Theorem vdwapval 16845

Description: Value of the arithmetic progression function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwapval	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐷,𝑚   𝑚,𝐾   𝑚,𝑋

Proof of Theorem vdwapval

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwapfval 16843	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (AP‘𝐾) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))
3	2	oveqd 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = (𝐴(𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))𝐷))
4		oveq2 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑚 · 𝑑) = (𝑚 · 𝐷))
5		oveq12 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ (𝑚 · 𝑑) = (𝑚 · 𝐷)) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
6	4, 5	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑑 = 𝐷) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
7	6	mpteq2dv 5207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑑 = 𝐷) → (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) = (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
8	7	rneqd 5893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑑 = 𝐷) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) = ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
9		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
10		ovex 7390	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...(𝐾 − 1)) ∈ V
11	10	mptex 7173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) ∈ V
12	11	rnex 7849	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) ∈ V
13	8, 9, 12	ovmpoa 7510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))𝐷) = ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
14	13	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))𝐷) = ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
15	3, 14	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
16		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
17	16	rnmpt 5910	. . . 4 ⊢ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))}
18	15, 17	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))})
19	18	eleq2d 2823	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))}))
20		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
21		ovex 7390	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ V
22	20, 21	eqeltrdi 2846	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) → 𝑋 ∈ V)
23	22	rexlimivw 3148	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) → 𝑋 ∈ V)
24		eqeq1 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
25	24	rexbidv 3175	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
26	23, 25	elab3 3638	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))} ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
27	19, 26	bitrdi 286	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2713  ∃wrex 3073  Vcvv 3445   ↦ cmpt 5188  ran crn 5634  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13424  APcvdwa 16837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-1cn 11109  ax-addcl 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-nn 12154  df-vdwap 16840

This theorem is referenced by:  vdwapun  16846  vdwap0  16848  vdwmc2  16851  vdwlem1  16853  vdwlem2  16854  vdwlem6  16858  vdwlem8  16860