Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmcnt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfmcnt 33565
Description: All functions are measurable with respect to the counting measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
mbfmcnt (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅ℝ) = (ℝ ↑m 𝑂))
Proof of Theorem mbfmcnt
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsiga 33426 . . . . . 6 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
2 elrnsiga 33422 . . . . . 6 (𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝒫 𝑂 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑂 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 brsigarn 33480 . . . . . 6 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)
5 elrnsiga 33422 . . . . . 6 (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„) β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
64, 5mp1i 13 . . . . 5 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
73, 6ismbfm 33547 . . . 4 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂)))
8 unibrsiga 33482 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝔅ℝ = ℝ
9 reex 11203 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
108, 9eqeltri 2827 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝔅ℝ ∈ V
11 unipw 5449 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝒫 𝑂 = 𝑂
12 elex 3491 . . . . . . . . . 10 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝑂 ∈ V)
1311, 12eqeltrid 2835 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ 𝒫 𝑂 ∈ V)
14 elmapg 8835 . . . . . . . . 9 ((βˆͺ 𝔅ℝ ∈ V ∧ βˆͺ 𝒫 𝑂 ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓:βˆͺ 𝒫 π‘‚βŸΆβˆͺ 𝔅ℝ))
1510, 13, 14sylancr 585 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓:βˆͺ 𝒫 π‘‚βŸΆβˆͺ 𝔅ℝ))
1611feq2i 6708 . . . . . . . 8 (𝑓:βˆͺ 𝒫 π‘‚βŸΆβˆͺ 𝔅ℝ ↔ 𝑓:π‘‚βŸΆβˆͺ 𝔅ℝ)
1715, 16bitrdi 286 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓:π‘‚βŸΆβˆͺ 𝔅ℝ))
18 ffn 6716 . . . . . . 7 (𝑓:π‘‚βŸΆβˆͺ 𝔅ℝ β†’ 𝑓 Fn 𝑂)
1917, 18syl6bi 252 . . . . . 6 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) β†’ 𝑓 Fn 𝑂))
20 elpreima 7058 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝑂 β†’ (𝑦 ∈ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ 𝑂 ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘₯)))
21 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝑂 ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝑂)
2220, 21syl6bi 252 . . . . . . . . 9 (𝑓 Fn 𝑂 β†’ (𝑦 ∈ (◑𝑓 β€œ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝑂))
2322ssrdv 3987 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝑂 β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑂)
24 vex 3476 . . . . . . . . . . 11 𝑓 ∈ V
2524cnvex 7918 . . . . . . . . . 10 ◑𝑓 ∈ V
26 imaexg 7908 . . . . . . . . . 10 (◑𝑓 ∈ V β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ V
2827elpw 4605 . . . . . . . 8 ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂 ↔ (◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑂)
2923, 28sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑓 Fn 𝑂 β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂)
3029ralrimivw 3148 . . . . . 6 (𝑓 Fn 𝑂 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂)
3119, 30syl6 35 . . . . 5 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂))
3231pm4.71d 560 . . . 4 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) ↔ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂)))
337, 32bitr4d 281 . . 3 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅ℝ) ↔ 𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂)))
3433eqrdv 2728 . 2 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅ℝ) = (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂))
358, 11oveq12i 7423 . 2 (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) = (ℝ ↑m 𝑂)
3634, 35eqtrdi 2786 1 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅ℝ) = (ℝ ↑m 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  β„cr 11111  sigAlgebracsiga 33404  π”…ℝcbrsiga 33477  MblFnMcmbfm 33545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioo 13332  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669  df-siga 33405  df-sigagen 33435  df-brsiga 33478  df-mbfm 33546
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator