MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwapval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwapval 16908
Description: Value of the arithmetic progression function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwapval ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐ด(APโ€˜๐พ)๐ท) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘‹ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘š   ๐ท,๐‘š   ๐‘š,๐พ   ๐‘š,๐‘‹

Proof of Theorem vdwapval
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘‘ ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwapfval 16906 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (APโ€˜๐พ) = (๐‘Ž โˆˆ โ„•, ๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)))))
213ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (APโ€˜๐พ) = (๐‘Ž โˆˆ โ„•, ๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)))))
32oveqd 7428 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด(APโ€˜๐พ)๐ท) = (๐ด(๐‘Ž โˆˆ โ„•, ๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))))๐ท))
4 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = ๐ท โ†’ (๐‘š ยท ๐‘‘) = (๐‘š ยท ๐ท))
5 oveq12 7420 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง (๐‘š ยท ๐‘‘) = (๐‘š ยท ๐ท)) โ†’ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท)))
64, 5sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘‘ = ๐ท) โ†’ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท)))
76mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘‘ = ๐ท) โ†’ (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))))
87rneqd 5937 . . . . . . 7 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘‘ = ๐ท) โ†’ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))))
9 eqid 2732 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„•, ๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)))) = (๐‘Ž โˆˆ โ„•, ๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))))
10 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (0...(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ V
1110mptex 7227 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))) โˆˆ V
1211rnex 7905 . . . . . . 7 ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))) โˆˆ V
138, 9, 12ovmpoa 7565 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด(๐‘Ž โˆˆ โ„•, ๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))))๐ท) = ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))))
14133adant1 1130 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด(๐‘Ž โˆˆ โ„•, ๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))))๐ท) = ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))))
153, 14eqtrd 2772 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด(APโ€˜๐พ)๐ท) = ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))))
16 eqid 2732 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))) = (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท)))
1716rnmpt 5954 . . . 4 ran (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))) = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))}
1815, 17eqtrdi 2788 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด(APโ€˜๐พ)๐ท) = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))})
1918eleq2d 2819 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐ด(APโ€˜๐พ)๐ท) โ†” ๐‘‹ โˆˆ {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))}))
20 id 22 . . . . 5 (๐‘‹ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†’ ๐‘‹ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท)))
21 ovex 7444 . . . . 5 (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท)) โˆˆ V
2220, 21eqeltrdi 2841 . . . 4 (๐‘‹ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ V)
2322rexlimivw 3151 . . 3 (โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘‹ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ V)
24 eqeq1 2736 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†” ๐‘‹ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))))
2524rexbidv 3178 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘‹ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))))
2623, 25elab3 3676 . 2 (๐‘‹ โˆˆ {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))} โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘‹ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท)))
2719, 26bitrdi 286 1 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐ด(APโ€˜๐พ)๐ท) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘‹ = (๐ด + (๐‘š ยท ๐ท))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   โ†ฆ cmpt 5231  ran crn 5677  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11446  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  ...cfz 13486  APcvdwa 16900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-nn 12215  df-vdwap 16903
This theorem is referenced by:  vdwapun  16909  vdwap0  16911  vdwmc2  16914  vdwlem1  16916  vdwlem2  16917  vdwlem6  16921  vdwlem8  16923
  Copyright terms: Public domain W3C validator