MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwapf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vdwapf 16911
Description: The arithmetic progression function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwapf (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (APβ€˜πΎ):(β„• Γ— β„•)βŸΆπ’« β„•)
Proof of Theorem vdwapf
Dummy variables π‘Ž 𝑑 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . . . . . . . 8 (((π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ π‘Ž ∈ β„•)
2 elfznn0 13600 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
32adantl 480 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
4 nnnn0 12485 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ β„• β†’ 𝑑 ∈ β„•0)
54ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑑 ∈ β„•0)
63, 5nn0mulcld 12543 . . . . . . . 8 (((π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘š Β· 𝑑) ∈ β„•0)
7 nnnn0addcl 12508 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ (π‘š Β· 𝑑) ∈ β„•0) β†’ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ β„•)
81, 6, 7syl2anc 582 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ β„•)
98fmpttd 7117 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ↦ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑))):(0...(𝐾 βˆ’ 1))βŸΆβ„•)
109frnd 6726 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ran (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ↦ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑))) βŠ† β„•)
11 nnex 12224 . . . . . 6 β„• ∈ V
1211elpw2 5346 . . . . 5 (ran (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ↦ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑))) ∈ 𝒫 β„• ↔ ran (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ↦ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑))) βŠ† β„•)
1310, 12sylibr 233 . . . 4 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ran (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ↦ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑))) ∈ 𝒫 β„•)
1413rgen2 3195 . . 3 βˆ€π‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ β„• ran (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ↦ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑))) ∈ 𝒫 β„•
15 eqid 2730 . . . 4 (π‘Ž ∈ β„•, 𝑑 ∈ β„• ↦ ran (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ↦ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)))) = (π‘Ž ∈ β„•, 𝑑 ∈ β„• ↦ ran (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ↦ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑))))
1615fmpo 8058 . . 3 (βˆ€π‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ β„• ran (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ↦ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑))) ∈ 𝒫 β„• ↔ (π‘Ž ∈ β„•, 𝑑 ∈ β„• ↦ ran (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ↦ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)))):(β„• Γ— β„•)βŸΆπ’« β„•)
1714, 16mpbi 229 . 2 (π‘Ž ∈ β„•, 𝑑 ∈ β„• ↦ ran (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ↦ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)))):(β„• Γ— β„•)βŸΆπ’« β„•
18 vdwapfval 16910 . . 3 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (APβ€˜πΎ) = (π‘Ž ∈ β„•, 𝑑 ∈ β„• ↦ ran (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ↦ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)))))
1918feq1d 6703 . 2 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ ((APβ€˜πΎ):(β„• Γ— β„•)βŸΆπ’« β„• ↔ (π‘Ž ∈ β„•, 𝑑 ∈ β„• ↦ ran (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ↦ (π‘Ž + (π‘š Β· 𝑑)))):(β„• Γ— β„•)βŸΆπ’« β„•))
2017, 19mpbiri 257 1 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (APβ€˜πΎ):(β„• Γ— β„•)βŸΆπ’« β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   βˆ’ cmin 11450  β„•cn 12218  β„•0cn0 12478  ...cfz 13490  APcvdwa 16904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-vdwap 16907
This theorem is referenced by:  vdwmc  16917
  Copyright terms: Public domain W3C validator