Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem22 42184
Description: If a set of real functions from a common domain is closed under addition, multiplication and it contains constants, then it is closed under subtraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem22.8 𝑡𝜑
stoweidlem22.9 𝑡𝐹
stoweidlem22.10 𝑡𝐺
stoweidlem22.1 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡)))
stoweidlem22.2 𝐼 = (𝑡𝑇 ↦ -1)
stoweidlem22.3 𝐿 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)))
stoweidlem22.4 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem22.5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem22.6 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem22.7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem22 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡))) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑔,𝐿   𝑥,𝑡,𝐴   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐹(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝐼(𝑥,𝑡)   𝐿(𝑥,𝑡,𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem22
StepHypRef Expression
1 stoweidlem22.8 . . . 4 𝑡𝜑
2 stoweidlem22.9 . . . . 5 𝑡𝐹
32nfel1 2991 . . . 4 𝑡 𝐹𝐴
4 stoweidlem22.10 . . . . 5 𝑡𝐺
54nfel1 2991 . . . 4 𝑡 𝐺𝐴
61, 3, 5nf3an 1893 . . 3 𝑡(𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴)
7 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
8 simpl1 1183 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝜑)
9 stoweidlem22.2 . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (𝑡𝑇 ↦ -1)
10 neg1rr 11740 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
11 stoweidlem22.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
1211stoweidlem4 42166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ -1 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ -1) ∈ 𝐴)
1310, 12mpan2 687 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ -1) ∈ 𝐴)
149, 13eqeltrid 2914 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼𝐴)
15 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐼 → (𝑓𝐴𝐼𝐴))
1615anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐼 → ((𝜑𝑓𝐴) ↔ (𝜑𝐼𝐴)))
17 feq1 6488 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐼 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝐼:𝑇⟶ℝ))
1816, 17imbi12d 346 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐼 → (((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐼𝐴) → 𝐼:𝑇⟶ℝ)))
19 stoweidlem22.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
2018, 19vtoclg 3565 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝐴 → ((𝜑𝐼𝐴) → 𝐼:𝑇⟶ℝ))
2120anabsi7 667 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐼𝐴) → 𝐼:𝑇⟶ℝ)
228, 14, 21syl2anc2 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐼:𝑇⟶ℝ)
2322, 7ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐼𝑡) ∈ ℝ)
24 simpl3 1185 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐺𝐴)
25 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓𝐴𝐺𝐴))
2625anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐺 → ((𝜑𝑓𝐴) ↔ (𝜑𝐺𝐴)))
27 feq1 6488 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝐺:𝑇⟶ℝ))
2826, 27imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐺 → (((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐺:𝑇⟶ℝ)))
2928, 19vtoclg 3565 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝐴 → ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐺:𝑇⟶ℝ))
3029anabsi7 667 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐺:𝑇⟶ℝ)
31303adant3 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺𝐴𝑡𝑇) → 𝐺:𝑇⟶ℝ)
32 simp3 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺𝐴𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
3331, 32ffvelrnd 6844 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺𝐴𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
348, 24, 7, 33syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
3523, 34remulcld 10659 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
36 stoweidlem22.3 . . . . . . . 8 𝐿 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)))
3736fvmpt2 6771 . . . . . . 7 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)) ∈ ℝ) → (𝐿𝑡) = ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)))
387, 35, 37syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐿𝑡) = ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)))
399fvmpt2 6771 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑇 ∧ -1 ∈ ℝ) → (𝐼𝑡) = -1)
4010, 39mpan2 687 . . . . . . . 8 (𝑡𝑇 → (𝐼𝑡) = -1)
4140adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐼𝑡) = -1)
4241oveq1d 7160 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)) = (-1 · (𝐺𝑡)))
4334recnd 10657 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
4443mulm1d 11080 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (-1 · (𝐺𝑡)) = -(𝐺𝑡))
4538, 42, 443eqtrd 2857 . . . . 5 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐿𝑡) = -(𝐺𝑡))
4645oveq2d 7161 . . . 4 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) + (𝐿𝑡)) = ((𝐹𝑡) + -(𝐺𝑡)))
47 simpl2 1184 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐹𝐴)
48 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝐴𝐹𝐴))
4948anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 → ((𝜑𝑓𝐴) ↔ (𝜑𝐹𝐴)))
50 feq1 6488 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝐹:𝑇⟶ℝ))
5149, 50imbi12d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)))
5251, 19vtoclg 3565 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐴 → ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹:𝑇⟶ℝ))
5352anabsi7 667 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
548, 47, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
5554, 7ffvelrnd 6844 . . . . . 6 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
5655recnd 10657 . . . . 5 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
5756, 43negsubd 10991 . . . 4 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) + -(𝐺𝑡)) = ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡)))
5846, 57eqtr2d 2854 . . 3 (((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡)) = ((𝐹𝑡) + (𝐿𝑡)))
596, 58mpteq2da 5151 . 2 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) + (𝐿𝑡))))
60143ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → 𝐼𝐴)
61 nfmpt1 5155 . . . . . . . 8 𝑡(𝑡𝑇 ↦ -1)
629, 61nfcxfr 2972 . . . . . . 7 𝑡𝐼
6362nfeq2 2992 . . . . . 6 𝑡 𝑓 = 𝐼
644nfeq2 2992 . . . . . 6 𝑡 𝑔 = 𝐺
65 stoweidlem22.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
6663, 64, 65stoweidlem6 42168 . . . . 5 ((𝜑𝐼𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡))) ∈ 𝐴)
6760, 66syld3an2 1403 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡))) ∈ 𝐴)
6836, 67eqeltrid 2914 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → 𝐿𝐴)
69 stoweidlem22.5 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
70 nfmpt1 5155 . . . . 5 𝑡(𝑡𝑇 ↦ ((𝐼𝑡) · (𝐺𝑡)))
7136, 70nfcxfr 2972 . . . 4 𝑡𝐿
7269, 2, 71stoweidlem8 42170 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴𝐿𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) + (𝐿𝑡))) ∈ 𝐴)
7368, 72syld3an3 1401 . 2 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) + (𝐿𝑡))) ∈ 𝐴)
7459, 73eqeltrd 2910 1 ((𝜑𝐹𝐴𝐺𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐺𝑡))) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  wnfc 2958  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  -cneg 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  stoweidlem33  42195
  Copyright terms: Public domain W3C validator