Theorem recexpr 10738

Description: The reciprocal of a positive real exists. Part of Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recexpr	⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 ·P 𝑥) = 1P)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexpr

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 <Q 𝑦 ↔ 𝑤 <Q 𝑦))
2	1	anbi1d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑤 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
3	2	exbidv 1925	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑤 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
4	3	cbvabv 2812	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} = {𝑤 ∣ ∃𝑦(𝑤 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
5	4	reclem2pr 10735	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} ∈ P)
6	4	reclem4pr 10737	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}) = 1P)
7		oveq2 7263	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} → (𝐴 ·P 𝑥) = (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}))
8	7	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} → ((𝐴 ·P 𝑥) = 1P ↔ (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}) = 1P))
9	8	rspcev 3552	. 2 ⊢ (({𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} ∈ P ∧ (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}) = 1P) → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 ·P 𝑥) = 1P)
10	5, 6, 9	syl2anc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 ·P 𝑥) = 1P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  *_Qcrq 10544   <_Q cltq 10545  Pcnp 10546  1_Pc1p 10547   ·_P cmp 10549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ni 10559  df-pli 10560  df-mi 10561  df-lti 10562  df-plpq 10595  df-mpq 10596  df-ltpq 10597  df-enq 10598  df-nq 10599  df-erq 10600  df-plq 10601  df-mq 10602  df-1nq 10603  df-rq 10604  df-ltnq 10605  df-np 10668  df-1p 10669  df-mp 10671

This theorem is referenced by:  recexsrlem  10790