MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmi 25761
Description: The uniform limit property. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulm2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulm2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulm2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
ulm2.b ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = 𝐡)
ulm2.a ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = 𝐴)
ulmi.u (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
ulmi.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ulmi (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < 𝐢)
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,𝑧,𝐹   𝑗,𝐺,π‘˜,𝑧   𝑗,𝑀,π‘˜,𝑧   πœ‘,𝑗,π‘˜,𝑧   𝐴,𝑗,π‘˜   𝐢,𝑗,π‘˜,𝑧   𝑆,𝑗,π‘˜,𝑧   𝑗,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐡(𝑧,𝑗,π‘˜)   𝑍(𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem ulmi
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5114 . . . 4 (π‘₯ = 𝐢 β†’ ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < 𝐢))
21ralbidv 3175 . . 3 (π‘₯ = 𝐢 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < 𝐢))
32rexralbidv 3215 . 2 (π‘₯ = 𝐢 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < 𝐢))
4 ulmi.u . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
5 ulm2.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 ulm2.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 ulm2.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
8 ulm2.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = 𝐡)
9 ulm2.a . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = 𝐴)
10 ulmcl 25756 . . . . 5 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
114, 10syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
12 ulmscl 25754 . . . . 5 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
134, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
145, 6, 7, 8, 9, 11, 13ulm2 25760 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
154, 14mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
16 ulmi.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
173, 15, 16rspcdva 3585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   class class class wbr 5110  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  abscabs 15126  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-neg 11395  df-z 12507  df-uz 12771  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  ulmshftlem  25764  ulmcau  25770  ulmbdd  25773  ulmcn  25774  iblulm  25782  itgulm  25783
  Copyright terms: Public domain W3C validator