Theorem recexpr 10980

Description: The reciprocal of a positive real exists. Part of Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recexpr	⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 ·P 𝑥) = 1P)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexpr

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 <Q 𝑦 ↔ 𝑤 <Q 𝑦))
2	1	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑤 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
3	2	exbidv 1921	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑤 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
4	3	cbvabv 2799	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} = {𝑤 ∣ ∃𝑦(𝑤 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
5	4	reclem2pr 10977	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} ∈ P)
6	4	reclem4pr 10979	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}) = 1P)
7		oveq2 7377	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} → (𝐴 ·P 𝑥) = (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}))
8	7	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} → ((𝐴 ·P 𝑥) = 1P ↔ (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}) = 1P))
9	8	rspcev 3585	. 2 ⊢ (({𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} ∈ P ∧ (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}) = 1P) → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 ·P 𝑥) = 1P)
10	5, 6, 9	syl2anc 584	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 ·P 𝑥) = 1P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  *_Qcrq 10786   <_Q cltq 10787  Pcnp 10788  1_Pc1p 10789   ·_P cmp 10791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-ni 10801  df-pli 10802  df-mi 10803  df-lti 10804  df-plpq 10837  df-mpq 10838  df-ltpq 10839  df-enq 10840  df-nq 10841  df-erq 10842  df-plq 10843  df-mq 10844  df-1nq 10845  df-rq 10846  df-ltnq 10847  df-np 10910  df-1p 10911  df-mp 10913

This theorem is referenced by:  recexsrlem  11032