Theorem vdwapf 17032

Description: The arithmetic progression function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwapf	⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ)

Proof of Theorem vdwapf

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑎 ∈ ℕ)
2		elfznn0 13648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3	2	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
4		nnnn0 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
5	4	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0mulcld 12570	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑚 · 𝑑) ∈ ℕ0)
7		nnnn0addcl 12534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑑) ∈ ℕ0) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ℕ)
8	1, 6, 7	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ℕ)
9	8	fmpttd 7111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))):(0...(𝐾 − 1))⟶ℕ)
10	9	frnd 6715	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ⊆ ℕ)
11		nnex 12239	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
12	11	elpw2 5305	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ∈ 𝒫 ℕ ↔ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ⊆ ℕ)
13	10, 12	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ∈ 𝒫 ℕ)
14	13	rgen2 3211	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ ℕ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ∈ 𝒫 ℕ
15		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
16	15	fmpo 8065	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ ℕ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ∈ 𝒫 ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ)
17	14, 16	mpbi 233	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ
18		vdwapfval 17031	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))
19	18	feq1d 6688	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((AP‘𝐾):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ))
20	17, 19	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660  ran crn 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   − cmin 11441  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  ...cfz 13535  APcvdwa 17025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-vdwap 17028

This theorem is referenced by:  vdwmc  17038