Theorem deg1val 26394

Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1val	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Proof of Theorem deg1val

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2	1	deg1fval 26378	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1leb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		deg1leb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6	4, 5	ply1bas 22493	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7		deg1leb.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		psr1baslem 22483	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
9		tdeglem2 26359	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑥))
10	2, 3, 6, 7, 8, 9	mdegval 26361	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
11	7	fvexi 6891	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
12		suppimacnv 8175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
13	11, 12	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 supp 0 ) = (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
14	13	imaeq2d 6054	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 }))))
15		imaco 6245	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
16	14, 15	eqtr4di 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })))
17		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
18		df1o2 8467	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o = {∅}
19		nn0ex 12593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
20		0ex 5261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
21		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))
22	18, 19, 20, 21	mapsncnv 8905	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
23	17, 5, 4, 22	coe1fval2 22508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
24	23	cnveqd 5853	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐴 = ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
25		cnvco 5867	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = (◡◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
26		cocnvcnv1 6252	. . . . . . . 8 ⊢ (◡◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
27	25, 26	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
28	24, 27	eqtr2di 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) = ◡𝐴)
29	28	imaeq1d 6053	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
30	16, 29	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
31	17	fvexi 6891	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
32		suppimacnv 8175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 supp 0 ) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
33	32	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 ))
34	31, 11, 33	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 )
35	30, 34	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 supp 0 ))
36	35	supeq1d 9422	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
37	10, 36	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  ∅c0 4279  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   supp csupp 8161  1_oc1o 8453   ↑_m cmap 8831  supcsup 9416  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  ℕ₀cn0 12587  Basecbs 17367  0_gc0g 17590   mPoly cmpl 22194  Poly₁cpl1 22475  coe₁cco1 22476  deg₁cdg1 26352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-mgp 20341  df-ring 20441  df-cring 20442  df-cnfld 21659  df-psr 22197  df-mpl 22199  df-opsr 22201  df-psr1 22478  df-ply1 22480  df-coe1 22481  df-mdeg 26353  df-deg1 26354

This theorem is used by:  deg1mul3  26414  deg1mul3le  26415  ressdeg1  34080