Theorem ulmi 24481

Description: The uniform limit property. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulm2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulm2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulm2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
ulm2.b	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = 𝐵)
ulm2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = 𝐴)
ulmi.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
ulmi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ulmi	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑧,𝐹   𝑗,𝐺,𝑘,𝑧   𝑗,𝑀,𝑘,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧   𝐴,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘,𝑧   𝑆,𝑗,𝑘,𝑧   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ulmi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4847	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶))
2	1	ralbidv 3167	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶))
3	2	rexralbidv 3239	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶))
4		ulmi.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
5		ulm2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		ulm2.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		ulm2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
8		ulm2.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = 𝐵)
9		ulm2.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = 𝐴)
10		ulmcl 24476	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
11	4, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
12		ulmscl 24474	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
13	4, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
14	5, 6, 7, 8, 9, 11, 13	ulm2 24480	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))
15	4, 14	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)
16		ulmi.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
17	3, 15, 16	rspcdva 3503	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  Vcvv 3385   class class class wbr 4843  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ↑_𝑚 cmap 8095  ℂcc 10222   < clt 10363   − cmin 10556  ℤcz 11666  ℤ_≥cuz 11930  ℝ⁺crp 12074  abscabs 14315  ⇝_𝑢culm 24471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-neg 10559  df-z 11667  df-uz 11931  df-ulm 24472

This theorem is referenced by:  ulmshftlem  24484  ulmcau  24490  ulmbdd  24493  ulmcn  24494  iblulm  24502  itgulm  24503