Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmcnt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmcnt 33256
Description: All functions are measurable with respect to the counting measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
mbfmcnt (𝑂𝑉 → (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) = (ℝ ↑m 𝑂))

Proof of Theorem mbfmcnt
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsiga 33117 . . . . . 6 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
2 elrnsiga 33113 . . . . . 6 (𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝒫 𝑂 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂 ran sigAlgebra)
4 brsigarn 33171 . . . . . 6 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
5 elrnsiga 33113 . . . . . 6 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
64, 5mp1i 13 . . . . 5 (𝑂𝑉 → 𝔅 ran sigAlgebra)
73, 6ismbfm 33238 . . . 4 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) ↔ (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)))
8 unibrsiga 33173 . . . . . . . . . 10 𝔅 = ℝ
9 reex 11198 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
108, 9eqeltri 2830 . . . . . . . . 9 𝔅 ∈ V
11 unipw 5450 . . . . . . . . . 10 𝒫 𝑂 = 𝑂
12 elex 3493 . . . . . . . . . 10 (𝑂𝑉𝑂 ∈ V)
1311, 12eqeltrid 2838 . . . . . . . . 9 (𝑂𝑉 𝒫 𝑂 ∈ V)
14 elmapg 8830 . . . . . . . . 9 (( 𝔅 ∈ V ∧ 𝒫 𝑂 ∈ V) → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓: 𝒫 𝑂 𝔅))
1510, 13, 14sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓: 𝒫 𝑂 𝔅))
1611feq2i 6707 . . . . . . . 8 (𝑓: 𝒫 𝑂 𝔅𝑓:𝑂 𝔅)
1715, 16bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓:𝑂 𝔅))
18 ffn 6715 . . . . . . 7 (𝑓:𝑂 𝔅𝑓 Fn 𝑂)
1917, 18syl6bi 253 . . . . . 6 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) → 𝑓 Fn 𝑂))
20 elpreima 7057 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝑂 → (𝑦 ∈ (𝑓𝑥) ↔ (𝑦𝑂 ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥)))
21 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑂 ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥) → 𝑦𝑂)
2220, 21syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (𝑓 Fn 𝑂 → (𝑦 ∈ (𝑓𝑥) → 𝑦𝑂))
2322ssrdv 3988 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝑂 → (𝑓𝑥) ⊆ 𝑂)
24 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑓 ∈ V
2524cnvex 7913 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
26 imaexg 7903 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ V → (𝑓𝑥) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑥) ∈ V
2827elpw 4606 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ↔ (𝑓𝑥) ⊆ 𝑂)
2923, 28sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑓 Fn 𝑂 → (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
3029ralrimivw 3151 . . . . . 6 (𝑓 Fn 𝑂 → ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
3119, 30syl6 35 . . . . 5 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) → ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂))
3231pm4.71d 563 . . . 4 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ↔ (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)))
337, 32bitr4d 282 . . 3 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) ↔ 𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂)))
3433eqrdv 2731 . 2 (𝑂𝑉 → (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) = ( 𝔅m 𝒫 𝑂))
358, 11oveq12i 7418 . 2 ( 𝔅m 𝒫 𝑂) = (ℝ ↑m 𝑂)
3634, 35eqtrdi 2789 1 (𝑂𝑉 → (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) = (ℝ ↑m 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  wss 3948  𝒫 cpw 4602   cuni 4908  ccnv 5675  ran crn 5677  cima 5679   Fn wfn 6536  wf 6537  cfv 6541  (class class class)co 7406  m cmap 8817  cr 11106  sigAlgebracsiga 33095  𝔅cbrsiga 33168  MblFnMcmbfm 33236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-ioo 13325  df-topgen 17386  df-top 22388  df-bases 22441  df-siga 33096  df-sigagen 33126  df-brsiga 33169  df-mbfm 33237
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator