Theorem unbnn2 9260

Description: Version of unbnn 9259 that does not require a strict upper bound. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unbnn2	⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝐴 ≈ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem unbnn2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 7888	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
2		sseq1 3963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ suc 𝑧 ⊆ 𝑦))
3	2	rexbidv 3191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 suc 𝑧 ⊆ 𝑦))
4	3	rspcv 3579	. . . . 5 ⊢ (suc 𝑧 ∈ ω → (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 suc 𝑧 ⊆ 𝑦))
5		sucssel 6462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ V → (suc 𝑧 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦))
6	5	elv 3462	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑧 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦)
7	6	reximi 3105	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 suc 𝑧 ⊆ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)
8	4, 7	syl6com 38	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → (suc 𝑧 ∈ ω → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦))
9	1, 8	syl5 35	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → (𝑧 ∈ ω → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦))
10	9	ralrimiv 3158	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)
11		unbnn 9259	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝐴 ≈ ω)
12	10, 11	syl3an3 1183	1 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝐴 ≈ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  suc csuc 6366  ωcom 7864   ≈ cen 8942

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-en 8946  df-dom 8947

This theorem is used by: (None)