Theorem vdwapfval 16890

Description: Define the arithmetic progression function, which takes as input a length 𝑘, a start point 𝑎, and a step 𝑑 and outputs the set of points in this progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwapfval	⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))

Distinct variable group:   𝑎,𝑑,𝑚,𝐾

Proof of Theorem vdwapfval

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑘 = 𝐾)
2	1	oveq1d 7370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) = (𝐾 − 1))
3	2	oveq2d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐾 − 1)))
4	3	mpteq1d 5185	. . . 4 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) = (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
5	4	rneqd 5884	. . 3 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) = ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
6	5	mpoeq3dva 7432	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))
7		df-vdwap 16887	. 2 ⊢ AP = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))
8		nnex 12142	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
9	8, 8	mpoex 8020	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))) ∈ V
10	6, 7, 9	fvmpt 6938	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5176  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∈ cmpo 7357  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022   − cmin 11355  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392  ...cfz 13414  APcvdwa 16884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-1cn 11075  ax-addcl 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-nn 12137  df-vdwap 16887

This theorem is referenced by:  vdwapf  16891  vdwapval  16892