Theorem ulmshftlem 25453

Description: Lemma for ulmshft 25454. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmshft.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmshft.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmshft.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))

Assertion

Ref	Expression
ulmshftlem	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshftlem

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑚 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmshft.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ulmshft.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		ulmshft.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
5	4	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
6		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
7		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
8		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
10	1, 3, 5, 6, 7, 8, 9	ulmi 25450	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
11		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ 𝑍)
12	11, 1	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		ulmshft.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
14	13	ad3antrrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
15		eluzadd 12542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
16	12, 14, 15	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
17		ulmshft.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
18	16, 17	eleqtrrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 + 𝐾) ∈ 𝑊)
19		eluzelz 12521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
20	12, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝑖 ∈ ℤ)
22	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐾 ∈ ℤ)
23	22	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
24		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾)))
25		eluzsub 12543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑖))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑖))
27		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
28	27	fveq1d 6758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑧) = ((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧))
29	28	fvoveq1d 7277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))))
30	29	breq1d 5080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → ((abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
31	30	ralbidv 3120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
32	31	rspcv 3547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑖) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
33	26, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
34	33	ralrimdva 3112	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
35		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾)))
36	35	raleqdv 3339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
37	36	rspcev 3552	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 + 𝐾) ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
38	18, 34, 37	syl6an 680	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
39	38	rexlimdva 3212	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
40	10, 39	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
41	40	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
42	2, 13	zaddcld 12359	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
44		ulmshft.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
45	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
46	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
47	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
48		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ 𝑊)
49	48, 17	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
50		eluzsub 12543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
52	51, 1	eleqtrrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ 𝑍)
53	45, 52	ffvelrnd 6944	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
54	44, 53	fmpt3d 6972	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
56	44	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
57	56	fveq1d 6758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘𝑘))
58		fvoveq1 7278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
59		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))) = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))
60		fvex 6769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)) ∈ V
61	58, 59, 60	fvmpt 6857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
62	61	ad2antrl 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
63	57, 62	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐻‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
64	63	fveq1d 6758	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐻‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧))
65		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
66		ulmcl 25445	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
67	66	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
68		ulmscl 25443	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
69	68	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝑆 ∈ V)
70	17, 43, 55, 64, 65, 67, 69	ulm2 25449	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → (𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
71	41, 70	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
72	71	ex 412	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  ℂcc 10800   + caddc 10805   < clt 10940   − cmin 11135  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  abscabs 14873  ⇝_𝑢culm 25440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-ulm 25441

This theorem is referenced by:  ulmshft  25454