Theorem vdwapfval 16942

Description: Define the arithmetic progression function, which takes as input a length 𝑘, a start point 𝑎, and a step 𝑑 and outputs the set of points in this progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwapfval	⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))

Distinct variable group:   𝑎,𝑑,𝑚,𝐾

Proof of Theorem vdwapfval

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑘 = 𝐾)
2	1	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) = (𝐾 − 1))
3	2	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝐾 − 1)))
4	3	mpteq1d 5175	. . . 4 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) = (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
5	4	rneqd 5893	. . 3 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) = ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
6	5	mpoeq3dva 7444	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))
7		df-vdwap 16939	. 2 ⊢ AP = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))
8		nnex 12180	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
9	8, 8	mpoex 8032	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))) ∈ V
10	6, 7, 9	fvmpt 6947	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461  APcvdwa 16936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-vdwap 16939

This theorem is referenced by:  vdwapf  16943  vdwapval  16944