Theorem unbnn2 9267

Description: Version of unbnn 9266 that does not require a strict upper bound. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unbnn2	⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝐴 ≈ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem unbnn2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 7886	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
2		sseq1 3956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ suc 𝑧 ⊆ 𝑦))
3	2	rexbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 suc 𝑧 ⊆ 𝑦))
4	3	rspcv 3572	. . . . 5 ⊢ (suc 𝑧 ∈ ω → (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 suc 𝑧 ⊆ 𝑦))
5		sucssel 6455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ V → (suc 𝑧 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦))
6	5	elv 3455	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑧 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦)
7	6	reximi 3100	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 suc 𝑧 ⊆ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)
8	4, 7	syl6com 38	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → (suc 𝑧 ∈ ω → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦))
9	1, 8	syl5 35	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ∈ ω → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦))
10	9	ralrimiv 3153	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)
11		unbnn 9266	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝐴 ≈ ω)
12	10, 11	syl3an3 1183	1 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝐴 ≈ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  suc csuc 6359  ωcom 7862   ≈ cen 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-en 8953  df-dom 8954

This theorem is used by: (None)