Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem40 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem40 43038
 Description: This lemma proves that qn is in the subalgebra, as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90. Q is used to represent qn in the paper, N is used to represent n in the paper, and M is used to represent k^n in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem40.1 𝑡𝑃
stoweidlem40.2 𝑡𝜑
stoweidlem40.3 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑𝑀))
stoweidlem40.4 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
stoweidlem40.5 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ 1)
stoweidlem40.6 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑃𝑡)↑𝑁))
stoweidlem40.7 (𝜑𝑃𝐴)
stoweidlem40.8 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem40.9 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem40.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem40.13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem40.14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem40 (𝜑𝑄𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑥,𝑡,𝐴   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑥,𝑡)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑡)   𝑀(𝑥,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem40
StepHypRef Expression
1 stoweidlem40.3 . . 3 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑𝑀))
2 stoweidlem40.2 . . . 4 𝑡𝜑
3 simpr 489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
4 1red 10670 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
5 stoweidlem40.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
65ffvelrnda 6840 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
7 stoweidlem40.13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87nnnn0d 11984 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
98adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ0)
106, 9reexpcld 13567 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
114, 10resubcld 11096 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
12 stoweidlem40.4 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
1312fvmpt2 6768 . . . . . . 7 ((𝑡𝑇 ∧ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐹𝑡) = (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
143, 11, 13syl2anc 588 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) = (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
1514eqcomd 2765 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) = (𝐹𝑡))
1615oveq1d 7163 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑𝑀) = ((𝐹𝑡)↑𝑀))
172, 16mpteq2da 5124 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑𝑀)) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡)↑𝑀)))
181, 17syl5eq 2806 . 2 (𝜑𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡)↑𝑀)))
19 nfmpt1 5128 . . . 4 𝑡(𝑡𝑇 ↦ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
2012, 19nfcxfr 2918 . . 3 𝑡𝐹
21 stoweidlem40.9 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
22 stoweidlem40.11 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
23 stoweidlem40.12 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
24 1re 10669 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
25 stoweidlem40.5 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ 1)
2625fvmpt2 6768 . . . . . . . . . 10 ((𝑡𝑇 ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) = 1)
2724, 26mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑇 → (𝐺𝑡) = 1)
2827eqcomd 2765 . . . . . . . 8 (𝑡𝑇 → 1 = (𝐺𝑡))
2928adantl 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 = (𝐺𝑡))
30 stoweidlem40.6 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑃𝑡)↑𝑁))
3130fvmpt2 6768 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑡) = ((𝑃𝑡)↑𝑁))
323, 10, 31syl2anc 588 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) = ((𝑃𝑡)↑𝑁))
3332eqcomd 2765 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) = (𝐻𝑡))
3429, 33oveq12d 7166 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) = ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡)))
352, 34mpteq2da 5124 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡))))
3612, 35syl5eq 2806 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡))))
3723stoweidlem4 43002 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
3824, 37mpan2 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
3925, 38eqeltrid 2857 . . . . 5 (𝜑𝐺𝐴)
40 stoweidlem40.1 . . . . . . 7 𝑡𝑃
41 stoweidlem40.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐴)
4240, 2, 21, 22, 23, 41, 8stoweidlem19 43017 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ 𝐴)
4330, 42eqeltrid 2857 . . . . 5 (𝜑𝐻𝐴)
44 nfmpt1 5128 . . . . . . 7 𝑡(𝑡𝑇 ↦ 1)
4525, 44nfcxfr 2918 . . . . . 6 𝑡𝐺
46 nfmpt1 5128 . . . . . . 7 𝑡(𝑡𝑇 ↦ ((𝑃𝑡)↑𝑁))
4730, 46nfcxfr 2918 . . . . . 6 𝑡𝐻
48 stoweidlem40.10 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
4945, 47, 2, 21, 48, 22, 23stoweidlem33 43031 . . . . 5 ((𝜑𝐺𝐴𝐻𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡))) ∈ 𝐴)
5039, 43, 49mpd3an23 1461 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐻𝑡))) ∈ 𝐴)
5136, 50eqeltrd 2853 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
52 stoweidlem40.14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
5352nnnn0d 11984 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5420, 2, 21, 22, 23, 51, 53stoweidlem19 43017 . 2 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡)↑𝑀)) ∈ 𝐴)
5518, 54eqeltrd 2853 1 (𝜑𝑄𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2112  Ⅎwnfc 2900   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6329  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148  ℝcr 10564  1c1 10566   + caddc 10568   · cmul 10570   − cmin 10898  ℕcn 11664  ℕ0cn0 11924  ↑cexp 13469 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7578  df-2nd 7692  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-er 8297  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-nn 11665  df-n0 11925  df-z 12011  df-uz 12273  df-seq 13409  df-exp 13470 This theorem is referenced by:  stoweidlem45  43043
 Copyright terms: Public domain W3C validator