Theorem deg1val 26155

Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1val	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Proof of Theorem deg1val

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2	1	deg1fval 26139	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1leb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		deg1leb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6	4, 5	ply1bas 22217	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7		deg1leb.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		psr1baslem 22207	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
9		tdeglem2 26120	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑥))
10	2, 3, 6, 7, 8, 9	mdegval 26122	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
11	7	fvexi 6934	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
12		suppimacnv 8215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
13	11, 12	mpan2 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 supp 0 ) = (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
14	13	imaeq2d 6089	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 }))))
15		imaco 6282	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
16	14, 15	eqtr4di 2798	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })))
17		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
18		df1o2 8529	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o = {∅}
19		nn0ex 12559	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
20		0ex 5325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
21		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))
22	18, 19, 20, 21	mapsncnv 8951	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
23	17, 5, 4, 22	coe1fval2 22233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
24	23	cnveqd 5900	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐴 = ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
25		cnvco 5910	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = (◡◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
26		cocnvcnv1 6288	. . . . . . . 8 ⊢ (◡◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
27	25, 26	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
28	24, 27	eqtr2di 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) = ◡𝐴)
29	28	imaeq1d 6088	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
30	16, 29	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
31	17	fvexi 6934	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
32		suppimacnv 8215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 supp 0 ) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
33	32	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 ))
34	31, 11, 33	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 )
35	30, 34	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 supp 0 ))
36	35	supeq1d 9515	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
37	10, 36	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973  ∅c0 4352  {csn 4648   ↦ cmpt 5249  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   supp csupp 8201  1_oc1o 8515   ↑_m cmap 8884  supcsup 9509  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  0_gc0g 17499   mPoly cmpl 21949  Poly₁cpl1 22199  coe₁cco1 22200  deg₁cdg1 26113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-mgp 20162  df-ring 20262  df-cring 20263  df-cnfld 21388  df-psr 21952  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-mdeg 26114  df-deg1 26115

This theorem is referenced by:  deg1mul3  26175  deg1mul3le  26176  ressdeg1  33556