Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem22 45978
Description: If a set of real functions from a common domain is closed under addition, multiplication and it contains constants, then it is closed under subtraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem22.8 𝑡𝜑
stoweidlem22.9 𝑡𝐹
stoweidlem22.10 𝑡𝐺
stoweidlem22.1 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡)))
stoweidlem22.2 𝐼 = (𝑡𝑇 ↦ -1)
stoweidlem22.3 𝐿 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)))
stoweidlem22.4 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem22.5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem22.6 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem22.7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem22 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡))) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑔,𝐿   𝑥,𝑡,𝐴   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐹(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝐼(𝑥,𝑡)   𝐿(𝑥,𝑡,𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem22
StepHypRef Expression
1 stoweidlem22.8 . . . 4 𝑡𝜑
2 stoweidlem22.9 . . . . 5 𝑡𝐹
32nfel1 2920 . . . 4 𝑡 𝐹𝐴
4 stoweidlem22.10 . . . . 5 𝑡𝐺
54nfel1 2920 . . . 4 𝑡 𝐺𝐴
61, 3, 5nf3an 1899 . . 3 𝑡(𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴)
7 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
8 simpl1 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝜑)
9 stoweidlem22.2 . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (𝑡𝑇 ↦ -1)
10 neg1rr 12379 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
11 stoweidlem22.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
1211stoweidlem4 45960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ -1 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ -1) ∈ 𝐴)
1310, 12mpan2 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ -1) ∈ 𝐴)
149, 13eqeltrid 2843 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼𝐴)
15 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐼 → (𝑓𝐴𝐼𝐴))
1615anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐼 → ((𝜑𝑓𝐴) ↔ (𝜑𝐼𝐴)))
17 feq1 6717 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐼 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝐼:𝑇⟶ℝ))
1816, 17imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐼 → (((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐼𝐴) → 𝐼:𝑇⟶ℝ)))
19 stoweidlem22.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
2018, 19vtoclg 3554 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝐴 → ((𝜑𝐼𝐴) → 𝐼:𝑇⟶ℝ))
2120anabsi7 671 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐼𝐴) → 𝐼:𝑇⟶ℝ)
228, 14, 21syl2anc2 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐼:𝑇⟶ℝ)
2322, 7ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐼𝑡) ∈ ℝ)
24 simpl3 1192 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐺𝐴)
25 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓𝐴𝐺𝐴))
2625anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐺 → ((𝜑𝑓𝐴) ↔ (𝜑𝐺𝐴)))
27 feq1 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝐺:𝑇⟶ℝ))
2826, 27imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐺 → (((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐺:𝑇⟶ℝ)))
2928, 19vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝐴 → ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐺:𝑇⟶ℝ))
3029anabsi7 671 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐺:𝑇⟶ℝ)
31303adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺𝐴𝑡𝑇) → 𝐺:𝑇⟶ℝ)
32 simp3 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺𝐴𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
3331, 32ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺𝐴𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
348, 24, 7, 33syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
3523, 34remulcld 11289 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
36 stoweidlem22.3 . . . . . . . 8 𝐿 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)))
3736fvmpt2 7027 . . . . . . 7 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)) ∈ ℝ) → (𝐿𝑡) = ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)))
387, 35, 37syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐿𝑡) = ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)))
399fvmpt2 7027 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑇 ∧ -1 ∈ ℝ) → (𝐼𝑡) = -1)
4010, 39mpan2 691 . . . . . . . 8 (𝑡𝑇 → (𝐼𝑡) = -1)
4140adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐼𝑡) = -1)
4241oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)) = (-1 · (𝐺𝑡)))
4334recnd 11287 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
4443mulm1d 11713 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (-1 · (𝐺𝑡)) = -(𝐺𝑡))
4538, 42, 443eqtrd 2779 . . . . 5 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐿𝑡) = -(𝐺𝑡))
4645oveq2d 7447 . . . 4 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) + (𝐿𝑡)) = ((𝐹𝑡) + -(𝐺𝑡)))
47 simpl2 1191 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐹𝐴)
48 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝐴𝐹𝐴))
4948anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 → ((𝜑𝑓𝐴) ↔ (𝜑𝐹𝐴)))
50 feq1 6717 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝐹:𝑇⟶ℝ))
5149, 50imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)))
5251, 19vtoclg 3554 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐴 → ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹:𝑇⟶ℝ))
5352anabsi7 671 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
548, 47, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
5554, 7ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
5655recnd 11287 . . . . 5 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
5756, 43negsubd 11624 . . . 4 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) + -(𝐺𝑡)) = ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡)))
5846, 57eqtr2d 2776 . . 3 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡)) = ((𝐹𝑡) + (𝐿𝑡)))
596, 58mpteq2da 5246 . 2 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) + (𝐿𝑡))))
60143ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → 𝐼𝐴)
61 nfmpt1 5256 . . . . . . . 8 𝑡(𝑡𝑇 ↦ -1)
629, 61nfcxfr 2901 . . . . . . 7 𝑡𝐼
6362nfeq2 2921 . . . . . 6 𝑡 𝑓 = 𝐼
644nfeq2 2921 . . . . . 6 𝑡 𝑔 = 𝐺
65 stoweidlem22.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
6663, 64, 65stoweidlem6 45962 . . . . 5 ((𝜑𝐼𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡))) ∈ 𝐴)
6760, 66syld3an2 1410 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡))) ∈ 𝐴)
6836, 67eqeltrid 2843 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → 𝐿𝐴)
69 stoweidlem22.5 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
70 nfmpt1 5256 . . . . 5 𝑡(𝑡𝑇 ↦ ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)))
7136, 70nfcxfr 2901 . . . 4 𝑡𝐿
7269, 2, 71stoweidlem8 45964 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴𝐿𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) + (𝐿𝑡))) ∈ 𝐴)
7368, 72syld3an3 1408 . 2 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) + (𝐿𝑡))) ∈ 𝐴)
7459, 73eqeltrd 2839 1 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡))) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by:  stoweidlem33  45989
  Copyright terms: Public domain W3C validator