑁))
3332eqcomd 2741 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) = (𝐻𝑡))
3429, 33oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) = ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡)))
352, 34mpteq2da 5246 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡))))
3612, 35eqtrid 2787 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡))))
3723stoweidlem4 45960 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
3824, 37mpan2 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
3925, 38eqeltrid 2843 . . . . 5 (𝜑𝐺𝐴)
40 stoweidlem40.1 . . . . . . 7 𝑡𝑃
41 stoweidlem40.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐴)
4240, 2, 21, 22, 23, 41, 8stoweidlem19 45975 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ 𝐴)
4330, 42eqeltrid 2843 . . . . 5 (𝜑𝐻𝐴)
44 nfmpt1 5256 . . . . . . 7 𝑡(𝑡𝑇 ↦ 1)
4525, 44nfcxfr 2901 . . . . . 6 𝑡𝐺
46 nfmpt1 5256 . . . . . . 7 𝑡(𝑡𝑇 ↦ ((𝑃𝑡)↑𝑁))
4730, 46nfcxfr 2901 . . . . . 6 𝑡𝐻
48 stoweidlem40.10 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
4945, 47, 2, 21, 48, 22, 23stoweidlem33 45989 . . . . 5 ((𝜑𝐺𝐴𝐻𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡))) ∈ 𝐴)
5039, 43, 49mpd3an23 1462 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡))) ∈ 𝐴)
5136, 50eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
52 stoweidlem40.14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
5352nnnn0d 12585 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5420, 2, 21, 22, 23, 51, 53stoweidlem19 45975 . 2 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡)↑𝑀)) ∈ 𝐴)
5518, 54eqeltrd 2839 1 (𝜑𝑄𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  46001
  Copyright terms: Public domain W3C validator