Theorem trlid0b 41501

Description: A lattice translation is the identity iff its trace is zero. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlid0b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlid0b.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
trlid0b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlid0b.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlid0b.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlid0b	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) = 0 ))

Proof of Theorem trlid0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlid0b.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		trlid0b.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		trlid0b.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		trlid0b.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	trlnidatb 41500	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)))
7		trlid0b.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
8	7, 2, 3, 4, 5	trlatn0 41495	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ))
9	6, 8	bitrd 282	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ))
10	9	necon4bid 3004	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   I cid 5552   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  0.cp0 18645  Atomscatm 40586  HLchlt 40673  LHypclh 41307  LTrncltrn 41424  trLctrl 41481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-map 8887  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-lhyp 41311  df-laut 41312  df-ldil 41427  df-ltrn 41428  df-trl 41482

This theorem is used by:  trlnid  41502  trlcoat  42046  trlcone  42051  trljco  42063  tendoid  42096  tendoex  42298  dia0  42375