Theorem deg1val 25976

Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1val	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Proof of Theorem deg1val

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2	1	deg1fval 25960	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2724	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1leb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		deg1leb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	ply1bas 22058	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		deg1leb.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		psr1baslem 22048	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
10		tdeglem2 25941	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑥))
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	mdegval 25943	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
12	8	fvexi 6896	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
13		suppimacnv 8154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
14	12, 13	mpan2 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 supp 0 ) = (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
15	14	imaeq2d 6050	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 }))))
16		imaco 6241	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
17	15, 16	eqtr4di 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })))
18		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
19		df1o2 8469	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o = {∅}
20		nn0ex 12477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
21		0ex 5298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
22		eqid 2724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))
23	19, 20, 21, 22	mapsncnv 8884	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
24	18, 6, 4, 23	coe1fval2 22073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
25	24	cnveqd 5866	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐴 = ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
26		cnvco 5876	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = (◡◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
27		cocnvcnv1 6247	. . . . . . . 8 ⊢ (◡◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
28	26, 27	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
29	25, 28	eqtr2di 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) = ◡𝐴)
30	29	imaeq1d 6049	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
31	17, 30	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
32	18	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
33		suppimacnv 8154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 supp 0 ) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
34	33	eqcomd 2730	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 ))
35	32, 12, 34	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 )
36	31, 35	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 supp 0 ))
37	36	supeq1d 9438	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
38	11, 37	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ∖ cdif 3938  ∅c0 4315  {csn 4621   ↦ cmpt 5222  ^◡ccnv 5666   “ cima 5670   ∘ ccom 5671  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   supp csupp 8141  1_oc1o 8455   ↑_m cmap 8817  supcsup 9432  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247  ℕ₀cn0 12471  Basecbs 17149  0_gc0g 17390   mPoly cmpl 21789  PwSer₁cps1 22038  Poly₁cpl1 22040  coe₁cco1 22041   deg₁ cdg1 25931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-mgp 20036  df-ring 20136  df-cring 20137  df-cnfld 21235  df-psr 21792  df-mpl 21794  df-opsr 21796  df-psr1 22043  df-ply1 22045  df-coe1 22046  df-mdeg 25932  df-deg1 25933

This theorem is referenced by:  deg1mul3  25995  deg1mul3le  25996  ressdeg1  33140