Theorem ulmshftlem 26433

Description: Lemma for ulmshft 26434. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmshft.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmshft.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmshft.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))

Assertion

Ref	Expression
ulmshftlem	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshftlem

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑚 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmshft.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ulmshft.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		ulmshft.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
5	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
6		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
7		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
8		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
10	1, 3, 5, 6, 7, 8, 9	ulmi 26430	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
11		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ 𝑍)
12	11, 1	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		ulmshft.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
14	13	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
15		eluzadd 12908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
16	12, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
17		ulmshft.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
18	16, 17	eleqtrrdi 2851	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 + 𝐾) ∈ 𝑊)
19		eluzelz 12889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
20	12, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝑖 ∈ ℤ)
22	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐾 ∈ ℤ)
23	22	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
24		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾)))
25		eluzsub 12909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑖))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑖))
27		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
28	27	fveq1d 6907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑧) = ((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧))
29	28	fvoveq1d 7454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))))
30	29	breq1d 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → ((abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
31	30	ralbidv 3177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
32	31	rspcv 3617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑖) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
33	26, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
34	33	ralrimdva 3153	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
35		fveq2 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾)))
36	35	raleqdv 3325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
37	36	rspcev 3621	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 + 𝐾) ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
38	18, 34, 37	syl6an 684	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
39	38	rexlimdva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
40	10, 39	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
41	40	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
42	2, 13	zaddcld 12728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
44		ulmshft.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
45	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
46	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
47	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
48		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ 𝑊)
49	48, 17	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
50		eluzsub 12909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
52	51, 1	eleqtrrdi 2851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ 𝑍)
53	45, 52	ffvelcdmd 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
54	44, 53	fmpt3d 7135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
56	44	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
57	56	fveq1d 6907	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘𝑘))
58		fvoveq1 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
59		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))) = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))
60		fvex 6918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)) ∈ V
61	58, 59, 60	fvmpt 7015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
62	61	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
63	57, 62	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐻‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
64	63	fveq1d 6907	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐻‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧))
65		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
66		ulmcl 26425	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
67	66	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
68		ulmscl 26423	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
69	68	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝑆 ∈ V)
70	17, 43, 55, 64, 65, 67, 69	ulm2 26429	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → (𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
71	41, 70	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
72	71	ex 412	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3479   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ↑_m cmap 8867  ℂcc 11154   + caddc 11159   < clt 11296   − cmin 11493  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  ℝ⁺crp 13035  abscabs 15274  ⇝_𝑢culm 26420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-ulm 26421

This theorem is referenced by:  ulmshft  26434