MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmi 26367
Description: The uniform limit property. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulm2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulm2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulm2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulm2.b ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = 𝐵)
ulm2.a ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = 𝐴)
ulmi.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
ulmi.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ulmi (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑧,𝐹   𝑗,𝐺,𝑘,𝑧   𝑗,𝑀,𝑘,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧   𝐴,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘,𝑧   𝑆,𝑗,𝑘,𝑧   𝑗,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ulmi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5153 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
21ralbidv 3167 . . 3 (𝑥 = 𝐶 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
32rexralbidv 3210 . 2 (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
4 ulmi.u . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
5 ulm2.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 ulm2.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 ulm2.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8 ulm2.b . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = 𝐵)
9 ulm2.a . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = 𝐴)
10 ulmcl 26362 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
114, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
12 ulmscl 26360 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
134, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
145, 6, 7, 8, 9, 11, 13ulm2 26366 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥))
154, 14mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)
16 ulmi.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
173, 15, 16rspcdva 3607 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461   class class class wbr 5149  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  cc 11138   < clt 11280  cmin 11476  cz 12591  cuz 12855  +crp 13009  abscabs 15217  𝑢culm 26357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-neg 11479  df-z 12592  df-uz 12856  df-ulm 26358
This theorem is referenced by:  ulmshftlem  26370  ulmcau  26376  ulmbdd  26379  ulmcn  26380  iblulm  26388  itgulm  26389
  Copyright terms: Public domain W3C validator