MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwapval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwapval 16297
Description: Value of the arithmetic progression function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwapval ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐷,𝑚   𝑚,𝐾   𝑚,𝑋

Proof of Theorem vdwapval
Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwapfval 16295 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))
213ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (AP‘𝐾) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))
32oveqd 7162 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = (𝐴(𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))𝐷))
4 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝐷 → (𝑚 · 𝑑) = (𝑚 · 𝐷))
5 oveq12 7154 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = 𝐴 ∧ (𝑚 · 𝑑) = (𝑚 · 𝐷)) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
64, 5sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 𝐴𝑑 = 𝐷) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
76mpteq2dv 5153 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 𝐴𝑑 = 𝐷) → (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) = (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
87rneqd 5801 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝐴𝑑 = 𝐷) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) = ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
9 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
10 ovex 7178 . . . . . . . . 9 (0...(𝐾 − 1)) ∈ V
1110mptex 6977 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) ∈ V
1211rnex 7606 . . . . . . 7 ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) ∈ V
138, 9, 12ovmpoa 7294 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))𝐷) = ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
14133adant1 1122 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))𝐷) = ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
153, 14eqtrd 2853 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
16 eqid 2818 . . . . 5 (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
1716rnmpt 5820 . . . 4 ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))}
1815, 17syl6eq 2869 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))})
1918eleq2d 2895 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))}))
20 id 22 . . . . 5 (𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
21 ovex 7178 . . . . 5 (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ V
2220, 21syl6eqel 2918 . . . 4 (𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) → 𝑋 ∈ V)
2322rexlimivw 3279 . . 3 (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) → 𝑋 ∈ V)
24 eqeq1 2822 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
2524rexbidv 3294 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
2623, 25elab3 3671 . 2 (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))} ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
2719, 26syl6bb 288 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wrex 3136  Vcvv 3492  cmpt 5137  ran crn 5549  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  cn 11626  0cn0 11885  ...cfz 12880  APcvdwa 16289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-1cn 10583  ax-addcl 10585
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-nn 11627  df-vdwap 16292
This theorem is referenced by:  vdwapun  16298  vdwap0  16300  vdwmc2  16303  vdwlem1  16305  vdwlem2  16306  vdwlem6  16310  vdwlem8  16312
  Copyright terms: Public domain W3C validator