Theorem ulmi 26600

Description: The uniform limit property. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulm2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulm2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulm2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulm2.b	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = 𝐵)
ulm2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = 𝐴)
ulmi.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
ulmi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ulmi	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑧,𝐹   𝑗,𝐺,𝑘,𝑧   𝑗,𝑀,𝑘,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧   𝐴,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘,𝑧   𝑆,𝑗,𝑘,𝑧   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧, 𝑗, 𝑘)   𝑍(𝑧, 𝑘)

Proof of Theorem ulmi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5115	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶))
2	1	ralbidv 3190	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶))
3	2	rexralbidv 3233	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶))
4		ulmi.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
5		ulm2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		ulm2.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		ulm2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8		ulm2.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = 𝐵)
9		ulm2.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = 𝐴)
10		ulmcl 26595	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
11	4, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
12		ulmscl 26593	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
13	4, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
14	5, 6, 7, 8, 9, 11, 13	ulm2 26599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))
15	4, 14	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)
16		ulmi.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
17	3, 15, 16	rspcdva 3584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  ℂcc 11113   < clt 11258   − cmin 11456  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15309  ⇝_𝑢culm 26590

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-neg 11459  df-z 12607  df-uz 12879  df-ulm 26591

This theorem is used by:  ulmshftlem  26603  ulmcau  26609  ulmbdd  26612  ulmcn  26613  iblulm  26621  itgulm  26622