Theorem recexpr 11120

Description: The reciprocal of a positive real exists. Part of Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recexpr	⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 ·P 𝑥) = 1P)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexpr

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 <Q 𝑦 ↔ 𝑤 <Q 𝑦))
2	1	anbi1d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑤 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
3	2	exbidv 1920	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑤 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
4	3	cbvabv 2815	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} = {𝑤 ∣ ∃𝑦(𝑤 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
5	4	reclem2pr 11117	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} ∈ P)
6	4	reclem4pr 11119	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}) = 1P)
7		oveq2 7456	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} → (𝐴 ·P 𝑥) = (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}))
8	7	eqeq1d 2742	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} → ((𝐴 ·P 𝑥) = 1P ↔ (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}) = 1P))
9	8	rspcev 3635	. 2 ⊢ (({𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)} ∈ P ∧ (𝐴 ·P {𝑧 ∣ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}) = 1P) → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 ·P 𝑥) = 1P)
10	5, 6, 9	syl2anc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 ·P 𝑥) = 1P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  *_Qcrq 10926   <_Q cltq 10927  Pcnp 10928  1_Pc1p 10929   ·_P cmp 10931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ni 10941  df-pli 10942  df-mi 10943  df-lti 10944  df-plpq 10977  df-mpq 10978  df-ltpq 10979  df-enq 10980  df-nq 10981  df-erq 10982  df-plq 10983  df-mq 10984  df-1nq 10985  df-rq 10986  df-ltnq 10987  df-np 11050  df-1p 11051  df-mp 11053

This theorem is referenced by:  recexsrlem  11172