Theorem vdwapf 16993

Description: The arithmetic progression function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwapf	⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ)

Proof of Theorem vdwapf

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑎 ∈ ℕ)
2		elfznn0 13642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3	2	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
4		nnnn0 12516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
5	4	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0mulcld 12575	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑚 · 𝑑) ∈ ℕ0)
7		nnnn0addcl 12539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑑) ∈ ℕ0) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ℕ)
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ℕ)
9	8	fmpttd 7115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))):(0...(𝐾 − 1))⟶ℕ)
10	9	frnd 6724	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ⊆ ℕ)
11		nnex 12254	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
12	11	elpw2 5314	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ∈ 𝒫 ℕ ↔ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ⊆ ℕ)
13	10, 12	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ∈ 𝒫 ℕ)
14	13	rgen2 3186	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ ℕ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ∈ 𝒫 ℕ
15		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
16	15	fmpo 8075	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ ℕ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ∈ 𝒫 ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ)
17	14, 16	mpbi 230	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ
18		vdwapfval 16992	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))
19	18	feq1d 6700	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((AP‘𝐾):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ))
20	17, 19	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580   ↦ cmpt 5205   × cxp 5663  ran crn 5666  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  0cc0 11137  1c1 11138   + caddc 11140   · cmul 11142   − cmin 11474  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12509  ...cfz 13529  APcvdwa 16986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-vdwap 16989

This theorem is referenced by:  vdwmc  16999