![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > vdwapfval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Define the arithmetic progression function, which takes as input a length ๐, a start point ๐, and a step ๐ and outputs the set of points in this progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
vdwapfval | โข (๐พ โ โ0 โ (APโ๐พ) = (๐ โ โ, ๐ โ โ โฆ ran (๐ โ (0...(๐พ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simp1 1133 | . . . . . . 7 โข ((๐ = ๐พ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ ๐ = ๐พ) | |
2 | 1 | oveq1d 7431 | . . . . . 6 โข ((๐ = ๐พ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ โ 1) = (๐พ โ 1)) |
3 | 2 | oveq2d 7432 | . . . . 5 โข ((๐ = ๐พ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (0...(๐ โ 1)) = (0...(๐พ โ 1))) |
4 | 3 | mpteq1d 5238 | . . . 4 โข ((๐ = ๐พ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐))) = (๐ โ (0...(๐พ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐)))) |
5 | 4 | rneqd 5934 | . . 3 โข ((๐ = ๐พ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ ran (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐))) = ran (๐ โ (0...(๐พ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐)))) |
6 | 5 | mpoeq3dva 7494 | . 2 โข (๐ = ๐พ โ (๐ โ โ, ๐ โ โ โฆ ran (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐)))) = (๐ โ โ, ๐ โ โ โฆ ran (๐ โ (0...(๐พ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐))))) |
7 | df-vdwap 16936 | . 2 โข AP = (๐ โ โ0 โฆ (๐ โ โ, ๐ โ โ โฆ ran (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐))))) | |
8 | nnex 12248 | . . 3 โข โ โ V | |
9 | 8, 8 | mpoex 8082 | . 2 โข (๐ โ โ, ๐ โ โ โฆ ran (๐ โ (0...(๐พ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐)))) โ V |
10 | 6, 7, 9 | fvmpt 7000 | 1 โข (๐พ โ โ0 โ (APโ๐พ) = (๐ โ โ, ๐ โ โ โฆ ran (๐ โ (0...(๐พ โ 1)) โฆ (๐ + (๐ ยท ๐))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โฆ cmpt 5226 ran crn 5673 โcfv 6543 (class class class)co 7416 โ cmpo 7418 0cc0 11138 1c1 11139 + caddc 11141 ยท cmul 11143 โ cmin 11474 โcn 12242 โ0cn0 12502 ...cfz 13516 APcvdwa 16933 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-cnex 11194 ax-1cn 11196 ax-addcl 11198 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-ral 3052 df-rex 3061 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-pss 3959 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7869 df-1st 7991 df-2nd 7992 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-nn 12243 df-vdwap 16936 |
This theorem is referenced by: vdwapf 16940 vdwapval 16941 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |