MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcmplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txcmplem1 23366
Description: Lemma for txcmp 23368. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txcmp.x 𝑋 = βˆͺ 𝑅
txcmp.y π‘Œ = βˆͺ 𝑆
txcmp.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Comp)
txcmp.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Comp)
txcmp.w (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
txcmp.u (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ π‘Š)
txcmp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
txcmplem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐴   𝑣,𝑒,𝑆   𝑒,π‘Œ,𝑣   𝑒,π‘Š,𝑣   𝑒,𝑋,𝑣   πœ‘,𝑒   𝑒,𝑅
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣)   𝐴(𝑣)   𝑅(𝑣)

Proof of Theorem txcmplem1
Dummy variables 𝑓 π‘˜ π‘Ÿ 𝑠 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcmp.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Comp)
2 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
3 txcmp.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘Œ)
4 opelxpi 5713 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
52, 3, 4syl2anr 596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
6 txcmp.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ π‘Š)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ π‘Š)
85, 7eleqtrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ βˆͺ π‘Š)
9 eluni2 4912 . . . . . . 7 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ βˆͺ π‘Š ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ π‘˜)
108, 9sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ π‘˜)
11 txcmp.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
1211adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Š βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
1312sselda 3982 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ π‘˜ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
14 txcmp.s . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Comp)
15 eltx 23293 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ Comp) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)))
161, 14, 15syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)))
1817biimpa 476 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜))
1913, 18syldan 590 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜))
20 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ⟨π‘₯, 𝐴⟩ β†’ (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ↔ ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))
2120anbi1d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ⟨π‘₯, 𝐴⟩ β†’ ((𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜) ↔ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)))
22212rexbidv 3218 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ⟨π‘₯, 𝐴⟩ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)))
2322rspccv 3609 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜) β†’ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ π‘˜ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)))
2419, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ π‘˜ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)))
25 opelxp1 5718 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
2625ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
27 opelxp2 5719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ 𝐴 ∈ 𝑠)
2827ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑠)
2928snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)) β†’ {𝐴} βŠ† 𝑠)
30 xpss2 5696 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴} βŠ† 𝑠 β†’ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)) β†’ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
32 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)
3331, 32sstrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)) β†’ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜)
3426, 33jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
3534ex 412 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ ((⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜)))
3635rexlimdvw 3159 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜)))
3736reximdv 3169 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜)))
3824, 37syld 47 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ π‘˜ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜)))
3938reximdva 3167 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ π‘˜ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜)))
4010, 39mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
41 rexcom 3286 . . . . . 6 (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
42 r19.42v 3189 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
4342rexbii 3093 . . . . . 6 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
4441, 43bitri 275 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
4540, 44sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
4645ralrimiva 3145 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
47 txcmp.x . . . 4 𝑋 = βˆͺ 𝑅
48 sseq2 4008 . . . 4 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘Ÿ) β†’ ((π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜ ↔ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))
4947, 48cmpcovf 23116 . . 3 ((𝑅 ∈ Comp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)(𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ))))
501, 46, 49syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)(𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ))))
51 txcmp.y . . . . . . . 8 π‘Œ = βˆͺ 𝑆
521ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑅 ∈ Comp)
53 cmptop 23120 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Comp β†’ 𝑆 ∈ Top)
5414, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Top)
5554ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
56 cmptop 23120 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Comp β†’ 𝑅 ∈ Top)
5752, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
58 txtop 23294 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
5957, 55, 58syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
60 simprrl 778 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š)
6160frnd 6725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ ran 𝑓 βŠ† π‘Š)
6211ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ π‘Š βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
6361, 62sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ ran 𝑓 βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
64 uniopn 22620 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top ∧ ran 𝑓 βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆)) β†’ βˆͺ ran 𝑓 ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
6559, 63, 64syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ βˆͺ ran 𝑓 ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
66 simprrr 779 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ))
67 ss2iun 5015 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘Ÿ))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘Ÿ))
69 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑑)
70 uniiun 5061 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝑑 = βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 π‘Ÿ
7169, 70eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 π‘Ÿ)
7271xpeq1d 5705 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ (𝑋 Γ— {𝐴}) = (βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 π‘Ÿ Γ— {𝐴}))
73 xpiundir 5747 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 π‘Ÿ Γ— {𝐴}) = βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴})
7472, 73eqtr2di 2788 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) = (𝑋 Γ— {𝐴}))
7560ffnd 6718 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑓 Fn 𝑑)
76 fniunfv 7249 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝑑 β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘Ÿ) = βˆͺ ran 𝑓)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘Ÿ) = βˆͺ ran 𝑓)
7868, 74, 773sstr3d 4028 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ (𝑋 Γ— {𝐴}) βŠ† βˆͺ ran 𝑓)
793ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝐴 ∈ π‘Œ)
8047, 51, 52, 55, 65, 78, 79txtube 23365 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ ran 𝑓))
81 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑓 ∈ V
8281rnex 7907 . . . . . . . . . . . . 13 ran 𝑓 ∈ V
8382elpw 4606 . . . . . . . . . . . 12 (ran 𝑓 ∈ 𝒫 π‘Š ↔ ran 𝑓 βŠ† π‘Š)
8461, 83sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ ran 𝑓 ∈ 𝒫 π‘Š)
85 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin))
8685elin2d 4199 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑑 ∈ Fin)
87 dffn4 6811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 Fn 𝑑 ↔ 𝑓:𝑑–ontoβ†’ran 𝑓)
8875, 87sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑓:𝑑–ontoβ†’ran 𝑓)
89 fofi 9342 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑑–ontoβ†’ran 𝑓) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
9086, 88, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
9184, 90elind 4194 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ ran 𝑓 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin))
92 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = ran 𝑓 β†’ βˆͺ 𝑣 = βˆͺ ran 𝑓)
9392sseq2d 4014 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = ran 𝑓 β†’ ((𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ ran 𝑓))
9493rspcev 3612 . . . . . . . . . . 11 ((ran 𝑓 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)
9594ex 412 . . . . . . . . . 10 (ran 𝑓 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ ran 𝑓 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣))
9691, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ ran 𝑓 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣))
9796anim2d 611 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ ran 𝑓) β†’ (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
9897reximdv 3169 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
9980, 98mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣))
10099expr 456 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑑) β†’ ((𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
101100exlimdv 1935 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
102101expimpd 453 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) β†’ ((𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
103102rexlimdva 3154 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)(𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
10450, 103mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8943  Topctop 22616  Compccmp 23111   Γ—t ctx 23285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-fin 8947  df-topgen 17394  df-top 22617  df-bases 22670  df-cmp 23112  df-tx 23287
This theorem is referenced by:  txcmplem2  23367
  Copyright terms: Public domain W3C validator