Theorem unbnn2 9220

Description: Version of unbnn 9219 that does not require a strict upper bound. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unbnn2	⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝐴 ≈ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem unbnn2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 7846	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
2		sseq1 3969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ suc 𝑧 ⊆ 𝑦))
3	2	rexbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 suc 𝑧 ⊆ 𝑦))
4	3	rspcv 3581	. . . . 5 ⊢ (suc 𝑧 ∈ ω → (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 suc 𝑧 ⊆ 𝑦))
5		sucssel 6417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ V → (suc 𝑧 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦))
6	5	elv 3449	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑧 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦)
7	6	reximi 3067	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 suc 𝑧 ⊆ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)
8	4, 7	syl6com 37	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → (suc 𝑧 ∈ ω → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦))
9	1, 8	syl5 34	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ∈ ω → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦))
10	9	ralrimiv 3124	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)
11		unbnn 9219	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝐴 ≈ ω)
12	10, 11	syl3an3 1165	1 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝐴 ≈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  suc csuc 6322  ωcom 7822   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-en 8896  df-dom 8897

This theorem is referenced by: (None)