MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwapfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwapfval 16913
Description: Define the arithmetic progression function, which takes as input a length ๐‘˜, a start point ๐‘Ž, and a step ๐‘‘ and outputs the set of points in this progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwapfval (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (APโ€˜๐พ) = (๐‘Ž โˆˆ โ„•, ๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)))))
Distinct variable group:   ๐‘Ž,๐‘‘,๐‘š,๐พ

Proof of Theorem vdwapfval
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . . 7 ((๐‘˜ = ๐พ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ = ๐พ)
21oveq1d 7420 . . . . . 6 ((๐‘˜ = ๐พ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) = (๐พ โˆ’ 1))
32oveq2d 7421 . . . . 5 ((๐‘˜ = ๐พ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1)) = (0...(๐พ โˆ’ 1)))
43mpteq1d 5236 . . . 4 ((๐‘˜ = ๐พ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))))
54rneqd 5931 . . 3 ((๐‘˜ = ๐พ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))))
65mpoeq3dva 7482 . 2 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„•, ๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)))) = (๐‘Ž โˆˆ โ„•, ๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)))))
7 df-vdwap 16910 . 2 AP = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘Ž โˆˆ โ„•, ๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)))))
8 nnex 12222 . . 3 โ„• โˆˆ V
98, 8mpoex 8065 . 2 (๐‘Ž โˆˆ โ„•, ๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)))) โˆˆ V
106, 7, 9fvmpt 6992 1 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (APโ€˜๐พ) = (๐‘Ž โˆˆ โ„•, ๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ†ฆ cmpt 5224  ran crn 5670  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  ...cfz 13490  APcvdwa 16907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12217  df-vdwap 16910
This theorem is referenced by:  vdwapf  16914  vdwapval  16915
  Copyright terms: Public domain W3C validator