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Theorem ulmshftlem 26280
Description: Lemma for ulmshft 26281. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmshft.w π‘Š = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmshft.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
ulmshft.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
ulmshft.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾))))
Assertion
Ref Expression
ulmshftlem (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑛   𝑛,π‘Š   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshftlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘˜ π‘š π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 ulmshft.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
32ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 ulmshft.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
54ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
6 eqidd 2727 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘š ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))
7 eqidd 2727 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
8 simplr 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
9 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
101, 3, 5, 6, 7, 8, 9ulmi 26277 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
11 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
1211, 1eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
13 ulmshft.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
1413ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
15 eluzadd 12855 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝑖 + 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
1612, 14, 15syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 + 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
17 ulmshft.w . . . . . . . 8 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))
1816, 17eleqtrrdi 2838 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 + 𝐾) ∈ π‘Š)
19 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
2012, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
2120adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
2213adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
2322ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
24 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾)))
25 eluzsub 12856 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–))
27 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
2827fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§))
2928fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))))
3029breq1d 5151 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3130ralbidv 3171 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3231rspcv 3602 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3326, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3433ralrimdva 3148 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
35 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾)))
3635raleqdv 3319 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3736rspcev 3606 . . . . . . 7 (((𝑖 + 𝐾) ∈ π‘Š ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
3818, 34, 37syl6an 681 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3938rexlimdva 3149 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
4010, 39mpd 15 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
4140ralrimiva 3140 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
422, 13zaddcld 12674 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„€)
4342adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„€)
44 ulmshft.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾))))
454adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
462adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4713adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
48 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝑛 ∈ π‘Š)
4948, 17eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
50 eluzsub 12856 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5146, 47, 49, 50syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5251, 1eleqtrrdi 2838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑍)
5345, 52ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
5444, 53fmpt3d 7111 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘ŠβŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
5554adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐻:π‘ŠβŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
5644ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐻 = (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾))))
5756fveq1d 6887 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)))β€˜π‘˜))
58 fvoveq1 7428 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
59 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾))) = (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)))
60 fvex 6898 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)) ∈ V
6158, 59, 60fvmpt 6992 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ π‘Š β†’ ((𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
6261ad2antrl 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
6357, 62eqtrd 2766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
6463fveq1d 6887 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((π»β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§))
65 eqidd 2727 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
66 ulmcl 26272 . . . . 5 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
6766adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
68 ulmscl 26270 . . . . 5 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
6968adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝑆 ∈ V)
7017, 43, 55, 64, 65, 67, 69ulm2 26276 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ (𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
7141, 70mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
7271ex 412 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110   + caddc 11115   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12980  abscabs 15187  β‡π‘’culm 26267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-ulm 26268
This theorem is referenced by:  ulmshft  26281
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