MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsubaddmulsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsubaddmulsub 11727
Description: A special difference of a product with a product of a sum and a difference. (Contributed by AV, 5-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
mulsubaddmulsub (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶𝐷))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem mulsubaddmulsub
StepHypRef Expression
1 simplr 769 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 simprl 771 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
31, 2mulcld 11281 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
4 subaddmulsub 11726 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶𝐷))) = ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · 𝐶)) − (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))
53, 4mpd3an3 1464 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶𝐷))) = ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · 𝐶)) − (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))
6 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
76, 2mulcld 11281 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
83, 7, 3sub32d 11652 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · 𝐶)) − (𝐵 · 𝐶)) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) − (𝐴 · 𝐶)))
93subidd 11608 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = 0)
109oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) − (𝐴 · 𝐶)) = (0 − (𝐴 · 𝐶)))
118, 10eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · 𝐶)) − (𝐵 · 𝐶)) = (0 − (𝐴 · 𝐶)))
12 df-neg 11495 . . . . 5 -(𝐴 · 𝐶) = (0 − (𝐴 · 𝐶))
1311, 12eqtr4di 2795 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · 𝐶)) − (𝐵 · 𝐶)) = -(𝐴 · 𝐶))
1413oveq1d 7446 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · 𝐶)) − (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) = (-(𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))
157negcld 11607 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → -(𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
16 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
176, 16mulcld 11281 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
181, 16mulcld 11281 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
1917, 18addcld 11280 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
2015, 19addcomd 11463 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (-(𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) + -(𝐴 · 𝐶)))
2119, 7negsubd 11626 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) + -(𝐴 · 𝐶)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) − (𝐴 · 𝐶)))
2220, 21eqtrd 2777 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (-(𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) − (𝐴 · 𝐶)))
2314, 22eqtrd 2777 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · 𝐶)) − (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) − (𝐴 · 𝐶)))
245, 23eqtrd 2777 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶𝐷))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) − (𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02plem1  48703
  Copyright terms: Public domain W3C validator