Theorem unbnn2 9244

Description: Version of unbnn 9243 that does not require a strict upper bound. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unbnn2	⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝐴 ≈ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem unbnn2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 7866	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
2		sseq1 3972	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ suc 𝑧 ⊆ 𝑦))
3	2	rexbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 suc 𝑧 ⊆ 𝑦))
4	3	rspcv 3584	. . . . 5 ⊢ (suc 𝑧 ∈ ω → (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 suc 𝑧 ⊆ 𝑦))
5		sucssel 6429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ V → (suc 𝑧 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦))
6	5	elv 3452	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑧 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦)
7	6	reximi 3067	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 suc 𝑧 ⊆ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)
8	4, 7	syl6com 37	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → (suc 𝑧 ∈ ω → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦))
9	1, 8	syl5 34	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ∈ ω → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦))
10	9	ralrimiv 3124	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)
11		unbnn 9243	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝐴 ≈ ω)
12	10, 11	syl3an3 1165	1 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝐴 ≈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  suc csuc 6334  ωcom 7842   ≈ cen 8915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-en 8919  df-dom 8920

This theorem is referenced by: (None)