MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcmplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txcmplem1 23365
Description: Lemma for txcmp 23367. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txcmp.x 𝑋 = βˆͺ 𝑅
txcmp.y π‘Œ = βˆͺ 𝑆
txcmp.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Comp)
txcmp.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Comp)
txcmp.w (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
txcmp.u (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ π‘Š)
txcmp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
txcmplem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐴   𝑣,𝑒,𝑆   𝑒,π‘Œ,𝑣   𝑒,π‘Š,𝑣   𝑒,𝑋,𝑣   πœ‘,𝑒   𝑒,𝑅
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣)   𝐴(𝑣)   𝑅(𝑣)

Proof of Theorem txcmplem1
Dummy variables 𝑓 π‘˜ π‘Ÿ 𝑠 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcmp.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Comp)
2 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
3 txcmp.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘Œ)
4 opelxpi 5712 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
52, 3, 4syl2anr 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
6 txcmp.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ π‘Š)
76adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ π‘Š)
85, 7eleqtrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ βˆͺ π‘Š)
9 eluni2 4911 . . . . . . 7 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ βˆͺ π‘Š ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ π‘˜)
108, 9sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ π‘˜)
11 txcmp.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
1211adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Š βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
1312sselda 3981 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ π‘˜ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
14 txcmp.s . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Comp)
15 eltx 23292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ Comp) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)))
161, 14, 15syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)))
1716adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)))
1817biimpa 475 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜))
1913, 18syldan 589 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜))
20 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ⟨π‘₯, 𝐴⟩ β†’ (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ↔ ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))
2120anbi1d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ⟨π‘₯, 𝐴⟩ β†’ ((𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜) ↔ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)))
22212rexbidv 3217 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ⟨π‘₯, 𝐴⟩ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)))
2322rspccv 3608 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜) β†’ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ π‘˜ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)))
2419, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ π‘˜ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)))
25 opelxp1 5717 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
2625ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
27 opelxp2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ 𝐴 ∈ 𝑠)
2827ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑠)
2928snssd 4811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)) β†’ {𝐴} βŠ† 𝑠)
30 xpss2 5695 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴} βŠ† 𝑠 β†’ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)) β†’ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
32 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)
3331, 32sstrd 3991 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)) β†’ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜)
3426, 33jca 510 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
3534ex 411 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ ((⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜)))
3635rexlimdvw 3158 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜)))
3736reximdv 3168 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† π‘˜) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜)))
3824, 37syld 47 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ π‘˜ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜)))
3938reximdva 3166 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ π‘˜ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜)))
4010, 39mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
41 rexcom 3285 . . . . . 6 (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
42 r19.42v 3188 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
4342rexbii 3092 . . . . . 6 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
4441, 43bitri 274 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
4540, 44sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
4645ralrimiva 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜))
47 txcmp.x . . . 4 𝑋 = βˆͺ 𝑅
48 sseq2 4007 . . . 4 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘Ÿ) β†’ ((π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜ ↔ (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))
4947, 48cmpcovf 23115 . . 3 ((𝑅 ∈ Comp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘Š (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)(𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ))))
501, 46, 49syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)(𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ))))
51 txcmp.y . . . . . . . 8 π‘Œ = βˆͺ 𝑆
521ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑅 ∈ Comp)
53 cmptop 23119 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Comp β†’ 𝑆 ∈ Top)
5414, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Top)
5554ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
56 cmptop 23119 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Comp β†’ 𝑅 ∈ Top)
5752, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
58 txtop 23293 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
5957, 55, 58syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
60 simprrl 777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š)
6160frnd 6724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ ran 𝑓 βŠ† π‘Š)
6211ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ π‘Š βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
6361, 62sstrd 3991 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ ran 𝑓 βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
64 uniopn 22619 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top ∧ ran 𝑓 βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆)) β†’ βˆͺ ran 𝑓 ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
6559, 63, 64syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ βˆͺ ran 𝑓 ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
66 simprrr 778 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ))
67 ss2iun 5014 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘Ÿ))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘Ÿ))
69 simprl 767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑑)
70 uniiun 5060 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝑑 = βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 π‘Ÿ
7169, 70eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 π‘Ÿ)
7271xpeq1d 5704 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ (𝑋 Γ— {𝐴}) = (βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 π‘Ÿ Γ— {𝐴}))
73 xpiundir 5746 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 π‘Ÿ Γ— {𝐴}) = βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴})
7472, 73eqtr2di 2787 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) = (𝑋 Γ— {𝐴}))
7560ffnd 6717 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑓 Fn 𝑑)
76 fniunfv 7248 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝑑 β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘Ÿ) = βˆͺ ran 𝑓)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘Ÿ) = βˆͺ ran 𝑓)
7868, 74, 773sstr3d 4027 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ (𝑋 Γ— {𝐴}) βŠ† βˆͺ ran 𝑓)
793ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝐴 ∈ π‘Œ)
8047, 51, 52, 55, 65, 78, 79txtube 23364 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ ran 𝑓))
81 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑓 ∈ V
8281rnex 7905 . . . . . . . . . . . . 13 ran 𝑓 ∈ V
8382elpw 4605 . . . . . . . . . . . 12 (ran 𝑓 ∈ 𝒫 π‘Š ↔ ran 𝑓 βŠ† π‘Š)
8461, 83sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ ran 𝑓 ∈ 𝒫 π‘Š)
85 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin))
8685elin2d 4198 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑑 ∈ Fin)
87 dffn4 6810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 Fn 𝑑 ↔ 𝑓:𝑑–ontoβ†’ran 𝑓)
8875, 87sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ 𝑓:𝑑–ontoβ†’ran 𝑓)
89 fofi 9340 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑑–ontoβ†’ran 𝑓) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
9086, 88, 89syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
9184, 90elind 4193 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ ran 𝑓 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin))
92 unieq 4918 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = ran 𝑓 β†’ βˆͺ 𝑣 = βˆͺ ran 𝑓)
9392sseq2d 4013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = ran 𝑓 β†’ ((𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ ran 𝑓))
9493rspcev 3611 . . . . . . . . . . 11 ((ran 𝑓 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)
9594ex 411 . . . . . . . . . 10 (ran 𝑓 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ ran 𝑓 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣))
9691, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ ran 𝑓 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣))
9796anim2d 610 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ ran 𝑓) β†’ (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
9897reximdv 3168 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ ran 𝑓) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
9980, 98mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣))
10099expr 455 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑑) β†’ ((𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
101100exlimdv 1934 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
102101expimpd 452 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) β†’ ((𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
103102rexlimdva 3153 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)(𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑑 (π‘Ÿ Γ— {𝐴}) βŠ† (π‘“β€˜π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
10450, 103mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  Topctop 22615  Compccmp 23110   Γ—t ctx 23284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-tx 23286
This theorem is referenced by:  txcmplem2  23366
  Copyright terms: Public domain W3C validator