MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmi 25133
Description: The uniform limit property. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulm2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulm2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulm2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulm2.b ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = 𝐵)
ulm2.a ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = 𝐴)
ulmi.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
ulmi.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ulmi (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑧,𝐹   𝑗,𝐺,𝑘,𝑧   𝑗,𝑀,𝑘,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧   𝐴,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘,𝑧   𝑆,𝑗,𝑘,𝑧   𝑗,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ulmi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5034 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
21ralbidv 3109 . . 3 (𝑥 = 𝐶 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
32rexralbidv 3211 . 2 (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
4 ulmi.u . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
5 ulm2.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 ulm2.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 ulm2.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8 ulm2.b . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = 𝐵)
9 ulm2.a . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = 𝐴)
10 ulmcl 25128 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
114, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
12 ulmscl 25126 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
134, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
145, 6, 7, 8, 9, 11, 13ulm2 25132 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥))
154, 14mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)
16 ulmi.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
173, 15, 16rspcdva 3528 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  wrex 3054  Vcvv 3398   class class class wbr 5030  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437  cc 10613   < clt 10753  cmin 10948  cz 12062  cuz 12324  +crp 12472  abscabs 14683  𝑢culm 25123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-neg 10951  df-z 12063  df-uz 12325  df-ulm 25124
This theorem is referenced by:  ulmshftlem  25136  ulmcau  25142  ulmbdd  25145  ulmcn  25146  iblulm  25154  itgulm  25155
  Copyright terms: Public domain W3C validator