Theorem subaddmulsub 11733

Description: The difference with a product of a sum and a difference. (Contributed by AV, 5-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
subaddmulsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐸 − ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 − 𝐷))) = (((𝐸 − (𝐴 · 𝐶)) − (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))

Proof of Theorem subaddmulsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addmulsub 11732	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))
2	1	3adant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))
3	2	oveq2d 7454	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐸 − ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 − 𝐷))) = (𝐸 − (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)))))
4		simp3 1139	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → 𝐸 ∈ ℂ)
5		simp1l 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simp2l 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	5, 6	mulcld 11288	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
8		simp1r 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8, 6	mulcld 11288	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
10	7, 9	addcld 11287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
11		simp2r 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
12	5, 11	mulcld 11288	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
13	8, 11	mulcld 11288	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
14	12, 13	addcld 11287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
15	4, 10, 14	subsubd 11655	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐸 − (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)))) = ((𝐸 − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))
16	4, 7, 9	subsub4d 11658	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝐸 − (𝐴 · 𝐶)) − (𝐵 · 𝐶)) = (𝐸 − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))
17	16	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐸 − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))) = ((𝐸 − (𝐴 · 𝐶)) − (𝐵 · 𝐶)))
18	17	oveq1d 7453	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝐸 − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) = (((𝐸 − (𝐴 · 𝐶)) − (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))
19	3, 15, 18	3eqtrd 2781	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐸 − ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 − 𝐷))) = (((𝐸 − (𝐴 · 𝐶)) − (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7438  ℂcc 11160   + caddc 11165   · cmul 11167   − cmin 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-po 5601  df-so 5602  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-ltxr 11307  df-sub 11501

This theorem is referenced by:  mulsubaddmulsub  11734