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Theorem stoweidlem22 45469
Description: If a set of real functions from a common domain is closed under addition, multiplication and it contains constants, then it is closed under subtraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem22.8 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem22.9 Ⅎ𝑑𝐹
stoweidlem22.10 Ⅎ𝑑𝐺
stoweidlem22.1 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‘)))
stoweidlem22.2 𝐼 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -1)
stoweidlem22.3 𝐿 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (πΊβ€˜π‘‘)))
stoweidlem22.4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem22.5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem22.6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem22.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem22 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑔,𝐿   π‘₯,𝑑,𝐴   π‘₯,𝑇   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐹(π‘₯,𝑑)   𝐺(π‘₯,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔)   𝐼(π‘₯,𝑑)   𝐿(π‘₯,𝑑,𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem22
StepHypRef Expression
1 stoweidlem22.8 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
2 stoweidlem22.9 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐹
32nfel1 2909 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝐹 ∈ 𝐴
4 stoweidlem22.10 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐺
54nfel1 2909 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝐺 ∈ 𝐴
61, 3, 5nf3an 1896 . . 3 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴)
7 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
8 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ πœ‘)
9 stoweidlem22.2 . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -1)
10 neg1rr 12352 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
11 stoweidlem22.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
1211stoweidlem4 45451 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ -1 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -1) ∈ 𝐴)
1310, 12mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -1) ∈ 𝐴)
149, 13eqeltrid 2829 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐴)
15 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐼 β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ 𝐼 ∈ 𝐴))
1615anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐼 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ 𝐴)))
17 feq1 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐼 β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ 𝐼:π‘‡βŸΆβ„))
1816, 17imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐼 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ 𝐼:π‘‡βŸΆβ„)))
19 stoweidlem22.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
2018, 19vtoclg 3533 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ 𝐼:π‘‡βŸΆβ„))
2120anabsi7 669 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ 𝐼:π‘‡βŸΆβ„)
228, 14, 21syl2anc2 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐼:π‘‡βŸΆβ„)
2322, 7ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
24 simpl3 1190 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
25 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝐺 β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ 𝐺 ∈ 𝐴))
2625anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐺 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴)))
27 feq1 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐺 β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ 𝐺:π‘‡βŸΆβ„))
2826, 27imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐺 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺:π‘‡βŸΆβ„)))
2928, 19vtoclg 3533 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺:π‘‡βŸΆβ„))
3029anabsi7 669 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺:π‘‡βŸΆβ„)
31303adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:π‘‡βŸΆβ„)
32 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
3331, 32ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
348, 24, 7, 33syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
3523, 34remulcld 11269 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (πΊβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
36 stoweidlem22.3 . . . . . . . 8 𝐿 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (πΊβ€˜π‘‘)))
3736fvmpt2 7009 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (πΊβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ) β†’ (πΏβ€˜π‘‘) = ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (πΊβ€˜π‘‘)))
387, 35, 37syl2anc 582 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΏβ€˜π‘‘) = ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (πΊβ€˜π‘‘)))
399fvmpt2 7009 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ -1 ∈ ℝ) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) = -1)
4010, 39mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (πΌβ€˜π‘‘) = -1)
4140adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) = -1)
4241oveq1d 7428 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (πΊβ€˜π‘‘)) = (-1 Β· (πΊβ€˜π‘‘)))
4334recnd 11267 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
4443mulm1d 11691 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (-1 Β· (πΊβ€˜π‘‘)) = -(πΊβ€˜π‘‘))
4538, 42, 443eqtrd 2769 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΏβ€˜π‘‘) = -(πΊβ€˜π‘‘))
4645oveq2d 7429 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) + (πΏβ€˜π‘‘)) = ((πΉβ€˜π‘‘) + -(πΊβ€˜π‘‘)))
47 simpl2 1189 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
48 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ 𝐹 ∈ 𝐴))
4948anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴)))
50 feq1 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„))
5149, 50imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)))
5251, 19vtoclg 3533 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„))
5352anabsi7 669 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
548, 47, 53syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
5554, 7ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
5655recnd 11267 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
5756, 43negsubd 11602 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) + -(πΊβ€˜π‘‘)) = ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‘)))
5846, 57eqtr2d 2766 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‘)) = ((πΉβ€˜π‘‘) + (πΏβ€˜π‘‘)))
596, 58mpteq2da 5242 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) + (πΏβ€˜π‘‘))))
60143ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ 𝐼 ∈ 𝐴)
61 nfmpt1 5252 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -1)
629, 61nfcxfr 2890 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝐼
6362nfeq2 2910 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 𝑓 = 𝐼
644nfeq2 2910 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 𝑔 = 𝐺
65 stoweidlem22.6 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
6663, 64, 65stoweidlem6 45453 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (πΊβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
6760, 66syld3an2 1408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (πΊβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
6836, 67eqeltrid 2829 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ 𝐿 ∈ 𝐴)
69 stoweidlem22.5 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
70 nfmpt1 5252 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (πΊβ€˜π‘‘)))
7136, 70nfcxfr 2890 . . . 4 Ⅎ𝑑𝐿
7269, 2, 71stoweidlem8 45455 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) + (πΏβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
7368, 72syld3an3 1406 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) + (πΏβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
7459, 73eqeltrd 2825 1 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875   ↦ cmpt 5227  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„cr 11132  1c1 11134   + caddc 11136   Β· cmul 11138   βˆ’ cmin 11469  -cneg 11470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-ltxr 11278  df-sub 11471  df-neg 11472
This theorem is referenced by:  stoweidlem33  45480
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