Theorem trlid0b 40179

Description: A lattice translation is the identity iff its trace is zero. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlid0b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlid0b.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
trlid0b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlid0b.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlid0b.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlid0b	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) = 0 ))

Proof of Theorem trlid0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlid0b.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		trlid0b.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		trlid0b.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		trlid0b.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	trlnidatb 40178	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)))
7		trlid0b.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
8	7, 2, 3, 4, 5	trlatn0 40173	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ))
9	6, 8	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ))
10	9	necon4bid 2971	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   I cid 5535   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  0.cp0 18389  Atomscatm 39263  HLchlt 39350  LHypclh 39985  LTrncltrn 40102  trLctrl 40159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-lhyp 39989  df-laut 39990  df-ldil 40105  df-ltrn 40106  df-trl 40160

This theorem is referenced by:  trlnid  40180  trlcoat  40724  trlcone  40729  trljco  40741  tendoid  40774  tendoex  40976  dia0  41053