Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmcnt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfmcnt 33267
Description: All functions are measurable with respect to the counting measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
mbfmcnt (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅ℝ) = (ℝ ↑m 𝑂))
Proof of Theorem mbfmcnt
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsiga 33128 . . . . . 6 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
2 elrnsiga 33124 . . . . . 6 (𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝒫 𝑂 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑂 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 brsigarn 33182 . . . . . 6 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)
5 elrnsiga 33124 . . . . . 6 (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„) β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
64, 5mp1i 13 . . . . 5 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
73, 6ismbfm 33249 . . . 4 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂)))
8 unibrsiga 33184 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝔅ℝ = ℝ
9 reex 11201 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
108, 9eqeltri 2830 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝔅ℝ ∈ V
11 unipw 5451 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝒫 𝑂 = 𝑂
12 elex 3493 . . . . . . . . . 10 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝑂 ∈ V)
1311, 12eqeltrid 2838 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ 𝒫 𝑂 ∈ V)
14 elmapg 8833 . . . . . . . . 9 ((βˆͺ 𝔅ℝ ∈ V ∧ βˆͺ 𝒫 𝑂 ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓:βˆͺ 𝒫 π‘‚βŸΆβˆͺ 𝔅ℝ))
1510, 13, 14sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓:βˆͺ 𝒫 π‘‚βŸΆβˆͺ 𝔅ℝ))
1611feq2i 6710 . . . . . . . 8 (𝑓:βˆͺ 𝒫 π‘‚βŸΆβˆͺ 𝔅ℝ ↔ 𝑓:π‘‚βŸΆβˆͺ 𝔅ℝ)
1715, 16bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓:π‘‚βŸΆβˆͺ 𝔅ℝ))
18 ffn 6718 . . . . . . 7 (𝑓:π‘‚βŸΆβˆͺ 𝔅ℝ β†’ 𝑓 Fn 𝑂)
1917, 18syl6bi 253 . . . . . 6 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) β†’ 𝑓 Fn 𝑂))
20 elpreima 7060 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝑂 β†’ (𝑦 ∈ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ 𝑂 ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘₯)))
21 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝑂 ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝑂)
2220, 21syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (𝑓 Fn 𝑂 β†’ (𝑦 ∈ (◑𝑓 β€œ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝑂))
2322ssrdv 3989 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝑂 β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑂)
24 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑓 ∈ V
2524cnvex 7916 . . . . . . . . . 10 ◑𝑓 ∈ V
26 imaexg 7906 . . . . . . . . . 10 (◑𝑓 ∈ V β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ V
2827elpw 4607 . . . . . . . 8 ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂 ↔ (◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑂)
2923, 28sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑓 Fn 𝑂 β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂)
3029ralrimivw 3151 . . . . . 6 (𝑓 Fn 𝑂 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂)
3119, 30syl6 35 . . . . 5 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂))
3231pm4.71d 563 . . . 4 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) ↔ (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂)))
337, 32bitr4d 282 . . 3 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅ℝ) ↔ 𝑓 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂)))
3433eqrdv 2731 . 2 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅ℝ) = (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂))
358, 11oveq12i 7421 . 2 (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ 𝒫 𝑂) = (ℝ ↑m 𝑂)
3634, 35eqtrdi 2789 1 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅ℝ) = (ℝ ↑m 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„cr 11109  sigAlgebracsiga 33106  π”…ℝcbrsiga 33179  MblFnMcmbfm 33247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-siga 33107  df-sigagen 33137  df-brsiga 33180  df-mbfm 33248
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator