Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1val 24255
 Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1leb.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1leb.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y 0 = (0g𝑅)
deg1leb.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1val (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Proof of Theorem deg1val
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 24239 . . 3 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3 eqid 2825 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4 deg1leb.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2825 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
6 deg1leb.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
74, 5, 6ply1bas 19925 . . 3 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8 deg1leb.y . . 3 0 = (0g𝑅)
9 psr1baslem 19915 . . 3 (ℕ0𝑚 1o) = {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
10 tdeglem2 24220 . . 3 (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑥))
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegval 24222 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup(((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
128fvexi 6447 . . . . . . . 8 0 ∈ V
13 suppimacnv 7570 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
1412, 13mpan2 684 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
1514imaeq2d 5707 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 }))))
16 imaco 5881 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
1715, 16syl6eqr 2879 . . . . 5 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) “ (V ∖ { 0 })))
18 deg1leb.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (coe1𝐹)
19 df1o2 7839 . . . . . . . . . 10 1o = {∅}
20 nn0ex 11625 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
21 0ex 5014 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
22 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))
2319, 20, 21, 22mapsncnv 8171 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
2418, 6, 4, 23coe1fval2 19940 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
2524cnveqd 5530 . . . . . . 7 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
26 cnvco 5540 . . . . . . . 8 (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹)
27 cocnvcnv1 5887 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) = ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹)
2826, 27eqtri 2849 . . . . . . 7 (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹)
2925, 28syl6req 2878 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) = 𝐴)
3029imaeq1d 5706 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
3117, 30eqtrd 2861 . . . 4 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
3218fvexi 6447 . . . . 5 𝐴 ∈ V
33 suppimacnv 7570 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 supp 0 ) = (𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
3433eqcomd 2831 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 ))
3532, 12, 34mp2an 685 . . . 4 (𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 )
3631, 35syl6eq 2877 . . 3 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 supp 0 ))
3736supeq1d 8621 . 2 (𝐹𝐵 → sup(((𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
3811, 37eqtrd 2861 1 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795  ∅c0 4144  {csn 4397   ↦ cmpt 4952  ◡ccnv 5341   “ cima 5345   ∘ ccom 5346  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   supp csupp 7559  1oc1o 7819   ↑𝑚 cmap 8122  supcsup 8615  ℝ*cxr 10390   < clt 10391  ℕ0cn0 11618  Basecbs 16222  0gc0g 16453   mPoly cmpl 19714  PwSer1cps1 19905  Poly1cpl1 19907  coe1cco1 19908   deg1 cdg1 24213 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-addf 10331  ax-mulf 10332 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-sup 8617  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-mgp 18844  df-ring 18903  df-cring 18904  df-psr 19717  df-mpl 19719  df-opsr 19721  df-psr1 19910  df-ply1 19912  df-coe1 19913  df-cnfld 20107  df-mdeg 24214  df-deg1 24215 This theorem is referenced by:  deg1mul3  24274  deg1mul3le  24275
 Copyright terms: Public domain W3C validator