MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsubaddmulsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsubaddmulsub 11624
Description: A special difference of a product with a product of a sum and a difference. (Contributed by AV, 5-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
mulsubaddmulsub (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem mulsubaddmulsub
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2 simprl 770 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
31, 2mulcld 11180 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4 subaddmulsub 11623 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท))) = ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))))
53, 4mpd3an3 1463 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท))) = ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))))
6 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
76, 2mulcld 11180 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
83, 7, 3sub32d 11549 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
93subidd 11505 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = 0)
109oveq1d 7373 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) = (0 โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
118, 10eqtrd 2773 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = (0 โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
12 df-neg 11393 . . . . 5 -(๐ด ยท ๐ถ) = (0 โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ))
1311, 12eqtr4di 2791 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = -(๐ด ยท ๐ถ))
1413oveq1d 7373 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) = (-(๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))))
157negcld 11504 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ -(๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
16 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
176, 16mulcld 11180 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
181, 16mulcld 11180 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
1917, 18addcld 11179 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2015, 19addcomd 11362 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (-(๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) + -(๐ด ยท ๐ถ)))
2119, 7negsubd 11523 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) + -(๐ด ยท ๐ถ)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
2220, 21eqtrd 2773 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (-(๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
2314, 22eqtrd 2773 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
245, 23eqtrd 2773 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-sub 11392  df-neg 11393
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02plem1  46954
  Copyright terms: Public domain W3C validator