MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmshftlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmshftlem 25748
Description: Lemma for ulmshft 25749. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmshft.w 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmshft.h (𝜑𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
Assertion
Ref Expression
ulmshftlem (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshftlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑚 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 ulmshft.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 ulmshft.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
54ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
6 eqidd 2737 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑚𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑚)‘𝑧) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
7 eqidd 2737 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
8 simplr 767 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
9 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
101, 3, 5, 6, 7, 8, 9ulmi 25745 . . . . 5 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑖𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
11 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
1211, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
13 ulmshft.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1413ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
15 eluzadd 12792 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
1612, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑖 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
17 ulmshft.w . . . . . . . 8 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
1816, 17eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑖 + 𝐾) ∈ 𝑊)
19 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
2012, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝑖 ∈ ℤ)
2213adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐾 ∈ ℤ)
2322ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
24 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾)))
25 eluzsub 12793 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))) → (𝑘𝐾) ∈ (ℤ𝑖))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))) → (𝑘𝐾) ∈ (ℤ𝑖))
27 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘𝐾) → (𝐹𝑚) = (𝐹‘(𝑘𝐾)))
2827fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘𝐾) → ((𝐹𝑚)‘𝑧) = ((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧))
2928fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘𝐾) → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))))
3029breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑘𝐾) → ((abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
3130ralbidv 3174 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑘𝐾) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
3231rspcv 3577 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝐾) ∈ (ℤ𝑖) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
3326, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
3433ralrimdva 3151 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
35 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(𝑖 + 𝐾)))
3635raleqdv 3313 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
3736rspcev 3581 . . . . . . 7 (((𝑖 + 𝐾) ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
3818, 34, 37syl6an 682 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
3938rexlimdva 3152 . . . . 5 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑖𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑖)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
4010, 39mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
4140ralrimiva 3143 . . 3 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
422, 13zaddcld 12611 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
4342adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
44 ulmshft.h . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
454adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
462adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
4713adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
48 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑛𝑊)
4948, 17eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
50 eluzsub 12793 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
5146, 47, 49, 50syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝑛𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
5251, 1eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝑛𝐾) ∈ 𝑍)
5345, 52ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐹‘(𝑛𝐾)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
5444, 53fmpt3d 7064 . . . . 5 (𝜑𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
5554adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
5644ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → 𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
5756fveq1d 6844 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → (𝐻𝑘) = ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘𝑘))
58 fvoveq1 7380 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛𝐾)) = (𝐹‘(𝑘𝐾)))
59 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))) = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))
60 fvex 6855 . . . . . . . 8 (𝐹‘(𝑘𝐾)) ∈ V
6158, 59, 60fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑘𝑊 → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘𝐾)))
6261ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘𝐾)))
6357, 62eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝑘𝐾)))
6463fveq1d 6844 . . . 4 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → ((𝐻𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧))
65 eqidd 2737 . . . 4 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
66 ulmcl 25740 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
6766adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
68 ulmscl 25738 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
6968adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝑆 ∈ V)
7017, 43, 55, 64, 65, 67, 69ulm2 25744 . . 3 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → (𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘𝐾))‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
7141, 70mpbird 256 . 2 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺)
7271ex 413 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  cc 11049   + caddc 11054   < clt 11189  cmin 11385  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  abscabs 15119  𝑢culm 25735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-ulm 25736
This theorem is referenced by:  ulmshft  25749
  Copyright terms: Public domain W3C validator