Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmcnt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmcnt 31947
Description: All functions are measurable with respect to the counting measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
mbfmcnt (𝑂𝑉 → (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) = (ℝ ↑m 𝑂))

Proof of Theorem mbfmcnt
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsiga 31810 . . . . . 6 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
2 elrnsiga 31806 . . . . . 6 (𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝒫 𝑂 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂 ran sigAlgebra)
4 brsigarn 31864 . . . . . 6 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
5 elrnsiga 31806 . . . . . 6 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
64, 5mp1i 13 . . . . 5 (𝑂𝑉 → 𝔅 ran sigAlgebra)
73, 6ismbfm 31931 . . . 4 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) ↔ (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)))
8 unibrsiga 31866 . . . . . . . . . 10 𝔅 = ℝ
9 reex 10820 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
108, 9eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 𝔅 ∈ V
11 unipw 5335 . . . . . . . . . 10 𝒫 𝑂 = 𝑂
12 elex 3426 . . . . . . . . . 10 (𝑂𝑉𝑂 ∈ V)
1311, 12eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (𝑂𝑉 𝒫 𝑂 ∈ V)
14 elmapg 8521 . . . . . . . . 9 (( 𝔅 ∈ V ∧ 𝒫 𝑂 ∈ V) → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓: 𝒫 𝑂 𝔅))
1510, 13, 14sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓: 𝒫 𝑂 𝔅))
1611feq2i 6537 . . . . . . . 8 (𝑓: 𝒫 𝑂 𝔅𝑓:𝑂 𝔅)
1715, 16bitrdi 290 . . . . . . 7 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓:𝑂 𝔅))
18 ffn 6545 . . . . . . 7 (𝑓:𝑂 𝔅𝑓 Fn 𝑂)
1917, 18syl6bi 256 . . . . . 6 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) → 𝑓 Fn 𝑂))
20 elpreima 6878 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝑂 → (𝑦 ∈ (𝑓𝑥) ↔ (𝑦𝑂 ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥)))
21 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑂 ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥) → 𝑦𝑂)
2220, 21syl6bi 256 . . . . . . . . 9 (𝑓 Fn 𝑂 → (𝑦 ∈ (𝑓𝑥) → 𝑦𝑂))
2322ssrdv 3907 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝑂 → (𝑓𝑥) ⊆ 𝑂)
24 vex 3412 . . . . . . . . . . 11 𝑓 ∈ V
2524cnvex 7703 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
26 imaexg 7693 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ V → (𝑓𝑥) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑥) ∈ V
2827elpw 4517 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ↔ (𝑓𝑥) ⊆ 𝑂)
2923, 28sylibr 237 . . . . . . 7 (𝑓 Fn 𝑂 → (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
3029ralrimivw 3106 . . . . . 6 (𝑓 Fn 𝑂 → ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
3119, 30syl6 35 . . . . 5 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) → ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂))
3231pm4.71d 565 . . . 4 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ↔ (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)))
337, 32bitr4d 285 . . 3 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) ↔ 𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂)))
3433eqrdv 2735 . 2 (𝑂𝑉 → (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) = ( 𝔅m 𝒫 𝑂))
358, 11oveq12i 7225 . 2 ( 𝔅m 𝒫 𝑂) = (ℝ ↑m 𝑂)
3634, 35eqtrdi 2794 1 (𝑂𝑉 → (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) = (ℝ ↑m 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  Vcvv 3408  wss 3866  𝒫 cpw 4513   cuni 4819  ccnv 5550  ran crn 5552  cima 5554   Fn wfn 6375  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  m cmap 8508  cr 10728  sigAlgebracsiga 31788  𝔅cbrsiga 31861  MblFnMcmbfm 31929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-ioo 12939  df-topgen 16948  df-top 21791  df-bases 21843  df-siga 31789  df-sigagen 31819  df-brsiga 31862  df-mbfm 31930
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator