Theorem recexpr 11010

Description: The reciprocal of a positive real exists. Part of Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recexpr	⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 ·P 𝑥) = 1P)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexpr

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 <Q 𝑦 ↔ 𝑤 <Q 𝑦))
2	1	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑤 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
3	2	exbidv 1921	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑤 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
4	3	cbvabv 2800	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} = {𝑤 ∣ ∃𝑦(𝑤 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
5	4	reclem2pr 11007	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} ∈ P)
6	4	reclem4pr 11009	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}) = 1P)
7		oveq2 7397	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} → (𝐴 ·P 𝑥) = (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}))
8	7	eqeq1d 2732	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} → ((𝐴 ·P 𝑥) = 1P ↔ (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}) = 1P))
9	8	rspcev 3591	. 2 ⊢ (({𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} ∈ P ∧ (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}) = 1P) → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 ·P 𝑥) = 1P)
10	5, 6, 9	syl2anc 584	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 ·P 𝑥) = 1P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2708  ∃wrex 3054   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  *_Qcrq 10816   <_Q cltq 10817  Pcnp 10818  1_Pc1p 10819   ·_P cmp 10821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-omul 8441  df-er 8673  df-ni 10831  df-pli 10832  df-mi 10833  df-lti 10834  df-plpq 10867  df-mpq 10868  df-ltpq 10869  df-enq 10870  df-nq 10871  df-erq 10872  df-plq 10873  df-mq 10874  df-1nq 10875  df-rq 10876  df-ltnq 10877  df-np 10940  df-1p 10941  df-mp 10943

This theorem is referenced by:  recexsrlem  11062