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Theorem ulmshftlem 26341
Description: Lemma for ulmshft 26342. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmshft.w π‘Š = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmshft.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
ulmshft.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
ulmshft.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾))))
Assertion
Ref Expression
ulmshftlem (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑛   𝑛,π‘Š   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshftlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘˜ π‘š π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 ulmshft.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
32ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 ulmshft.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
54ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
6 eqidd 2726 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘š ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))
7 eqidd 2726 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
8 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
9 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
101, 3, 5, 6, 7, 8, 9ulmi 26338 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
11 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
1211, 1eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
13 ulmshft.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
1413ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
15 eluzadd 12879 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝑖 + 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
1612, 14, 15syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 + 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
17 ulmshft.w . . . . . . . 8 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))
1816, 17eleqtrrdi 2836 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 + 𝐾) ∈ π‘Š)
19 eluzelz 12860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
2012, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
2120adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
2213adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
2322ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
24 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾)))
25 eluzsub 12880 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–))
27 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
2827fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§))
2928fvoveq1d 7437 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))))
3029breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3130ralbidv 3168 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3231rspcv 3598 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3326, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3433ralrimdva 3144 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
35 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾)))
3635raleqdv 3315 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3736rspcev 3602 . . . . . . 7 (((𝑖 + 𝐾) ∈ π‘Š ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
3818, 34, 37syl6an 682 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3938rexlimdva 3145 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
4010, 39mpd 15 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
4140ralrimiva 3136 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
422, 13zaddcld 12698 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„€)
4342adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„€)
44 ulmshft.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾))))
454adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
462adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4713adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
48 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝑛 ∈ π‘Š)
4948, 17eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
50 eluzsub 12880 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5146, 47, 49, 50syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5251, 1eleqtrrdi 2836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑍)
5345, 52ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
5444, 53fmpt3d 7120 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘ŠβŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
5554adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐻:π‘ŠβŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
5644ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐻 = (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾))))
5756fveq1d 6893 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)))β€˜π‘˜))
58 fvoveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
59 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾))) = (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)))
60 fvex 6904 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)) ∈ V
6158, 59, 60fvmpt 6999 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ π‘Š β†’ ((𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
6261ad2antrl 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
6357, 62eqtrd 2765 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
6463fveq1d 6893 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((π»β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§))
65 eqidd 2726 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
66 ulmcl 26333 . . . . 5 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
6766adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
68 ulmscl 26331 . . . . 5 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
6968adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝑆 ∈ V)
7017, 43, 55, 64, 65, 67, 69ulm2 26337 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ (𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
7141, 70mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
7271ex 411 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8841  β„‚cc 11134   + caddc 11139   < clt 11276   βˆ’ cmin 11472  β„€cz 12586  β„€β‰₯cuz 12850  β„+crp 13004  abscabs 15211  β‡π‘’culm 26328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-ulm 26329
This theorem is referenced by:  ulmshft  26342
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