MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmi 26443
Description: The uniform limit property. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulm2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulm2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulm2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulm2.b ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = 𝐵)
ulm2.a ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = 𝐴)
ulmi.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
ulmi.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ulmi (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑧,𝐹   𝑗,𝐺,𝑘,𝑧   𝑗,𝑀,𝑘,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧   𝐴,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘,𝑧   𝑆,𝑗,𝑘,𝑧   𝑗,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ulmi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5151 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
21ralbidv 3175 . . 3 (𝑥 = 𝐶 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
32rexralbidv 3220 . 2 (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
4 ulmi.u . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
5 ulm2.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 ulm2.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 ulm2.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8 ulm2.b . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = 𝐵)
9 ulm2.a . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = 𝐴)
10 ulmcl 26438 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
114, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
12 ulmscl 26436 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
134, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
145, 6, 7, 8, 9, 11, 13ulm2 26442 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥))
154, 14mpbid 232 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)
16 ulmi.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
173, 15, 16rspcdva 3622 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477   class class class wbr 5147  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  cc 11150   < clt 11292  cmin 11489  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  abscabs 15269  𝑢culm 26433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876  df-ulm 26434
This theorem is referenced by:  ulmshftlem  26446  ulmcau  26452  ulmbdd  26455  ulmcn  26456  iblulm  26464  itgulm  26465
  Copyright terms: Public domain W3C validator