MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1val 25412
Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1leb.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1leb.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y 0 = (0g𝑅)
deg1leb.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1val (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Proof of Theorem deg1val
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 25396 . . 3 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3 eqid 2737 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4 deg1leb.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2737 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
6 deg1leb.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
74, 5, 6ply1bas 21517 . . 3 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8 deg1leb.y . . 3 0 = (0g𝑅)
9 psr1baslem 21507 . . 3 (ℕ0m 1o) = {𝑦 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
10 tdeglem2 25377 . . 3 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑥))
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegval 25379 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup(((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
128fvexi 6853 . . . . . . . 8 0 ∈ V
13 suppimacnv 8097 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
1412, 13mpan2 689 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
1514imaeq2d 6011 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 }))))
16 imaco 6201 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
1715, 16eqtr4di 2795 . . . . 5 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) “ (V ∖ { 0 })))
18 deg1leb.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (coe1𝐹)
19 df1o2 8411 . . . . . . . . . 10 1o = {∅}
20 nn0ex 12377 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
21 0ex 5262 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
22 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))
2319, 20, 21, 22mapsncnv 8789 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
2418, 6, 4, 23coe1fval2 21532 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
2524cnveqd 5829 . . . . . . 7 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
26 cnvco 5839 . . . . . . . 8 (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹)
27 cocnvcnv1 6207 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) = ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹)
2826, 27eqtri 2765 . . . . . . 7 (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹)
2925, 28eqtr2di 2794 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) = 𝐴)
3029imaeq1d 6010 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
3117, 30eqtrd 2777 . . . 4 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
3218fvexi 6853 . . . . 5 𝐴 ∈ V
33 suppimacnv 8097 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 supp 0 ) = (𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
3433eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 ))
3532, 12, 34mp2an 690 . . . 4 (𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 )
3631, 35eqtrdi 2793 . . 3 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 supp 0 ))
3736supeq1d 9340 . 2 (𝐹𝐵 → sup(((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
3811, 37eqtrd 2777 1 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  cdif 3905  c0 4280  {csn 4584  cmpt 5186  ccnv 5630  cima 5634  ccom 5635  cfv 6493  (class class class)co 7351   supp csupp 8084  1oc1o 8397  m cmap 8723  supcsup 9334  *cxr 11146   < clt 11147  0cn0 12371  Basecbs 17042  0gc0g 17280   mPoly cmpl 21260  PwSer1cps1 21497  Poly1cpl1 21499  coe1cco1 21500   deg1 cdg1 25367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-hash 14184  df-struct 16978  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-starv 17107  df-sca 17108  df-vsca 17109  df-tset 17111  df-ple 17112  df-ds 17114  df-unif 17115  df-0g 17282  df-gsum 17283  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-grp 18710  df-mulg 18831  df-cntz 19055  df-cmn 19522  df-mgp 19855  df-ring 19919  df-cring 19920  df-cnfld 20749  df-psr 21263  df-mpl 21265  df-opsr 21267  df-psr1 21502  df-ply1 21504  df-coe1 21505  df-mdeg 25368  df-deg1 25369
This theorem is referenced by:  deg1mul3  25431  deg1mul3le  25432  ressdeg1  32091
  Copyright terms: Public domain W3C validator