MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsubaddmulsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsubaddmulsub 11700
Description: A special difference of a product with a product of a sum and a difference. (Contributed by AV, 5-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
mulsubaddmulsub (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem mulsubaddmulsub
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2 simprl 770 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
31, 2mulcld 11256 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4 subaddmulsub 11699 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท))) = ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))))
53, 4mpd3an3 1459 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท))) = ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))))
6 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
76, 2mulcld 11256 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
83, 7, 3sub32d 11625 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
93subidd 11581 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = 0)
109oveq1d 7429 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) = (0 โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
118, 10eqtrd 2767 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = (0 โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
12 df-neg 11469 . . . . 5 -(๐ด ยท ๐ถ) = (0 โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ))
1311, 12eqtr4di 2785 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = -(๐ด ยท ๐ถ))
1413oveq1d 7429 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) = (-(๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))))
157negcld 11580 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ -(๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
16 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
176, 16mulcld 11256 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
181, 16mulcld 11256 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
1917, 18addcld 11255 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2015, 19addcomd 11438 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (-(๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) + -(๐ด ยท ๐ถ)))
2119, 7negsubd 11599 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) + -(๐ด ยท ๐ถ)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
2220, 21eqtrd 2767 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (-(๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
2314, 22eqtrd 2767 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
245, 23eqtrd 2767 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ด ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  0cc0 11130   + caddc 11133   ยท cmul 11135   โˆ’ cmin 11466  -cneg 11467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11468  df-neg 11469
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02plem1  47778
  Copyright terms: Public domain W3C validator