Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlid0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlid0b 39513
Description: A lattice translation is the identity iff its trace is zero. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlid0b.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlid0b.z 0 = (0.‘𝐾)
trlid0b.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlid0b.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlid0b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlid0b (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = 0 ))

Proof of Theorem trlid0b
StepHypRef Expression
1 trlid0b.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2731 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 trlid0b.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 trlid0b.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 trlid0b.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5trlnidatb 39512 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)))
7 trlid0b.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
87, 2, 3, 4, 5trlatn0 39507 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
96, 8bitrd 279 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
109necon4bid 2985 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939   I cid 5573  cres 5678  cfv 6543  Basecbs 17151  0.cp0 18386  Atomscatm 38597  HLchlt 38684  LHypclh 39319  LTrncltrn 39436  trLctrl 39493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8828  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38510  df-ol 38512  df-oml 38513  df-covers 38600  df-ats 38601  df-atl 38632  df-cvlat 38656  df-hlat 38685  df-lhyp 39323  df-laut 39324  df-ldil 39439  df-ltrn 39440  df-trl 39494
This theorem is referenced by:  trlnid  39514  trlcoat  40058  trlcone  40063  trljco  40075  tendoid  40108  tendoex  40310  dia0  40387
  Copyright terms: Public domain W3C validator