Theorem deg1val 24255

Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1val	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Proof of Theorem deg1val

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2	1	deg1fval 24239	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2825	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1leb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		deg1leb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	ply1bas 19925	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		deg1leb.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		psr1baslem 19915	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1o) = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
10		tdeglem2 24220	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑥))
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	mdegval 24222	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
12	8	fvexi 6447	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
13		suppimacnv 7570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
14	12, 13	mpan2 684	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 supp 0 ) = (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
15	14	imaeq2d 5707	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 }))))
16		imaco 5881	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
17	15, 16	syl6eqr 2879	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })))
18		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
19		df1o2 7839	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o = {∅}
20		nn0ex 11625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
21		0ex 5014	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
22		eqid 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))
23	19, 20, 21, 22	mapsncnv 8171	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
24	18, 6, 4, 23	coe1fval2 19940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
25	24	cnveqd 5530	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐴 = ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
26		cnvco 5540	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = (◡◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
27		cocnvcnv1 5887	. . . . . . . 8 ⊢ (◡◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
28	26, 27	eqtri 2849	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
29	25, 28	syl6req 2878	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) = ◡𝐴)
30	29	imaeq1d 5706	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
31	17, 30	eqtrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
32	18	fvexi 6447	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
33		suppimacnv 7570	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 supp 0 ) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
34	33	eqcomd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 ))
35	32, 12, 34	mp2an 685	. . . 4 ⊢ (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 )
36	31, 35	syl6eq 2877	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 supp 0 ))
37	36	supeq1d 8621	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
38	11, 37	eqtrd 2861	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795  ∅c0 4144  {csn 4397   ↦ cmpt 4952  ^◡ccnv 5341   “ cima 5345   ∘ ccom 5346  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   supp csupp 7559  1_oc1o 7819   ↑_𝑚 cmap 8122  supcsup 8615  ℝ^*cxr 10390   < clt 10391  ℕ₀cn0 11618  Basecbs 16222  0_gc0g 16453   mPoly cmpl 19714  PwSer₁cps1 19905  Poly₁cpl1 19907  coe₁cco1 19908   deg₁ cdg1 24213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-addf 10331  ax-mulf 10332

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-sup 8617  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-mgp 18844  df-ring 18903  df-cring 18904  df-psr 19717  df-mpl 19719  df-opsr 19721  df-psr1 19910  df-ply1 19912  df-coe1 19913  df-cnfld 20107  df-mdeg 24214  df-deg1 24215

This theorem is referenced by:  deg1mul3  24274  deg1mul3le  24275