Theorem ulmshftlem 26447

Description: Lemma for ulmshft 26448. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmshft.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmshft.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmshft.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))

Assertion

Ref	Expression
ulmshftlem	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshftlem

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑚 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmshft.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ulmshft.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		ulmshft.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
5	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
6		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
7		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
8		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
10	1, 3, 5, 6, 7, 8, 9	ulmi 26444	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
11		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ 𝑍)
12	11, 1	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		ulmshft.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
14	13	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
15		eluzadd 12905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
16	12, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
17		ulmshft.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
18	16, 17	eleqtrrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 + 𝐾) ∈ 𝑊)
19		eluzelz 12886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
20	12, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝑖 ∈ ℤ)
22	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐾 ∈ ℤ)
23	22	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
24		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾)))
25		eluzsub 12906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑖))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑖))
27		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
28	27	fveq1d 6909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑧) = ((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧))
29	28	fvoveq1d 7453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))))
30	29	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → ((abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
31	30	ralbidv 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
32	31	rspcv 3618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑖) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
33	26, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
34	33	ralrimdva 3152	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
35		fveq2 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾)))
36	35	raleqdv 3324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
37	36	rspcev 3622	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 + 𝐾) ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
38	18, 34, 37	syl6an 684	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
39	38	rexlimdva 3153	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
40	10, 39	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
41	40	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
42	2, 13	zaddcld 12724	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
44		ulmshft.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
45	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
46	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
47	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
48		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ 𝑊)
49	48, 17	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
50		eluzsub 12906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
52	51, 1	eleqtrrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ 𝑍)
53	45, 52	ffvelcdmd 7105	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
54	44, 53	fmpt3d 7136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
56	44	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
57	56	fveq1d 6909	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘𝑘))
58		fvoveq1 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
59		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))) = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))
60		fvex 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)) ∈ V
61	58, 59, 60	fvmpt 7016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
62	61	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
63	57, 62	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐻‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
64	63	fveq1d 6909	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐻‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧))
65		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
66		ulmcl 26439	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
67	66	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
68		ulmscl 26437	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
69	68	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝑆 ∈ V)
70	17, 43, 55, 64, 65, 67, 69	ulm2 26443	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → (𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
71	41, 70	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
72	71	ex 412	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  ℂcc 11151   + caddc 11156   < clt 11293   − cmin 11490  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15270  ⇝_𝑢culm 26434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-ulm 26435

This theorem is referenced by:  ulmshft  26448