![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > vdwapfval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Define the arithmetic progression function, which takes as input a length ๐, a start point ๐, and a step ๐ and outputs the set of points in this progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
vdwapfval | โข (๐พ โ โ0 โ (APโ๐พ) = (๐ โ โ, ๐ โ โ โฆ ran (๐ โ (0...(๐พ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simp1 1133 | . . . . . . 7 โข ((๐ = ๐พ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ ๐ = ๐พ) | |
2 | 1 | oveq1d 7420 | . . . . . 6 โข ((๐ = ๐พ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ โ 1) = (๐พ โ 1)) |
3 | 2 | oveq2d 7421 | . . . . 5 โข ((๐ = ๐พ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (0...(๐ โ 1)) = (0...(๐พ โ 1))) |
4 | 3 | mpteq1d 5236 | . . . 4 โข ((๐ = ๐พ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐))) = (๐ โ (0...(๐พ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐)))) |
5 | 4 | rneqd 5931 | . . 3 โข ((๐ = ๐พ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ ran (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐))) = ran (๐ โ (0...(๐พ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐)))) |
6 | 5 | mpoeq3dva 7482 | . 2 โข (๐ = ๐พ โ (๐ โ โ, ๐ โ โ โฆ ran (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐)))) = (๐ โ โ, ๐ โ โ โฆ ran (๐ โ (0...(๐พ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐))))) |
7 | df-vdwap 16910 | . 2 โข AP = (๐ โ โ0 โฆ (๐ โ โ, ๐ โ โ โฆ ran (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐))))) | |
8 | nnex 12222 | . . 3 โข โ โ V | |
9 | 8, 8 | mpoex 8065 | . 2 โข (๐ โ โ, ๐ โ โ โฆ ran (๐ โ (0...(๐พ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐)))) โ V |
10 | 6, 7, 9 | fvmpt 6992 | 1 โข (๐พ โ โ0 โ (APโ๐พ) = (๐ โ โ, ๐ โ โ โฆ ran (๐ โ (0...(๐พ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โฆ cmpt 5224 ran crn 5670 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โ cmpo 7407 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 ยท cmul 11117 โ cmin 11448 โcn 12216 โ0cn0 12476 ...cfz 13490 APcvdwa 16907 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-1cn 11170 ax-addcl 11172 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-nn 12217 df-vdwap 16910 |
This theorem is referenced by: vdwapf 16914 vdwapval 16915 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |