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Theorem ulmshftlem 25764
Description: Lemma for ulmshft 25765. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmshft.w π‘Š = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmshft.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
ulmshft.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
ulmshft.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾))))
Assertion
Ref Expression
ulmshftlem (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑛   𝑛,π‘Š   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshftlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘˜ π‘š π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 ulmshft.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
32ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 ulmshft.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
54ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
6 eqidd 2738 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘š ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))
7 eqidd 2738 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
8 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
9 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
101, 3, 5, 6, 7, 8, 9ulmi 25761 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
11 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
1211, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
13 ulmshft.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
1413ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
15 eluzadd 12799 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝑖 + 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
1612, 14, 15syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 + 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
17 ulmshft.w . . . . . . . 8 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))
1816, 17eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 + 𝐾) ∈ π‘Š)
19 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
2012, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
2120adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
2213adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
2322ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
24 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾)))
25 eluzsub 12800 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–))
27 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
2827fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§))
2928fvoveq1d 7384 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))))
3029breq1d 5120 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3130ralbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3231rspcv 3580 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3326, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3433ralrimdva 3152 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
35 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾)))
3635raleqdv 3316 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3736rspcev 3584 . . . . . . 7 (((𝑖 + 𝐾) ∈ π‘Š ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 𝐾))βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
3818, 34, 37syl6an 683 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
3938rexlimdva 3153 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
4010, 39mpd 15 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
4140ralrimiva 3144 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
422, 13zaddcld 12618 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„€)
4342adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„€)
44 ulmshft.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾))))
454adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
462adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4713adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
48 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝑛 ∈ π‘Š)
4948, 17eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾)))
50 eluzsub 12800 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 𝐾))) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5146, 47, 49, 50syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5251, 1eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑍)
5345, 52ffvelcdmd 7041 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
5444, 53fmpt3d 7069 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘ŠβŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
5554adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐻:π‘ŠβŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
5644ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐻 = (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾))))
5756fveq1d 6849 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)))β€˜π‘˜))
58 fvoveq1 7385 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
59 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾))) = (𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)))
60 fvex 6860 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)) ∈ V
6158, 59, 60fvmpt 6953 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ π‘Š β†’ ((𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
6261ad2antrl 727 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑛 ∈ π‘Š ↦ (πΉβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝐾)))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
6357, 62eqtrd 2777 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾)))
6463fveq1d 6849 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((π»β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§))
65 eqidd 2738 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
66 ulmcl 25756 . . . . 5 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
6766adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
68 ulmscl 25754 . . . . 5 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
6968adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝑆 ∈ V)
7017, 43, 55, 64, 65, 67, 69ulm2 25760 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ (𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝐾))β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
7141, 70mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
7271ex 414 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐻(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056   + caddc 11061   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  abscabs 15126  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  ulmshft  25765
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