Theorem deg1val 24256

Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1val	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Proof of Theorem deg1val

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2	1	deg1fval 24240	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2826	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1leb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2826	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		deg1leb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	ply1bas 19926	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		deg1leb.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		psr1baslem 19916	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1o) = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
10		tdeglem2 24221	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑥))
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	mdegval 24223	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
12	8	fvexi 6448	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
13		suppimacnv 7571	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
14	12, 13	mpan2 684	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 supp 0 ) = (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
15	14	imaeq2d 5708	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 }))))
16		imaco 5882	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
17	15, 16	syl6eqr 2880	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })))
18		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
19		df1o2 7840	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o = {∅}
20		nn0ex 11626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
21		0ex 5015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
22		eqid 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))
23	19, 20, 21, 22	mapsncnv 8172	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
24	18, 6, 4, 23	coe1fval2 19941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
25	24	cnveqd 5531	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐴 = ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
26		cnvco 5541	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = (◡◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
27		cocnvcnv1 5888	. . . . . . . 8 ⊢ (◡◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
28	26, 27	eqtri 2850	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
29	25, 28	syl6req 2879	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) = ◡𝐴)
30	29	imaeq1d 5707	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
31	17, 30	eqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
32	18	fvexi 6448	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
33		suppimacnv 7571	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 supp 0 ) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
34	33	eqcomd 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 ))
35	32, 12, 34	mp2an 685	. . . 4 ⊢ (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 )
36	31, 35	syl6eq 2878	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 supp 0 ))
37	36	supeq1d 8622	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
38	11, 37	eqtrd 2862	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3415   ∖ cdif 3796  ∅c0 4145  {csn 4398   ↦ cmpt 4953  ^◡ccnv 5342   “ cima 5346   ∘ ccom 5347  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   supp csupp 7560  1_oc1o 7820   ↑_𝑚 cmap 8123  supcsup 8616  ℝ^*cxr 10391   < clt 10392  ℕ₀cn0 11619  Basecbs 16223  0_gc0g 16454   mPoly cmpl 19715  PwSer₁cps1 19906  Poly₁cpl1 19908  coe₁cco1 19909   deg₁ cdg1 24214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-addf 10332  ax-mulf 10333

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-sup 8618  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-hash 13412  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-mulg 17896  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-mgp 18845  df-ring 18904  df-cring 18905  df-psr 19718  df-mpl 19720  df-opsr 19722  df-psr1 19911  df-ply1 19913  df-coe1 19914  df-cnfld 20108  df-mdeg 24215  df-deg1 24216

This theorem is referenced by:  deg1mul3  24275  deg1mul3le  24276