Theorem ulmi 26713

Description: The uniform limit property. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulm2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulm2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulm2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulm2.b	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = 𝐵)
ulm2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = 𝐴)
ulmi.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
ulmi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ulmi	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑧,𝐹   𝑗,𝐺,𝑘,𝑧   𝑗,𝑀,𝑘,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧   𝐴,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘,𝑧   𝑆,𝑗,𝑘,𝑧   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧, 𝑗, 𝑘)   𝑍(𝑧, 𝑘)

Proof of Theorem ulmi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5107	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶))
2	1	ralbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶))
3	2	rexralbidv 3229	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶))
4		ulmi.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
5		ulm2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		ulm2.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		ulm2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8		ulm2.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = 𝐵)
9		ulm2.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = 𝐴)
10		ulmcl 26708	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
11	4, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
12		ulmscl 26706	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
13	4, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
14	5, 6, 7, 8, 9, 11, 13	ulm2 26712	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))
15	4, 14	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)
16		ulmi.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
17	3, 15, 16	rspcdva 3578	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  ℂcc 11198   < clt 11343   − cmin 11541  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  abscabs 15401  ⇝_𝑢culm 26703

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-neg 11544  df-z 12694  df-uz 12966  df-ulm 26704

This theorem is used by:  ulmshftlem  26716  ulmcau  26722  ulmbdd  26725  ulmcn  26726  iblulm  26734  itgulm  26735