Theorem vdwapf 16950

Description: The arithmetic progression function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwapf	⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ)

Proof of Theorem vdwapf

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑎 ∈ ℕ)
2		elfznn0 13588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3	2	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
4		nnnn0 12456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
5	4	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0mulcld 12515	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑚 · 𝑑) ∈ ℕ0)
7		nnnn0addcl 12479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑑) ∈ ℕ0) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ℕ)
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ℕ)
9	8	fmpttd 7090	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))):(0...(𝐾 − 1))⟶ℕ)
10	9	frnd 6699	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ⊆ ℕ)
11		nnex 12199	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
12	11	elpw2 5292	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ∈ 𝒫 ℕ ↔ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ⊆ ℕ)
13	10, 12	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ∈ 𝒫 ℕ)
14	13	rgen2 3178	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ ℕ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ∈ 𝒫 ℕ
15		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
16	15	fmpo 8050	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ ℕ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) ∈ 𝒫 ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ)
17	14, 16	mpbi 230	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ
18		vdwapfval 16949	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))
19	18	feq1d 6673	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((AP‘𝐾):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ))
20	17, 19	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾):(ℕ × ℕ)⟶𝒫 ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  ran crn 5642  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13475  APcvdwa 16943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-vdwap 16946

This theorem is referenced by:  vdwmc  16956