MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1val 26045
Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1leb.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1leb.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y 0 = (0g𝑅)
deg1leb.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1val (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Proof of Theorem deg1val
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 26029 . . 3 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3 eqid 2728 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4 deg1leb.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2728 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
6 deg1leb.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
74, 5, 6ply1bas 22114 . . 3 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8 deg1leb.y . . 3 0 = (0g𝑅)
9 psr1baslem 22104 . . 3 (ℕ0m 1o) = {𝑦 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
10 tdeglem2 26010 . . 3 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑥))
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegval 26012 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup(((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
128fvexi 6911 . . . . . . . 8 0 ∈ V
13 suppimacnv 8179 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
1412, 13mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐹 supp 0 ) = (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
1514imaeq2d 6063 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 }))))
16 imaco 6255 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
1715, 16eqtr4di 2786 . . . . 5 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) “ (V ∖ { 0 })))
18 deg1leb.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (coe1𝐹)
19 df1o2 8494 . . . . . . . . . 10 1o = {∅}
20 nn0ex 12509 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
21 0ex 5307 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
22 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))
2319, 20, 21, 22mapsncnv 8912 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
2418, 6, 4, 23coe1fval2 22129 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
2524cnveqd 5878 . . . . . . 7 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
26 cnvco 5888 . . . . . . . 8 (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹)
27 cocnvcnv1 6261 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) = ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹)
2826, 27eqtri 2756 . . . . . . 7 (𝐹(𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹)
2925, 28eqtr2di 2785 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) = 𝐴)
3029imaeq1d 6062 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ 𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
3117, 30eqtrd 2768 . . . 4 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
3218fvexi 6911 . . . . 5 𝐴 ∈ V
33 suppimacnv 8179 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 supp 0 ) = (𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
3433eqcomd 2734 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 ))
3532, 12, 34mp2an 691 . . . 4 (𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 )
3631, 35eqtrdi 2784 . . 3 (𝐹𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 supp 0 ))
3736supeq1d 9470 . 2 (𝐹𝐵 → sup(((𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
3811, 37eqtrd 2768 1 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3471  cdif 3944  c0 4323  {csn 4629  cmpt 5231  ccnv 5677  cima 5681  ccom 5682  cfv 6548  (class class class)co 7420   supp csupp 8165  1oc1o 8480  m cmap 8845  supcsup 9464  *cxr 11278   < clt 11279  0cn0 12503  Basecbs 17180  0gc0g 17421   mPoly cmpl 21839  PwSer1cps1 22094  Poly1cpl1 22096  coe1cco1 22097   deg1 cdg1 26000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-mgp 20075  df-ring 20175  df-cring 20176  df-cnfld 21280  df-psr 21842  df-mpl 21844  df-opsr 21846  df-psr1 22099  df-ply1 22101  df-coe1 22102  df-mdeg 26001  df-deg1 26002
This theorem is referenced by:  deg1mul3  26064  deg1mul3le  26065  ressdeg1  33251
  Copyright terms: Public domain W3C validator