Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmcnt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmcnt 31651
 Description: All functions are measurable with respect to the counting measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
mbfmcnt (𝑂𝑉 → (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) = (ℝ ↑m 𝑂))

Proof of Theorem mbfmcnt
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsiga 31514 . . . . . 6 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
2 elrnsiga 31510 . . . . . 6 (𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝒫 𝑂 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂 ran sigAlgebra)
4 brsigarn 31568 . . . . . 6 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
5 elrnsiga 31510 . . . . . 6 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
64, 5mp1i 13 . . . . 5 (𝑂𝑉 → 𝔅 ran sigAlgebra)
73, 6ismbfm 31635 . . . 4 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) ↔ (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)))
8 unibrsiga 31570 . . . . . . . . . 10 𝔅 = ℝ
9 reex 10620 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
108, 9eqeltri 2886 . . . . . . . . 9 𝔅 ∈ V
11 unipw 5309 . . . . . . . . . 10 𝒫 𝑂 = 𝑂
12 elex 3459 . . . . . . . . . 10 (𝑂𝑉𝑂 ∈ V)
1311, 12eqeltrid 2894 . . . . . . . . 9 (𝑂𝑉 𝒫 𝑂 ∈ V)
14 elmapg 8405 . . . . . . . . 9 (( 𝔅 ∈ V ∧ 𝒫 𝑂 ∈ V) → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓: 𝒫 𝑂 𝔅))
1510, 13, 14sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓: 𝒫 𝑂 𝔅))
1611feq2i 6480 . . . . . . . 8 (𝑓: 𝒫 𝑂 𝔅𝑓:𝑂 𝔅)
1715, 16syl6bb 290 . . . . . . 7 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ↔ 𝑓:𝑂 𝔅))
18 ffn 6488 . . . . . . 7 (𝑓:𝑂 𝔅𝑓 Fn 𝑂)
1917, 18syl6bi 256 . . . . . 6 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) → 𝑓 Fn 𝑂))
20 elpreima 6806 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝑂 → (𝑦 ∈ (𝑓𝑥) ↔ (𝑦𝑂 ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥)))
21 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑂 ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥) → 𝑦𝑂)
2220, 21syl6bi 256 . . . . . . . . 9 (𝑓 Fn 𝑂 → (𝑦 ∈ (𝑓𝑥) → 𝑦𝑂))
2322ssrdv 3921 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝑂 → (𝑓𝑥) ⊆ 𝑂)
24 vex 3444 . . . . . . . . . . 11 𝑓 ∈ V
2524cnvex 7615 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
26 imaexg 7605 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ V → (𝑓𝑥) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑥) ∈ V
2827elpw 4501 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ↔ (𝑓𝑥) ⊆ 𝑂)
2923, 28sylibr 237 . . . . . . 7 (𝑓 Fn 𝑂 → (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
3029ralrimivw 3150 . . . . . 6 (𝑓 Fn 𝑂 → ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
3119, 30syl6 35 . . . . 5 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) → ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂))
3231pm4.71d 565 . . . 4 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ↔ (𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝑓𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)))
337, 32bitr4d 285 . . 3 (𝑂𝑉 → (𝑓 ∈ (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) ↔ 𝑓 ∈ ( 𝔅m 𝒫 𝑂)))
3433eqrdv 2796 . 2 (𝑂𝑉 → (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) = ( 𝔅m 𝒫 𝑂))
358, 11oveq12i 7148 . 2 ( 𝔅m 𝒫 𝑂) = (ℝ ↑m 𝑂)
3634, 35eqtrdi 2849 1 (𝑂𝑉 → (𝒫 𝑂MblFnM𝔅) = (ℝ ↑m 𝑂))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4801  ◡ccnv 5519  ran crn 5521   “ cima 5523   Fn wfn 6320  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ↑m cmap 8392  ℝcr 10528  sigAlgebracsiga 31492  𝔅ℝcbrsiga 31565  MblFnMcmbfm 31633 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-po 5439  df-so 5440  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ioo 12733  df-topgen 16712  df-top 21509  df-bases 21561  df-siga 31493  df-sigagen 31523  df-brsiga 31566  df-mbfm 31634 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator