Theorem ulmshftlem 26589

Description: Lemma for ulmshft 26590. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmshft.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmshft.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmshft.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))

Assertion

Ref	Expression
ulmshftlem	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshftlem

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑚 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmshft.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ulmshft.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		ulmshft.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
5	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
6		eqidd 2767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
7		eqidd 2767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
8		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
10	1, 3, 5, 6, 7, 8, 9	ulmi 26586	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
11		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ 𝑍)
12	11, 1	eleqtrdi 2876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		ulmshft.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
14	13	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
15		eluzadd 12909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
16	12, 14, 15	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
17		ulmshft.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
18	16, 17	eleqtrrdi 2877	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 + 𝐾) ∈ 𝑊)
19		eluzelz 12890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
20	12, 19	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝑖 ∈ ℤ)
22	13	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐾 ∈ ℤ)
23	22	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
24		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾)))
25		eluzsub 12910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑖))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑖))
27		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
28	27	fveq1d 6890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑧) = ((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧))
29	28	fvoveq1d 7445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))))
30	29	breq1d 5124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → ((abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
31	30	ralbidv 3191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 𝐾) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
32	31	rspcv 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑖) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
33	26, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
34	33	ralrimdva 3168	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
35		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾)))
36	35	raleqdv 3326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 𝐾) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
37	36	rspcev 3584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 + 𝐾) ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑖 + 𝐾))∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
38	18, 34, 37	syl6an 697	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
39	38	rexlimdva 3169	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
40	10, 39	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
41	40	ralrimiva 3160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
42	2, 13	zaddcld 12722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
43	42	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
44		ulmshft.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
45	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
46	2	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
47	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
48		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ 𝑊)
49	48, 17	eleqtrdi 2876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
50		eluzsub 12910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
52	51, 1	eleqtrrdi 2877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ 𝑍)
53	45, 52	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
54	44, 53	fmpt3d 7118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
55	54	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
56	44	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
57	56	fveq1d 6890	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘𝑘))
58		fvoveq1 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
59		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))) = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))
60		fvex 6901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)) ∈ V
61	58, 59, 60	fvmpt 6996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
62	61	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
63	57, 62	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐻‘𝑘) = (𝐹‘(𝑘 − 𝐾)))
64	63	fveq1d 6890	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐻‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧))
65		eqidd 2767	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
66		ulmcl 26581	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
67	66	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
68		ulmscl 26579	. . . . 5 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
69	68	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝑆 ∈ V)
70	17, 43, 55, 64, 65, 67, 69	ulm2 26585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → (𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘(𝑘 − 𝐾))‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
71	41, 70	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
72	71	ex 418	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833  ℂcc 11116   + caddc 11121   < clt 11261   − cmin 11459  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15311  ⇝_𝑢culm 26576

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-ulm 26577

This theorem is used by:  ulmshft  26590