Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlid0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlid0b 37471
 Description: A lattice translation is the identity iff its trace is zero. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlid0b.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlid0b.z 0 = (0.‘𝐾)
trlid0b.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlid0b.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlid0b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlid0b (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = 0 ))

Proof of Theorem trlid0b
StepHypRef Expression
1 trlid0b.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2798 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 trlid0b.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 trlid0b.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 trlid0b.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5trlnidatb 37470 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)))
7 trlid0b.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
87, 2, 3, 4, 5trlatn0 37465 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
96, 8bitrd 282 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
109necon4bid 3032 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   I cid 5424   ↾ cres 5521  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  0.cp0 17639  Atomscatm 36556  HLchlt 36643  LHypclh 37277  LTrncltrn 37394  trLctrl 37451 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-map 8391  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36469  df-ol 36471  df-oml 36472  df-covers 36559  df-ats 36560  df-atl 36591  df-cvlat 36615  df-hlat 36644  df-lhyp 37281  df-laut 37282  df-ldil 37397  df-ltrn 37398  df-trl 37452 This theorem is referenced by:  trlnid  37472  trlcoat  38016  trlcone  38021  trljco  38033  tendoid  38066  tendoex  38268  dia0  38345
 Copyright terms: Public domain W3C validator